1、章末复习提升课学生用书P66 学生用书P671导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0)2导数与函数的单调性函数yf(x)在某个区间内有导数如果f(x)0,那么函数f(x)在这个区间上是增函数,该区间是函数f(x)的单调增区间;如果f(x)0,那么函数f(x)在这个区间上是减函数,该区间是函数f(x)的单调减区间3由导数与函数的单调性的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a,b)内可导,且f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递增;f(
2、x)0函数f(x)在(a,b)上单调递减(2)f(x)0(0)在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充分条件4函数的极值极大值与极小值:一般地,设可导函数f(x)在点x0及附近有定义,若x0满足f(x0)0,且在x0的两侧f(x)的值异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值注意在定义中,取得极值的点称为极值点极值点是自变量的值,极值指的是函数值5函数的最值一般地,在闭区间a,b上连续的函数f
3、(x)在a,b上必有最大值与最小值特别地,若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值1利用导数的几何意义研究曲线的切线问题时,要注意区分“在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”的区别2利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题(1)确定函数的定义域解决问题的过程中,只能在函数的定义域内进行,通过讨论导数值的符号,来判断函数的单调区间(2)在划分函数的单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点(3)如果一个函数单调性相同的区间不止一
4、个,这些区间之间不能用“”连接,只能用逗号或“和”字隔开,如把增区间写为(,2)(1,)是不正确的,因为(,2)(1,)不是一个全区间,该函数在(,2)(1,)上不一定是单调递增的3极值与最值的区别(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个都没有,且极大值并不一定比极小值大(3)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得;有极值未必有最值,有最值未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值导数的几何意义学生用书P67已知函数f(x
5、)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;【解】(1)由f(x)x3x16,可得f(x)3x21,所以在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13,故切线的方程为y613(x2),即y13x32.(2)设切点为P(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)3x1,直线l的方程为yy0(3x1)(xx0),即y(3x1)(xx0)xx016.又因直线l过点(0,0),所以(3x1)(0x0)xx0160,解得x02.代入f(x)x3x16中可得y026,斜率为3x113.所以直线l的方程为y13x,切点
6、坐标为(2,26)利用导数研究函数的单调区间学生用书P68已知函数f(x)4x33tx26t2xt1,xR,其中tR.(1)当t1时,求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当t0时,求f(x)的单调区间【解】(1)当t1时,f(x)4x33x26x,f(0)0,f(x)12x26x6,f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0,解得xt或x.因t0,则t.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,t)(t,)(,)f(x)f(x)所以,f(x)的单调递增区间是(,t),(,);f(x)的单调
7、递减区间是(t,)利用导数研究函数的极值和最值学生用书P68已知函数f(x)x33x22.若a0,求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值【解】对函数f(x)求导,f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)增极大值2减极小值6增对a分四种情况讨论:当0a1时,f(x)在(a1,a1)内有极大值f(0)2,无极小值;当a1时,f(x)在(a1,a1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a1,a1)内有极小值f(2)6,无极大值;当a3时,f(x)在(a1,a1)内无极值综上可得
8、,当0a1时,f(x)有极大值2,无极小值;当1a0恒成立,则16a224a0,得0a,故a的值取为1.答案:13抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为_解析:设直线xym0与抛物线yx2相切,切点为(x0,x),y2x,故k2x01,则x0,所以切点坐标为,又m0,得m,所以直线xy20与xy0间的距离为d.答案:4设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a,f(2)b,其中常数a,bR.求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程解:因为f(x)x3ax2bx1,所以f(x)3x22axb.令x1,得f(1)32ab,又f(1)2a,所以32ab2a,解得b3.令x2,得f(2)124ab,又f(2)b,所以124abb,解得a.所以f(x)x3x23x1,从而f(1).又f(1)23,所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为:y3(x1),即6x2y10.