1、32导数的运算32.1常数与幂函数的导数32.2导数公式表1.了解基本初等函数的导数公式2.理解函数yC(C为常数)、yx、yx2、y的导数公式的推导过程3掌握基本初等函数的导数公式的应用 学生用书P50基本初等函数的导数公式表yf(x)yf(x)yCy0yxnynxn1，n为自然数yx(x0，0)yx1，为有理数yax(a0，a1)yaxln_ayexyexylogax(a0，a1，x0)yyln xyysin xycos_xycos xysin_x1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2)因为(ln x)，则ln x()答案：(1)(2)2若ycos ，则y等于()AB
2、C0 D.答案：C3若f(x)且f(a)，则a_解析：因为f(x)，所以，则a4.答案：44函数yx2在x6处的导数为_答案：12求已知函数的导数学生用书P51求下列函数的导数：(1)yx3；(2)yx；(3)y2sincos；(4)y；(5)ylogx.【解】(1)y3x2.(2)yx，yx.(3)因为ysin x，所以ycos x.(4)因为yx2，所以y2x3.(5)y(logx).用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 (2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为可以直接应用公式的基本函数的形式，如y可以写成yx3，这样就可以直接使用幂函数的求
3、导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误 求下列函数的导数：(1)y；(2)；(3)y3x；(4)ylog2x.解：(1)y()(x5)5x6；(2)y()(x)x；(3)y3xln 3；(4)y.求函数在某点处的导数学生用书P51(1)求函数yax在点P(3，f(3)处的导数；(2)求函数yln x在点P(5，ln 5)处的导数【解】(1)因为yax，所以y(ax)axln a，则y|x3a3ln a.(2)因为yln x，所以y(ln x)，则y|x5.求函数f(x) 在xx0处的导数的方法与步骤(1)由已知函数解析式先求f(x)；(2)求f(x0)的值 求函数f(x)在x1处
4、的导数解：f(x)()(x)x1x，所以f(1)，所以函数f(x)在x1处的导数为.利用导数公式研究切线问题学生用书P52求曲线ycos x在(，)处的切线方程【解】因为y(cos x)sin x，所以y|xsin.所以曲线ycos x在(，)处的切线方程为y(x)，即xy10.利用导数的几何意义解题时的注意点(1)过某一定点求曲线的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组(3)如果切线的斜率存在，则在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件 (4)曲线与直线相切
5、并不表示它们之间一定只有一个公共点 设P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解：如图所示，设与直线yx平行的直线l与曲线yex相切于点P(x0，y0)因为yex，所以ex01，所以x00.代入yex，得y01，所以P(0，1)所以点P到直线yx的最小距离为.1应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法2利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符
6、号的变化(2)对于公式(ln x)和(ex)ex很好记，但对于公式(logax)logae(a0且a1)和(ax)axln a(a0)的记忆就较难，特别是两个常数logae(a0且a1)、ln a(a0)很容易混淆.1已知函数f(x)，则f(2)()A4 B.C4 D解析：选D.因为f(x)()x11x2，所以f(2)x2|x2.2曲线yex在点A(0，1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.解析：选A.由题意知yex，故所求切线斜率kex|x0e01.3抛物线yx2的一条切线方程为6xyb0，则切点坐标为_解析：设切点坐标为(x0，y0)，所以ky|xx02x06，所以x03，y09，切点
7、坐标为(3，9)答案：(3，9) 学生用书P105(单独成册)A基础达标1若ysin x，则y|x()A.BC. D解析：选A.因为ycos x，所以y|xcos.2曲线yxn在x2处的导数为12，则n等于()A1 B2C3 D4解析：选C.y|x2n2n112，所以n3.3已知f(x)，则f()A25 BC. D25解析：选B.因为f(x)，所以f(x).故f25，ff(25).4下列说法：若y，则y|x2；若ycos x，则y|x1；若yex，则yex .其中正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C.根据基本初等函数的导数公式正确；ysin x，所以y|xsin1，正确；yx，yx，
8、所以y|x2，错误故正确的为.5已知直线ykx是yln x的切线，则k的值为()Ae BeC. D解析：选C.设切点坐标为(x0，y0)，则y0kx0，y0ln x0，又y(ln x)，所以k，由得y01，代入得ln x01.所以x0e，所以k.6一物体的运动方程是s(t)，当t3时的瞬时速度为_解析：因为s(t)，所以s(3).答案：7直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_解析：设切点为(x0，y0)，因为y，所以，所以x02，所以y0ln 2，ln 22b，所以bln 21.答案：ln 218曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_解析：因
9、为y(x3)3x2，所以y|x13.所以切线方程为y13(x1)切线与x轴的交点为(，0)，所以所求三角形的面积为S|2|4.答案：9求函数在下列各点处的导数(1)ycos x，x；(2)yex，x3；(3)y，x8；(4)ylog3x，x2.解：(1)y(cos x)sin x，所以y|xsin.(2)yex，所以y|x3e3.(3)yx，所以y|x88.(4)y(log3x)，所以y|x2.10已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程解：由f(x)2f(2x)x28x8，令x2x，得f(2x)2f(x)(2x)28(2x)8，
10、即2f(x)f(2x)x24x4，联立f(x)2f(2x)x28x8，得f(x)x2，所以f(x)2x，f(2)4，即所求切线斜率为4，所以切线方程为y44(x2)，即4xy40.B能力提升11曲线ycos x在点x处的切线方程为_解析：cos0，即求曲线ycos x上点处的切线方程，ysin x，当x时，y1.所以切线方程为y1，即xy0.答案：xy012曲线yx2的平行于直线xy10的切线方程为_解析：设所求切线的切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为f(x0)2x01，所以x0，y0.所以切线方程为xy0.答案：xy013当常数k为何值时，直线yx与函数yx2k的图象相切？并求出切点坐标解：设切点A(x0，xk)，因为y2x，所以，即.故当k时，直线yx与函数yx2的图象相切，切点坐标为.14(选做题)已知曲线y在点P(1，1)处的切线与直线m平行且距离等于，求直线m的方程解：因为y，所以曲线在点P(1，1)处的切线斜率为k3，则切线方程为y13(x1)，即3xy40.设直线m的方程为3xyb0(b4)所以，所以|b4|10，所以b14或b6，所以直线m的方程为3xy140或3xy60.
