1、第3讲 几何概型 第十章 概率考纲解读 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一预测 2021年将会考查：与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；与面积有关的几何概型，常涉及线性规划等内容题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题1 基础知识过关 PART ONE 1.几何概型的定义如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 01_成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2.几何概型的两个基本特点长度(面积
2、或体积)3.几何概型的概率公式P(A)01 _.构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积1.概念辨析(1)几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的()(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏
3、盘是()解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13，所以 P(A)P(C)P(D)P(B)故选 A.答案解析(2)在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为56，则 m()A.1 B2 C3 D4解析 区间2,4的长度为 6，在2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为56，则对应区间长度为 5，由2,3的长度为 5，得 m3.答案解析(3)(2019福州四校联考)如图，在圆心角为 90的扇形AOB 中，以圆心 O 为起点在上任取一点 C 作射线 OC，则使得AOC 和BOC
4、都不小于 30的概率是()A.13B.23C.12D.16解析 记事件 T 是“作射线 OC，使得AOC 和BOC都不小于 30”，如图，记的三等分点为 M，N，连接OM，ON，则AONBOMMON30，则符合条件的射线 OC 应落在扇形 MON 中，所以 P(T)MONAOB309013，故选 A.答案解析(4)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_解析 正方体的体积为 2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为1243r
5、31243 1323，则点 P 到点 O 的距离大于1 的概率为 1238 1 12.1 12解析2 经典题型冲关 PART TWO 1.在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log12x12 1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14解析 不等式1log12x12 1 可化为 log122log12x12 log1212，即12x122，解得 0 x32，故由几何概型的概率公式得 P3202034.答案解析题型一 与长度(角度)有关的几何概型 条件探究 1 将本例中的条件“1log12x12 1”改为“使函数 ylog124x3有意义”，则其概率为_解析 由 log12(4x
6、3)0 得 04x31，即 x34，1，由几何概型的概率公式，得 P1342018.18解析条件探究 2 将本例中的条件“1log12x12 1”改为“22x124”，则其概率为_解析 由 22x124 得 1x122，即 x12，32，由几何概型的概率公式，得 P32122012.12解析2(2019东北三省三校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ABAD1，BC 3，在边 AD 上任取点 E，连接 BE 交 AC 于点 F，则AF12的概率为_33解析 由题意，得ABC 为直角三角形，由 AB1，BC 3，得 AC2.当 AF12时，CF32，因为AFECFB，所以AEAFB
7、CCF，即AE12 332，所以 AE 33，且点 E 的活动区域为线段 AD，AD1.所以 AF12的概率为331 33.解析3如图，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB于点 M，则使得 AM 小于 AC 的概率为_解析 当 AMAC 时，ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形，ACM18045267.5.当ACM67.5时，AMAC，所以 AM 小于 AC 的概率PACM的度数ACB的度数67.590 34.34解析1.与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的
8、区域长度.(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解2.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.1.(2019河南八市重点高中联盟模拟)函数 f(x)x22x8(4x6)，在其定义域内任取一点 x0，使 f(x0)0 的概率是()A.310B.23C.35D.45解析 由题意，得 f(x0)0，即x202x080，解得x0|2x04，所以由长度的几何概型可得概率为 P426435.答案解析
9、2如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 .解析 因为在DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线 AP与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在CAB 内，区域为CAB，所以射线AP 与线段 BC 有公共点的概率为CABDAB309013.13解析角度 1 与随机模拟相关的几何概型1.(2019郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通
10、过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下：先请高二年级 n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0 x1,0y1，则实数对(x，y)在如图所示的阴影部分(不包括边界)，则能构成锐角三角形的概率为141 mn，解得 4nmn.解析角度 2 与平面图形面积有关的问题2(2019晋冀鲁豫中原名校联考)1876 年 4 月1 日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881 年加菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾
11、股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”如图，设BEC15，在梯形 ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形CDE 中(阴影部分)的概率是()A.32B.34C.23D.22答案解析 在直角三角形 EBC 中，accos15，bcsin15，则P SCDES梯形ABCD12c212ab2c2c2cos15sin15211sin3023.解析角度 3 与线性规划有关的几何概型3.(2019大庆模拟)设不等式组x20，xy0，xy0，表示的平面区域为，在区域 内任取一点 P(x，y)，则 P 点的坐标满足不等式 x2y22 的概率为()A.8B.4C.12D.12答案解析
12、画出x20，xy0，xy0，所表示的区域，易知 A(2,2)，B(2，2)，所以AOB 的面积为 4，满足不等式 x2y22 的点，在区域 内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2，由几何概型的公式可得其概率为 P248.解析1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率见举例说明 1,2.2.与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率见举例说明 3.1中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”太极图是由黑
13、白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被函数 y3sin6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为 2，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.19B.29C.118D.136答案解析 因为函数 y3sin6x 的图象与 x 轴交于点(6,0)和点(6,0)，则大圆的半径为 6，所以 S 大圆36.又小圆的半径为 2，故两个小圆的面积和为 8，所以所求的概率为 P83629.解析2.已知关于 x 的二次函数 f(x)b2x2(a1)x1.(1)若 a，b 分别表示将一质地均
14、匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求 yf(x)恰有一个零点的概率；(2)若 a，b1,6，求满足 yf(x)有零点的概率解(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,5)，(6,6)，共36 个等可能的基本事件用 A 表示事件“yf(x)恰有一个零点”，即(a1)24b20，则 a12b.则 A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共 3 个，所以 P(A)336 112.即事件“yf(x)
15、恰有一个零点”的概率为 112.解(2)用 B 表示事件“yf(x)有零点”，即 a12b.试验的全部结果所构成 的 区 域 为(a，b)|1a6,1b6，构 成 事 件 B 的 区 域 为(a，b)|1a6,1b6，a2b10如图所示：所以所求的概率为P(B)1255255 14.即事件“yf(x)有零点”的概率为14.解某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为()A.913B.113C.9 13169D.13169题型三 与体积有关的几何概型答案解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3 2的等腰直角三角形，高为 4，所以该三
16、棱锥的体积为 12，又外接球的直径 2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长、宽、高所作的长方体的对角线，即 2r 423 223 222 13，所以球的体积为52 133，所以点落在四面体内的概率为1252 1339 13169.解析与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件 A 的体积如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率为_12解析 过 M 作平面
17、 平面 ABCD，则两平面间的距离是四棱锥 MABCD 的高，显然 M 在平面 上任意位置时，四棱锥 MABCD 的体积都相等若此时四棱锥 MABCD 的体积等于16.只要 M 在截面以下即可小于16，当 VMABCD16时，即1311h16，解得 h12，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P111211112.解析3 课时作业 PART THREE 1在区间0,2上随机取一个数 x，则事件“sinx12”发生的概率为()A.13B.12C.23D.34A组基础关解析 当 x0,2时，由 sinx12得 0 x6或56 x2，因此所求概率为 P156 62 23.答案解析2(2
18、019山东师范大学附中模拟)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积，作一个边长为 5 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 1000 个点，已知恰有 400 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A2 B3 C10 D15解析 设阴影部分的面积是 S，由题意得 4001000 S52S10，选 C.答案解析3.(2019揭阳模拟)如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC2，AC4，在ABC 上任取一点，则此点取自正方形
19、DEFC 的概率为()A.29B.49C.59D.12解析 设正方形 DEFC 的边长为 x，则x24x4，解得 x43，因此所求概率为432122449.答案解析4古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足ACABBCAC 5120.618.后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为()A.512B.52C.51
20、4D.522答案解析 设 BC1，则 BQPC 512，所以 BCPQBQPC 51，所以 PQ 52，所以所求概率 PSAPQSABCPQBC 52.故选 B.解析5已知区域(x，y)|xy6，x0，y0，区域 E(x，y)|x2y0，x4，y0，若向区域 内随机投一点 P，则点 P 落在区域 E 内的概率为()A.13B.23C.19D.29解析 如图，区域 表示的平面区域为AOB 的边界及其内部，区域 E 表示的平面区域为COD 的边界及其内部，所以点 P 落在区域 E 内的概率为SCODSAOB1224126629.故选 D.答案解析6(2019青岛二中模拟)在区间2,2上随机取一个数
21、 b.若使直线 yxb 与圆 x2y2a 有交点的概率为12，则 a()A.14B.12C1 D2解析 由直线 yxb 与圆 x2y2a 有交点，得圆心到直线的距离 d|b|2 a，解得 b 2a，2a又 b2,2，且直线 yxb 与圆 x2 y2 a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率公式可知 P2a 2a2212，解得 a12.答案解析7如图，正四棱锥 SABCD 的顶点都在球面上，球心 O 在平面 ABCD 上，在球 O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_解析 设球的半径为 R，则所求的概率为PV锥V球13122R2RR43R3 12.12解析8(2020安徽马鞍山月考)如
22、图，扇形 AOB 的圆心角为2，点 P 在弦 AB 上，且 OP 2AP，延长 OP 交弧 AB于点 C，则AOC_；现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为_613解析 在AOP 中，OPsin4APsinAOC，因为 OP 2AP，所以 sinAOC12，所以AOC6.向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为 P6213.解析1已知 P 是ABC 所在平面内的一点，且PBPC4PA0，现向ABC 内随机投掷一根针，则该针扎在PBC 内的概率为()A.14B.13C.12D.23B组能力关答案解析 如图所示，以 PB，PC 为邻边作平行四边形 BPCD，连接
23、 PD 交BC 于点 O，PBPC 4PA0，PBPC PD，PD 4PA，2PO 4PA，则PO 2PA，点 P 到 BC 的距离是点 A 到 BC 距离的23，SPBC23SABC，因此向ABC 内随机投掷一根针，则该针扎在PBC内的概率为SPBCSABC23.故选 D.解析2.(2019江西师大附中模拟)如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是()A.34B.3 32C.3 34D.33答案解析 如图所示，设长方形的长为 4，宽为 2，则AOB120，阴影部分的面积 S2322122 31 83 2 3，所求概率为 P83 2 3423 34.解析本课结束
