1、第三节 平行关系【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)直线与平面平行的判定与性质:文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 若平面外一条直线与此 _的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为_,_,所以l 平面内 la a ,l 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 如果一条直线与一个平 面平行,那么过该直线的 任意一个平面与已知平 面的_与该直线平行(线面平行线线平行)因为_,_,_,所以lb 交线 l l =b(2)平面与平面平行的判定与性质:文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面内有两条 _都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
2、(线面平行面面平行)因为_,_,_,_,_,所以 相交直线 a b ab=P a b 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 如果两个平行平面同时 与第三个平面_,那么它们的_平行 因为_,_,_,所以ab 相交 交线 =a =b 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则 .(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若 ,则 .3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:证明线面平行,面面平行的方法.(2)数学思想:数形结合思想与转化与化归思想.(3)记忆口诀:判断线和面平行,面中找条平行线;已知线和面平行,过线作面找交线;要证面与面平行,面中找出
3、两交线;线面平行若成立,面面平行不用看;若是面面已平行,线面平行是必然.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)若直线a与平面 内无数条直线平行,则a.()(4)平行于同一平面的两条直线平行.()(5)若 ,且直线a,则直线a.()【解析】(1)错误.当这两条直线为相交直线时,才能保证这两个平面平行.(2)正确.如果两个平面平行,则在这两个平面内的直线没有公共点,则它们平行或异面.(3)错误.若直线a与平面内无数条直线平行,则a或a .(4)错
4、误.两条直线平行或相交或异面.(5)错误.直线a或直线a .答案:(1)(2)(3)(4)(5)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修2P33练习2T1改编)下列命题中,正确的是()A.若a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面 满足a,那么a与 内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面 满足ab,a,b,则b 【解析】选D.A错误,因a可能在经过b的平面内;B错误,a与内的 直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D正确,由a,可得 a平行于经过直线a的平面与的交线c,即ac,又ab,所以bc,b,c ,所以b.(2
5、)(教材必修2P34习题1-5A组T4改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为 .【解析】由正方体知,四边形ACC1A1为平行四边形,则A1C1AC,又A1C1平面AEC,AC 平面AEC,所以A1C1平面ACE.答案:平行 3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2013广东高考)设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l,l,则 B.若l,l,则 C.若l,l,则 D.若 ,l,则l 【解析】选B.选项A,若l,l,则和可能平行也可能相 交,故错误;选项B,若l,l,则,故正确;选项C,若l,l,则,故错误;选项D,若
6、,l,则l与的 位置关系有三种可能:l与相交,l,l ,故错误,故选B.(2)(2015铜川模拟)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题中,错误的是()A.若m,m,则 B.若 ,则 C.若m ,n ,mn,则 D.若m,n是异面直线,m ,m,n ,n,则 【解析】选C.由线面垂直的性质可知A正确;由两个平面平行的性质可知B正确;由线面平行的性质和面面平行的判定可知D正确;对于选项C,可以相交、可以平行,故C错误,选C.(3)(2015宜春模拟)如图,四棱锥PABCD的底面是一直角梯形,ABCD,BAAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位
7、置关系为 .【解析】取PD的中点F,连接EF,AF,在PCD中,EF CD.又因为ABCD,且CD=2AB,所以EF AB,所以四边形ABEF是平行四边形,所以EBAF.又因为EB平面PAD,AF 平面PAD,所以BE平面PAD.答案:平行 12考点1 与线、面平行关系有关命题真假的判断【典例1】(1)(2015长春模拟)设a,b为两条不同的直线,为两个不同的平面.则下列四个命题中,正确的是()A.若a,b与 所成的角相等,则ab B.若a,b,则ab C.若a ,b ,ab,则 D.若a,b,则ab(2)已知,是两个不同的平面,下列四个条件中能推出 的 是()存在一条直线a,a,a;存在一个
8、平面,;存在两条平行直线a,b,a ,b ,a,b;存在两条异面直线a,b,a ,b ,a,b.A.B.C.D.【解题提示】(1)对每个选择支,全面考虑空间线面位置关系的各种可能,依据相应的判定定理和性质定理进行判断.(2)根据线面、线线平行或垂直的判定或性质求解.【规范解答】(1)选D.对于选项A,当a,b与均成0角时,a,b就不 一定平行;对于选项B,只需找个平面,使,且a ,b 即可满足题设,但a,b不一定平行;对于选项C,可参考直三棱柱模型排除.故选D.(2)选C.对存在一条直线a,a,a,故正确,排除B,D,对于,存在两条平行直线a,b,a ,b ,a,b,如图所示,不能推出,故排除
9、A.【规律方法】与平行关系有关命题真假的判断技巧(1)熟悉线、面关系的各个定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形.【变式训练】(2015绍兴模拟)已知两条直线a,b,两个平面,则下列结论中正确的是()A.若a ,且 ,则a B.若b ,ab,则a C.若a,则a D.若b,ab,则a 【解析】选A.A.因为,又a ,所以a,故A正确;B.因为b ,ab,若a ,则a不可能与平行,故B错误;C.因为a,若a ,则结论
10、不成立,故C错误;D.因为b,ab,若a ,则结论不成立,故D错误.【加固训练】设a,b为不重合的两条直线,为不重合的两个平面,给出下列命题:若a ,b,a,b是异面直线,那么b;若a 且b,则ab;若a ,b,a,b共面,那么ab;若 ,a ,则a.上面命题中,所有真命题的序号是 .【解析】中的直线b与平面也可能相交,故不正确;中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得正确;由面面平行的性质可得正确.答案:考点2 直线与平面平行的判定与性质 知考情 直线与平面平行的判定与性质是高考考查平行关系的一个重要考向,常与线线平行、面面平行及垂直关系综合出现在解答题中,考查线面平
11、行的判定定理与性质定理在证明中的应用.明角度 命题角度1:证明直线与平面平行【典例2】(2014新课标全国卷改编)如图 所示,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,E为PD的中点,AB=1,求证:CE平面PAB.【解题提示】根据线面平行的判定定理在平面PAB内找一条直线,证明其与CE平行即可.【规范解答】由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 .如图所示,延长DC,AB,设其交于点N,连接PN,因为NAC=DAC=60,ACCD,所以 C为ND的中点,又因为E为PD的中点,所以ECPN,因为EC平面PAB,PN 平面PAB,所以EC平面PAB.3
12、【一题多解】解答本题,你知道几种证法.解答本题,还有以下方法:取AD中点为M,连接ME,MC,因为E为PD的中点,所以EMPA,EM平面PAB,PA 平面PAB,所以 EM平面PAB,由已知得AC=2AB=2,AD=2AC=4,则CM=AM=2,所以BAC=ACM=60,所以MCAB,又CM平面PAB,所以CM平面PAB,而CMEM=M,所以平面EMC平面PAB,又EC 平面EMC,所以EC平面PAB.【互动探究】在本例的条件下,若PA平面ABCD,PA=2AB,求三棱锥 P-ACE的体积.【解析】方法一：由已知条件有AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=因为PA平面ABCD，所以PACD
13、.又因为CDAC，ACPA=A，所以 CD平面PAC.因为E是PD的中点，所以点E到平面PAC的距离 SPAC=22=2.所以四面体PACE的体积 方法二：由已知条件有AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=2 .因为PA平 面ABCD，所以VP-ACD=SACDPA=因为E是PD的中点，所以四面体PACE的体积V=2 3.1hCD3,212PAC112 3VSh23.333 31314 32 32.33P ACD12 3V.23命题角度2:直线和平面平行性质定理的应用【典例3】(2014安徽高考)如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 点G,E,F,H分别是棱
14、PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF.(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.17.【解题提示】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH.(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,则点K为OB的中点,由面面 垂直得出GKEF,再由梯形面积公式S=GK计算求解.GHEF2【规范解答】(1)因为BC平面GEFH,BC 平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC,同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK,因为PA=PC,点O是AC的中点,所以POAC,同理
15、可得POBD,又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD,又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH,因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF,所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB=DB=OB,即点K是OB的中点.再由POGK得GK=PO,即点G是PB的中点,且GH=BC=4,由已知可得 所以GK=3,故四边形GEFH的面积 1412121222OB4 2POPBOB68326，GHEF48SGK318.22 悟技法 1.证明线线平行的常用方法(1)利用公理4
16、:找第三线,只需证明两线都与第三线平行即可.(2)利用三角形的中位线的性质.(3)构建平行四边形利用其对边平行.2.证明直线与平面平行的两种重要方法及关键(1)利用直线与平面平行的判定定理.关键:在该平面内找或作一线证明其与已知直线平行.(2)利用面面平行的性质.关键:过该线找或作一平面证明其与已知平面平行.3.线面平行性质定理的应用 转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.通一类 1.(2013新课标全国卷)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD.(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C-A1DE的体积.2
17、【解析】(1)连接AC1,交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB的中点,连接DF,则BC1DF.因为DF 平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2 得 ACB=90,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.所以 22631C A DE11V6321.322.(2015南昌模拟)如图,几何体E-ABCD是 四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECB
18、D.(1)求证:BE=DE.(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.【证明】(1)如图,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以COBD,又ECBD,ECCO=C,CO,EC 平面EOC,所以BD平面EOC,因此BDEO,又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)方法一:如图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN,因为M是AE的中点,所以MNBE.又MN平面BEC,BE 平面BEC,所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形,所以BDN=30,又CB=CD,BCD=120,因此CBD=30,所以DNBC.又DN平面BEC,BC 平面BEC,所以DN平面BEC
19、.又MNDN=N,故平面DMN平面BEC,又DM 平面DMN,所以DM平面BEC.方法二:如图,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,BCD=120,所以CBD=30.因为ABD为正三角形,所以BAD=60,ABC=90,因此AFB=30,所以AB=AF.12又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,因此DMEF.又DM平面BEC,EF 平面BEC,所以DM平面BEC.【加固训练】(2015杭州模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M,N分别是AF,BC的中点).(1)求证:MN平面CDEF.(2)求多面体A-CDEF的体积.【解析】由三视图可
20、知:AB=BC=BF=2,DE=CF=2 ,CBF=(1)取BF的中点G,连接MG,NG,由M,N分别为AF,BC的中点可得,NGCF,MGEF,且NGMG=G,CFEF=F,所以平面MNG平面CDEF,又MN 平面MNG,所以MN平面CDEF.2.2(2)取DE的中点H.因为AD=AE,所以AHDE,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ADE平面CDEF,平面ADE平面CDEF=DE.所以AH平面CDEF.所以多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在ADE中,AH=.S矩形CDEF=DEEF=4 ,所以棱锥A-CDEF的体积V=S矩形CDEFAH=2213184 22.33
21、考点3 面面平行的判定和性质【典例4】(2013陕西高考改编)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,证明:平面 A1BD平面CD1B1.【解题提示】在平面A1BD找两条相交直线,分别证明其平行平面CD1B1即可.【规范解答】由题设知,BB1 DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BDB1D1.又BD平面CD1B1,所以BD平面CD1B1.因为A1D1 B1C1 BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BD1C,又A1B平面CD1B1,所以A1B平面CD1B1.又BDA1B=B,所以平面A1BD平面CD1B1.【规律方法】1.判定面面平行的方法(1)
22、利用定义:常用反证法.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面平行的性质(1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.(2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.提醒:利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.重视三种平行间的转化关系 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.【变式训练】(2015榆林模拟)如图,ABCD与ADEF为平行四边形
23、,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE平面DMF.(2)求证:平面BDE平面MNG.【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO,又BE平面DMF,MO 平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN,又DE平面MNG,GN 平面MNG,所以DE平面MNG.又M为AB中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN,又BD平面MNG,MN 平面MNG,所以BD平面MGN,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE平面MNG.【加固训练】1.如图
24、所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.(1)求证:E,B,F,D1四点共面.(2)求证:平面A1GH平面BED1F.【证明】(1)连接FG.因为AE=B1G=1,所以BG=A1E=2,又BGA1E,所以四边形BGA1E为平行四边形.则A1GBE.又C1FB1G,C1F=B1G,所以四边形C1FGB1为平行四边形.则FGB1C1,FG=B1C1.又B1C1D1A1,B1C1=D1A1,所以FGD1A1,FG=D1A1.则四边形A1GFD1为平行四边形.则A1GD1F,所以D1FBE.故
25、E,B,F,D1四点共面.(2)因为H是B1C1的中点,所以B1H=.又B1G=1,且FCB=GB1H=90.所以B1HGCBF,则B1GH=CFB=FBG.所以HGFB.又由(1)知,A1GBE,且HGA1G=G,FBBE=B,所以平面A1GH平面BED1F.3211B G2FC2.B H3BC3又，2.如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)当 等于何值时,BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1,求 的值.1111A DD CADDC【解析】(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时 1.连接A1B，交AB1于点O，连接
26、OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.在A1BC1中，点O，D1分别 为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1 平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以当 1时，BC1平面AB1D1.1111A DD C1111A DD C(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面 A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，所以 又由题 可知 11111A DA ODCDCAD111.D CAD OBADDC，所以，即11111A DA OD COB，规范解答10 线、面平行中的探索性问
27、题【典例】(12分)(2014四川高考)在如图所示的 多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1.(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是 否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.解题导思 研读信息 快速破题 规范解答 阅卷标准 体会规范(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1平面ABC.2分 因为直线BC 平面ABC,所以AA1BC.3分 又由已知,ACBC,AA1,AC为平面AAC1A1 内两条相交直线.所以B
28、C平面ACC1A1.6分(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1.设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点,连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1 的中位线,所以MD AC,OE AC,因此MD OE,8分 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE MO.1212因为直线DE平面A1MC,MO 平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.10分 即线段AB上存在一点 M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.12分 高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.注意答题的规范性 在解题过程中,注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求答题,如本例中证明直线与平面垂直,要先证直线与平面内两相交直线垂直,再证结论,另外还要注意解题过程中取的点,连的线,都要适时的交待.2.关键步骤要全面 阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有关键步骤、关键点则得分,没有要相应扣分,所以解题时要写全关键步骤,踩点得分,如本例阅卷提示的前两处,不能漏掉,否则要扣分.
