1、高考资源网（） 您身边的高考专家33随机数的含义与应用33.1几何概型1.了解几何概型的定义及特征2.理解几何概型与古典概型的异同3.掌握几何概型的概率公式, 学生用书P66)1几何概型的定义及其特征(1)几何概型的定义事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型(2)几何概型的特征无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；等可能性：每个基本事件出现的可能性相等(3)几何概型与古典概型的比较概率类型不同点相同点几何概型试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个每个基本事件出现的可
2、能性一样，即都满足等可能性古典概型试验中的所有可能出现的结果只有有限个2几何概型的概率计算(1)几何概型概率的计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量(2)与长度有关的几何概型的概率计算如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A).(3)与面积有关的几何概型的概率计算如果试验的结果所构成区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为P(A).(4)与体积有关的几何概型的概率计算如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A).1下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间10
3、，10上任取一个数，求取到的数在0，1内的概率；从区间10，10上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10，10上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率A1B2C3 D4解析：选C.中的概率模型是几何概型，因为区间10，10上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；中的概率模型不是几何概型，因为区间10，10上的整数只有21个，是有限的；中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同2用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等
4、可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为()A BC D解析：选B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为 P.3.向如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：设圆的半径为R，则圆的面积为SR2，阴影的面积S阴2RRR2，故所求概率P.答案：与长度有关的几何概型学生用书P67如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？【解】记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，则中间长度为3010米，所以P(E).求解与长度有关
5、的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段(2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率(3)利用几何概型概率的计算公式P计算 一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P1.(2)P2.(3)P3.与面积有关的几何概型学生用书P67(1)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标
6、为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()ABC D(2)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A1BCD【解析】(1)易知点C的坐标为(1，2)，点D的坐标为(2，2)，所以矩形ABCD的面积为6，阴影部分的面积为，故所求概率为.(2)设扇形的半径为2，则其面积为.记由两段小圆弧围成的阴影面积为S1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S2，则S12()1，S22221211，故阴影部分的总面积为2(1)2，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为1
7、.【答案】(1)B(2)A与面积有关的几何概型的求解思路解决此类几何概型问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式P(A)，从而求得随机事件的概率 在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则点P到三个顶点的距离中至少有一个小于1的概率是()A BC D解析：选D.以A，B，C为圆心，1为半径作圆，与ABC相交得三个扇形(如图中阴影部分所示)，当点P落在阴影部分时符合要求因为正三角形的三个角均为60，故三个扇形的面积之和恰好是半个圆的面积，可得所求概率为.故选D.与体积有关的几何概型学生用书P68一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞
8、行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()ABC D【解析】满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P.【答案】C若本例条件不变，求这个蜜蜂飞到与正方体某一顶点A的距离小于的概率解：到A点的距离小于的点，在以A为球心，半径为的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的点的区域体积为.所以P.如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水
9、的体积有关，符合几何概型的条件因为小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水，所以由几何概型求概率的公式得P(A)0.05.1几何概型试验必须满足的两个基本特点(1)无限性(即一次试验中可能出现的结果有无限个)；(2)等可能性(每个结果的发生具有等可能性)2几何概型的计算步骤1判断是否为几何概型是解题关键，必须明确指出2根据题意判断几何概型的几何度量是长度、面积还是体积如果审题不准容易做出错误判断1下面关于几何概型的说法错误的是()A几何概型也是古典概型的一种B几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D几何概型中每个结果的发生具有等可能性解析：选A.几何概型
10、基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型2一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，则小狗最终停在条形方砖上的概率是()ABC D解析：选C.该试验是几何概型，概率为.3如图，以正方形ABCD的左右两边为直径在正方形内部作半圆，现在向该正方形区域内随机地投掷一飞镖，则飞镖落在图中阴影部分的概率是_解析：依题意得这是个面积型的几何概型问题，由几何概型公式可知：P.答案：4一个球形容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL水，含有感冒病毒的概率为_解析：水的体积为R33336(cm3)36(mL)，则含有感冒病毒的概率P(A)
11、.答案：, 学生用书P123(单独成册)A基础达标1取一根长为3 m的绳子AB，拉直后在任意位置C剪断，那么满足ACBC1的概率为()ABC D1解析：选B.设ACx m，x0，3，则BC(3x)m.因为ACBC1，所以2x3，故所求的概率为.故选B.2已知集合Ax|1x5，Bx|2x3，在集合A中任取一个元素x，则事件“xAB”的概率为()A BC D解析：选A.ABx|2xAB)设ABx，过点E作EFAB交AB于点F，则BFx.在RtFBE中，EF2BE2FB2AB2FB2x2，即EFx，所以.6如图，正方体的棱长为1，随机从正方体内取一点，则这点在三棱锥DABC内的概率为_解析：因为正方
12、体的棱长为1，所以其体积V1.又三棱锥DABC的体积V1111，所以从正方体内取一点，这点在三棱锥DABC内的概率为.答案：7已知ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为_解析：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为2，取到的点到O的距离大于1的概率为1.答案：18已知方程x23x10，若p在0，10中随机取值，则方程有实数根的概率为_解析：因为总的基本事件是0，10内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度
13、，总的基本事件对应区间0，10，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足0，即9410，得p5，所以对应区间0，5，长度为5，所以所求概率为.答案：9有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率解：圆柱的体积V圆柱1222是试验的全部结果构成的区域体积以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13，则构成事件A“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2，由几何概型的概率公式得P(A).10在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方
14、格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P.B能力提升11在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A BC D解析：选C. 如图所示，在边AB上任取一点P，因为ABC与PBC是等高的，所以事件“PBC的面积大于”等价于事件“”即P(PBC的面积大于).12有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的
15、概率为_解析：设圆面半径为R，如图所示：ABC的面积SABC3SAOC3ACOD3CDOD3Rsin 60Rcos 60，所以P.答案：13设关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0，3上任取的一个数，b是从区间0，2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率解：设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，
16、(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3，0b2构成事件A的区域为(a，b)|0a3，0b2，ab所以所求的概率为P(A).14(选做题)如图，已知AB是半圆O的直径，AB8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个等分点(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求SAB的面积大于8的概率解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM，ABN，ABP，AMN，AMP，ANP，BMN，BMP，BNP，MNP，其中是直角三角形的只有ABM，ABN，ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为.(2)连接MP，ON，OM，OP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD2，当S点在线段MP上时，SABS288，所以只有当S点落在阴影部分(不在MP上)时，SAB面积才能大于8，而S阴影S扇形MOPSOMP424248，所以由几何概型的概率公式得SAB的面积大于8的概率为.高考资源网版权所有，侵权必究！
