1、 压轴小题“瓶颈”突破“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个台阶？新高考卷客观题满分 80 分，共 16 题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第 8，11，12，15，16 题中有较大收获，分析近年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”，迈进双一流.压轴热点 1 函数的图象、性质及其应用【例 1】(1)(2020江南名校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2xl
2、n xln 2，则函数 g(x)f(x)sin x 的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.5(2)(2020石家庄调研)若函数 f(x2)为奇函数，f(2)0，且 f(x)在区间2，)上单调递减，则不等式 f(3x)0 的解集为_.解析(1)函数 g(x)的零点个数，即函数 yf(x)的图象与 ysin x 的图象交点个数.当 x0 时，f(x)2xln xln 2，则 f(x)21x2xx，令 f(x)0，得 x2.易知当 0 x2时，f(x)0；当 x2时，f(x)0.则 f(x)在0，2 上单调递减，在2，上单调递增，所以当 x2时，f(x)取得最小值，且最小值为 f2 1.函数y
3、sin x 在 x2处取得最大值 1，所以当 x0 时，f(x)的图象与 ysin x 的图象有且只有一个交点2，1.由 f(x)和 ysin x 均为奇函数，可得当 x0 时，f(x)的图象与 ysin x 的图象的交点也有且只有一个，为点2，1.又两函数的图象均过原点，因此函数 yf(x)与 ysin x 的图象有 3 个交点，所以函数 g(x)f(x)sin x的零点有 3 个.(2)因为函数 f(x2)是奇函数，所以函数 f(x2)的图象关于点(0，0)对称，故 f(x)的图象关于点(2，0)对称.又 f(x)在2，)上单调递减，f(x)在(，2)上也单调递减，由 f(3x)0f(2)
4、，得 3x2，x5.不等式 f(3x)0 的解集为(5，).答案(1)C(2)(5，)探究提高 1.利用图象法求函数 f(x)的零点个数时，直接画函数 f(x)的图象较困难，可以将解析式变形，将函数零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.(2)熟练掌握与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.【训练 1】(2020山东师大附中模拟)已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是
5、自然对数的底数，在 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_.解析 因为函数 f(x)x32xex 1ex，所以 f(x)3x22ex 1ex3x222ex 1ex0(当且仅当 x0 时取等号)，所以 f(x)在 R 上单调递增.又 f(x)(x)32xexexf(x)且 xR，f(x)是奇函数，由 f(a1)f(2a2)0，得 f(2a2)f(1a).所以 2a21a，解之得1a12.答案 1，12压轴热点 2 三角函数与正(余)弦定理【例 2】(1)已知函数 f(x)asin xbcos x(0)，若 xx0 是函数 f(x)的一条对称轴，且 tan x03，则点(a，b)所在
6、的直线为()A.x3y0 B.x3y0C.3xy0 D.3xy0(2)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若12bsin C cos Asin Acos C，且 a2 3，则ABC 面积的最大值为_.解析(1)f(x)asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 tan ba.xx0 是函数 f(x)的一条对称轴，x0k2，kZ.tan x0tank2tan2 cos sin 1tan，从而ab3，得 a3b0，所以点(a，b)在直线 x3y0 上.(2)因为12bsin C cos Asin Acos C，所以12bcos Asin Ccos Asin Ac
7、os C，所以12bcos Asin(AC)，所以12bcos Asin B，所以cos A2sin Bb，又sin Bb sin Aa，a2 3，所以cos A2sin A2 3，得 tan A 3，又 A(0，)，则 A3，由余弦定理得(2 3)2b2c22bc12b2c2bc2bcbcbc，即 bc12，当且仅当 bc2 3时取等号，从而ABC 面积的最大值为1212 32 3 3.答案(1)A(2)3 3探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键在于灵活利用三角恒等变换公式将函数化为 yAsin(x)B(0，A0)的形式，进一步讨论函数的单调性、对称性、周期、零点等.2.解三角形的关
8、键是活用正弦、余弦定理实施边角的转化，在求三角形面积的取值时，常把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决.【训练 2】(2020成都诊断)如图所示的是函数 f(x)sin(x)0，02在区间6，56 上的图象，若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于直线 x512对称，则 m 的最小值为()A.76 B.6C.8D.724解析 由图象知，最小正周期 T566，2T 2.又6，0 是图象的“第一零点”.620，则 3.故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin2x3.把 f(x)sin2
9、x3 的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移 m(m0)个单位长度后，得到 g(x)sin4x4m3 的图象，因为所得图象关于直线 x512对称，所以 45124m32k(kZ)，解得 m3814k，kZ，所以由 m0，可得当 k1 时，m 取得最小值，且最小值为8.答案 C压轴热点 3 空间位置关系与计算【例 3】(1)(多选题)如图，等边ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知AED 是AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中正确的是()A.动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上B.恒有 BD平面 AEFC.三棱锥 AEFD 的体
10、积有最大值D.异面直线 AF 与 DE 不可能垂直(2)(2020江南名校联考)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，M，N，E，F分别是 A1B1，AD，B1C1，C1D1 的中点，则过 EF 且与 MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为_，CE 和该截面所成角的正弦值为_.解析(1)因为 ADAE，ABC 是正三角形，所以点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上，故 A 正确；因为 BDEF，所以恒有 BD平面 AEF，故 B 正确；三棱锥 AFED 的底面积是定值，体积由高即点 A到底面的距离决定，当平面ADE平面 BCED 时，三棱锥 AFED 的体积有最大值，故
11、 C 正确；因为 DE平面 AFG，故 AFDE，故 D 错误.(2)如图所示，设 CD，BC 的中点分别为 H，G，连接 HE，HG，GE，HF，ME，NH.易证 MENH，MENH，所以四边形 MEHN 是平行四边形，所以 MNHE.易知四边形 EFHG 为矩形，因为 MN平面 EFHG，HE平面 EFHG，所以 MN平面 EFHG，所以过 EF 且与 MN 平行的平面为平面 EFHG，平面 EFHG 截正方体所得截面为矩形 EFHG，易知 EF 2，FH2，所以截面 EFHG 的面积为 2 22 2.连接 AC，交 HG 于点 I，易知 CIHG，平面 EFHG平面 ABCD，平面 EF
12、HG平面 ABCDHG，所以 CI平面 EFHG，连接 EI，因为 EI平面 EFHG，所以 CIEI，所以CEI 为直线 CE 和截面 EFHG 所成的角.在 RtCIE 中，易知 CE 122 5，CI14AC2 24 22，所以 sinCEICICE 1010.答案(1)ABC(2)2 2 1010探究提高 1.在折叠过程中，ADE 的边长不变，BC平面 ADE 及 AGDE的关系保持不变，抓住不变性，明确几何量之间的关系是解题的关键.2.第(2)题利用线面平行的判定，确定所求截面为矩形 EFHG，这是求解的关键，第二个空在前面的基础上，运用线面、线线、面面垂直作出线面角，使考题的功能最
13、大化，进一步考查学生数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【训练 3】(1)(多选题)如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，ABADCD2，BD2 2，BDC90，将ABD 沿对角线 BD 折起至ABD，使平面 ABD平面 BCD，则四面体 ABCD 中，下列结论正确的是()A.EF平面 ABCB.异面直线 CD 与 AB 所成的角为 90C.异面直线 EF 与 AC 所成的角为 60D.直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30(2)(2020河北名校调研)在三棱锥 PABC 中，若平面 PBC平面 ABC，ABC90，AB2，BC1，PB2 2，PBC45，则三
14、棱锥 PABC 外接球的表面积是_.解析(1)A 选项：因为 E，F 分别为 AD 和 BD 的中点，所以 EFAB，即 EF平面 ABC，A 正确.B 选项：因为平面 ABD平面 BCD，交线为 BD，且 CDBD，所以 CD平面 ABD，即 CDAB，故 B 正确.C 选项：取 CD 边中点 M，连接EM，FM，则 EMAC，所以FEM 为异面直线 EF 与 AC 所成角，因为 CD平面 ABD，所以 CDAD，又 ADCD2，所以 AC2 2，所以 EM 2，又 EF1，FM12BD2CD2 3，所以FEM90，故 C 错误；D 选项，连接 AF，因为 ABAD，F 为 BD 的中点，所
15、以 AFBD，又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，所以 AF平面 BCD，连接 FC，ACF 为直线 AC与平面 BCD 所成的角，又 AC2 2，AFAD2DF2 2，所以 sinACFAFAC22 212，所以ACF30，故 D 正确，故选 ABD.(2)在平面 BCP 中找一点 Q，连接 BQ，使得 BQ 为BCP 外接圆的直径，连接QC，则QCB90，则 QC平面 ABC，所以 QCAC，QCA90.易知 AB平面 PBC，则ABQ90，连接 AQ，设 AQ 的中点为 O，则点 O 到 A，B，C，Q 四点的距离相等，故 AQ 为三棱锥 PABC 外接球的直径.易
16、得 PC 5，BQ5sin 45 10，所以 AQ2BQ2AB2144R2(R 为外接球的半径).故 S 外接球4R214.答案(1)ABD(2)14压轴热点 4 圆锥曲线及其性质【例 4】(1)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8(2)(2020成都七中检测)已知双曲线 C：x2a2y2b21(ab0)的两条渐近线与圆 O：x2y25 交于 M，N，P，Q 四点，若四边形 MNPQ 的面积为 8，则双曲线 C 的渐近线方程为()A.y14xB.
17、y12xC.y 22 xD.y 24 x解析(1)不妨设抛物线 C：y22px(p0)，|AB|4 2，点 A 是圆与抛物线交点，由对称性设 A(x1，2 2)，则 x1（2 2）22p4p.又|DE|2 5，且点 D 是准线与圆的交点，Dp2，5 且|OD|OA|.从而4p2(2 2)2p22(5)2，解得 p4.因此 C 的焦点到准线的距离是 4.(2)依题意，不妨设点 M(x，y)在第一象限，联立x2y25，ybax，解得x 5ac，y 5bc(其中 c2a2b2)，可知四边形 MNPQ 为矩形且面积为 8，且根据双曲线的对称性，5ac 5bc 2，即2c25ab.又因为 c2a2b2，
18、所以 2(a2b2)5ab2b2a25ba20，解得ba12(ba2 舍去).故所求渐近线方程为 y12x.答案(1)B(2)B探究提高 1.与圆锥曲线方程相关的问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数 a，b，c 满足的等量关系(不等关系)，然后把 b 用 a，c 表示，求ca的值(范围).【训练 4】(1)(2020太原检测)已知 F 为椭圆 C：x24y21 的右焦点，过点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，O
19、为原点.若OPF 是以 OF 为底边的等腰三角形，则直线 l 的斜率为()A.12B.36C.2 D.2 3(2)已知双曲线 C 经过点(2，3)，且该双曲线的其中一条渐近线的方程为 y 3x，F1，F2 分别为该双曲线的左、右焦点，双曲线 C 的方程为_，若 P 为该双曲线右支上一点，点 A(6，8)，则当|PA|PF2|取最小值时，点 P 的坐标为_.解析(1)因为 ca2b2 3，所以右焦点 F(3，0).设直线 l 的方程为 yk(x 3)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x214y211 x224y221 得x21x224(y21y22)0，则y1y2x
20、1x2x1x24（y1y2）.因为点 P 为 AB 中点，知 x1x22x0，y1y22y0.所以直线 l 的斜率 ky1y2x1x2x1x24（y1y2）x04y0.又OPF 是以 OF 为底边的等腰三角形，所以 x0 32，y0k(x0 3)32 k.所以 k x04y0324 32 k，得 k214，k12.(2)由题意，可设双曲线 C 的方程为 y23x2，将(2，3)代入，得 32322，得 3，故双曲线 C 的方程为 x2y231.作出双曲线 C 如图所示，连接 PF1，AF1.由双曲线定义，得|PF1|PF2|2.所以|PF2|PF1|2.则|PA|PF2|PA|PF1|2|AF
21、1|2，当且仅当 A，P，F1 三点共线时，等号成立.由 A(6，8)，F1(2，0)，得直线 AF1 的方程为 yx2，由yx2，x2y231，得 2x24x70，解得 x13 22，又点 P 在双曲线的右支上，所以点 P 的坐标为13 22，33 22.答案(1)A(2)x2y231 13 22，33 22压轴热点 5 导数及其应用【例 5】(2020合肥检测)已知函数 g(x)ax21exe，e为自然对数的底数 与h(x)2ln x 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是_.解析 函数 g(x)ax21exe，e为自然对数的底数与 h(x)2ln x 的图象上存在关于
22、 x 轴对称的点，等价于 ax22ln x 在1e，e 上有解，即a2ln xx2 在1e，e 上有解.设 f(x)2ln xx2，x1e，e，则 f(x)2（1x）（1x）x.f(x)0 在1e，e 上有唯一的零点 x1.故 f(x)在1e，1 上单调递增，在(1，e上单调递减.f(x)maxf(1)1，又 f1e 21e2，f(e)2e2，知 f(e)f1e.函数 f(x)的值域为2e2，1.故方程a2ln xx2 在1e，e 上有解等价于 2e2a1，即 1ae22，实数 a 的取值范围是1，e22.答案 1，e22探究提高 1.利用导数研究函数的单调性、极值，一定注意字母参数取值的影响
23、，重视分类讨论思想.2.利用导数解零点或不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.【训练 5】(2020佛山调研)已知 f(x)是定义在2，2 上的奇函数，其导函数为f(x)，f8 2，且当 x0，2 时，f(x)sin 2x2f(x)cos 2x0.则不等式 f(x)sin 2x1 的解集为_.解析 设 F(x)f(x)sin 2x，则 F(x)f(x)sin 2x2f(x)cos 2x.f(x)在2，2 上是奇函数，F(x)f(x)sin(2x)f(x)sin 2xF(x)，故 F(x)在定义域2，2 上是偶函数.当 x0，2 时，f(x)sin 2x2f(x)cos 2x0，F(x)0，则 F(x)在0，2 上单调递增.因为 F8 f8 sin 4 2 22 1.又 F(x)在2，2 上是偶函数，且在0，2 上递增.f(x)sin 2x1F(x)F8.|x|8，解之得8x8，所以 x8，8.答案 8，8
