1、高考资源网（） 您身边的高考专家31.3两个向量的数量积1.了解空间向量的夹角、两条异面直线所成的角的概念2.理解两个向量数量积的概念 3掌握数量积的运算及应用1两个向量的夹角2异面直线3两个向量的数量积(或内积)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()(3)若abbc，且b0，则ac.()(4)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()答案：(1)(2)(3)(4)2在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45的是()A与B与C与 D与答案：A3已知向量a，b满足|a|1，且ab2，a与b的
2、夹角为，则|b|_答案：44已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_答案：向量的数量积的概念与性质下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给出理由(1)ab0，则a0或b0；(2)p2q2(pq)2；(3)|pq|pq|p2q2|；(4)若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直【解】(1)此命题不正确因为ab0有两种情况：当a，b均不为零向量时，则a与b垂直，此时ab0；当a与b至少有一个为0向量时，ab0也成立，故由ab0，推不出a0或b0.(2)此命题不正确因为p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，所以当且仅当pq时，p
3、2q2(pq)2.(3)此命题不正确因为|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.(4)正确因为a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，因为两向量均为非零向量，故a与(ab)c(ac)b垂直关于向量数量积的概念题，弄清其实质是关键，两个向量的数量积是一个数量，它等于两向量模与其夹角余弦值的乘积，两向量数量积有正也有负也可为0.当两向量垂直时其数量积为零 下列结论中，正确的是()A(ab)ca(bc)B若ab|a|b|，则a、b共线C非零向量a、b、c，若acbc，则abD若|a|
4、2|b|2，则ab解析：选BA中内积不满足结合律，C中数量积不满足消去律，D只能得到|a|b|，故选B空间向量数量积的运算已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)；(2).【解】如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.若本例的条件不变，计算.解：()()(abc)|a|2|b|22.(1)空间向量运算的两种方法利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算利用图形：计算两个向量的数量积，
5、可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积代入ab|a|b|cosa，b求解 1.已知|a|3，|b|4，a，b120，则(3a2b)(a2b)_解析：(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|23943441627246461.答案：612.如图，已知正四面体OABC的棱长为1. 求：(1)；(2)()()解：在正四面体OABC中，|1，60.(1)|cosAOB11cos
6、 60.(2)()()()()()(2)22222122211cos 6012211cos 60111111.数量积的应用如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值【解】因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.所以cos，所以OA与BC的夹角的余弦值为.(1)由公式ab|a|b|cosa，b可得cosa，b.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解 (2)利用夹角公式求两条异面直线的夹角时，要注意cos |cosa，b|，这是因为异面直线的夹角为不大于90的角 在正方
7、体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明：设a，b，c，则ab0，bc0，ac0.而()c(ab)，ba，()(ab)c.所以(cab)(ba)c(ba)(ab)(ba)(|b|2|a|2)0.所以，所以A1OBD.同理可证：，所以A1OOG.又因为OGBDO，且A1O平面BDG，所以A1O平面GBD.1对向量数量积的理解(1)ab是数量而不是向量，ab的正负由cosa，b确定(2)ab是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同书写时应写成ab，而不能写成ab.(3)ab的几何意义为：ab等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cosa，
8、b的乘积，也等于向量b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cosa，b的乘积(4)零向量与任何向量的数量积都为0，即0a0.2向量夹角与异面直线的关系若两个向量a，b所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为.(1)不同之处：向量夹角的范围是：0a，b，异面直线夹角的范围是：0.(2)联系：当两向量的夹角为锐角时，a，b；当两向量的夹角为时异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，则a，b求空间图形中两个向量的夹角，要注意分析图形，把一个向量的起点平移到与另一个向量的起点重合，转化为求平面角的大小，但一定要注意向量的方向如，与，两个夹角是互补的1已知向量a，b是平面内两个不相等的非零向量，非零向量c
9、在直线l上，则“ca0，且cb0”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B若l，则ca，ca0，cb，cb0，反之，若ab，且ca，cb，并不能证明l.2设空间有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析：选B因为(2)()()()220，所以|.所以ABC是等腰三角形3已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab等于_解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.答案：24已知|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角大小为_解析
10、：因为a与2ba互相垂直，所以a(2ba)0，所以aba2|a|22.所以cosa，b，所以a，b.答案：A基础达标1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3 D3解析：选B由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 Ba2Ca2 Da2解析：选C()()(aaaa)a2.3已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则
11、下列各组向量中，数量积不为零的是()A与 B与C与 D与解析：选A可用排除法因为PA平面ABCD，所以PACD，0，排除D又因为ADAB，所以ADPB，所以0，同理0，排除B，C，故选A4如图，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 B6C12 D144解析：选C因为，所以2222222363636236cos 60144，所以PC12.5设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析：选B因为2()()，所以()()|2|20，所以|，即ABC是等腰三角形6在空间四边形ABCD中，_
12、解析：原式()()()0.答案：07如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB4，AA13，BAA160，E为棱C1D1的中点，则_解析：，243cos 6004214.答案：148如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_解析：不妨设棱长为2，则，cos，0，所以，90.答案：909如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的
13、长解：(1)(ca)a(ba)abc.(2)因为(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，所以|abc|，所以|abc|，即MN.10直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解：设a，b，c，根据题意得|a|b|c|，abbcca0.(1)证明：易知bc，cba.所以c2b20.所以，即CEAD.(2)易知ac，所以|a|，又bc，所以|a|，所以(ac)c2|a|2，所以cos，.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.B能力提升11已知空间四边形ABCD中，ACDBDC
14、90，且AB2，CD1，则AB与CD所成的角是()A30 B45C60 D90解析：选C根据已知ACDBDC90，得0，所以()|2|21，所以cos，所以AB与CD所成的角为60.12在三棱锥OABC中，OAOB，OAOC，BOC60，OAOBOC2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF_解析：因为()，所以|2()2(222222)又由已知得|2，222，所以|2(4444)4.所以|2，即EF2.答案：213如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.(1)求证：CC1BD；(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明解：(
15、1)证明：设a，b，c.由题意得|a|b|，ab.，两两夹角的大小相等，设为，于是c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0，所以CC1BD.(2)要使A1C平面C1BD，只需A1CBD，A1CDC1.由()()(abc)(ac)a2acabbccac2|a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos (|a|c|)(|a|c|b|cos )0，得当|c|a|时，A1CDC1.而由(1)知CC1BD，又显然BDAC，所以BD平面ACC1A1，所以A1CBD.综上可得，当1时，A1C平面C1BD.14(选做题)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为 .(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)证明：，.因为BB1平面ABC，所以0，0.又ABC为正三角形，所以，.因为()()2|cos，2110，所以AB1BC1.(2)结合第一问知|cos，221.又| |.所以cos，所以|2，即侧棱长为2.高考资源网版权所有，侵权必究！
