1、专题限时集训(十六) 椭圆、双曲线、抛物线(时间:5分钟40分钟) 基础演练夯知识1. 下列双曲线不是以2x3y0为渐近线的是()A.1 B.1C.1 D.12. 抛物线yax2的准线方程为y1,则实数a的值为()A4 B.C D43. 过抛物线y24x的焦点作直线交该抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点若x1x26,则 ()A. 4 B6 C. 8 D104. 已知双曲线 y21(a0)的实轴长为2,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D. 5. 已知双曲线 1(m0)的一个焦点在圆 x2y24x50 上,则该双曲线的渐近线方程为()A. yx Byx C. yx D. yx
2、提升训练强能力6. 已知双曲线C1:1(a0,b0)的焦距是实轴长的2倍若抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y7. 已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2C. D38. 已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则椭圆E的方程为()A.1B.1C.1D.19. 设P是双曲线1(a0,b0)上除顶点外的任意一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,
3、PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M,则()Aa2Bb2Ca2b2D.b210. 已知F1 ,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点若ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为()A2 B. C. D. 11. 已知P是以F1,F2为焦点的椭圆1(ab0)上的任意一点,若PF1F2,PF2F1,且cos ,sin(),则此椭圆的离心率为_12. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C1和C2的方程分别为y21和 1,射线OA与椭圆C1和C2分别交于A,B两点,且 2,则射线OA的斜率为_13. 设双曲线1(a0,b0)的渐近线与抛物线y
4、x21相切,则该双曲线的离心率为_14. 已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为F1(2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,又抛物线C2:x22py (p0)的通径所在直线被椭圆C1所截得的线段长为.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程(2)过点A的直线L与抛物线C2交于B、C两点,抛物线C2在点B、C处的切线分别为l1、l2,且l1与l2交于点P.是否若存在满足|PF1|PF2|AF1|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标),若不存在,说明理由15. 已知椭圆1(ab0)的一个焦点为F(2,0),且离心率为. (1)求椭圆的方程;(2)斜率为k的
5、直线l过点F且与椭圆交于A,B两点,P为直线x3上一点,若ABP为等边三角形,求直线l的方程. 16. 已知椭圆C:1(ab0)过点(1,e)和,其中e为椭圆的离心率(1)求椭圆C的方程; (2)设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点,取点A(0,),E(x0,0),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于原点的对称点,证明:直线QG与椭圆C只有一个公共点专题限时集训(十六)【基础演练】1C解析 A中双曲线以2x3y0为渐近线;同理B、D中双曲线也是以2x3y0为渐近线;C中双曲线以3x2y0为浙近线,答案选C.2C解析 由yax2得x2y,依题意得又p2,因此a.3C
6、解析 由抛物线的性质知,x1x228.4D解析 易知2a2,即a1,所以c,所以该双曲线的离心率e.5B解析 易知圆x2y24x50与x轴的交点为(1,0),(5,0)由于双曲线中ca3,所以c5,所以m25916,所以双曲线方程为1,故其渐近线方程为yx.【提升训练】6D解析 依题意得2c4a,因此ba,从而双曲线的渐近线为yx,又抛物线的焦点为F,由条件得d2,解得p8,所以抛物线的方程为x216y.7B解析 由题可知,直线l2:x1是抛物线y24x的准线设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到直线l2的距离等于,故动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1:4x3
7、y60的距离,所以最小值是2.8D解析 易知直线AB的斜率为k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有1,1,两式相减得0,将中点坐标和斜率代入得0.又c3,a2b2c2,可解得a218,b29.故选D.9B解析 不妨设P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a,由圆的切线长定理得|F1M|MF2|2a,又|F1M|MF2|2c,因此|F1M|ca,|MF2|ca,(ca)(ca)c2a2b2.10B解析 依题意可得,|AB|AF2|BF2|.因为|BF1|BF2|2a,所以|AF1|2a.又因为|AF2|AF1|2a,所以|AF2|4a.故在BF1F2中,|BF1|6a,|BF2|4a
8、,|F1F2|2c,F1BF260.由余弦定理可得c27a2,所以该双曲线的离心率为 .11解析 在PF1F2中由正弦定理得,因此,所以e,由cos 得sin sin(),因此cos(),sin sin(),从而e.121解析 设点A,B,由2,得x22x1,y22y1.点B在椭圆C2上,1,x1.又点A在椭圆C1上,y1.由可得1,射线OA的斜率为1.13解析 设切点为P(x0,x1),斜率为y2x0,则切线方程为yx12x0(xx0),整理得y2x0xx1.因为双曲线的焦点在x轴上,切线与双曲线的渐近线重合,所以切线过原点,将(0,0)代入切线方程得x01,所以切线的斜率k2,所以2,所以
9、e.14解: (1)设椭圆C1的方程为1(ab0),根据椭圆的定义得2a|AF1|AF2|8,即a4.又c2,b2a2c212,椭圆C1的方程为1.由可得x216p2, 则所截得的弦长为2,解得p2,故抛物线C2的方程为x24y.(2)设B,C,由于直线L的斜率存在,所以可设直线L的方程为yk(x2)3,由消去y,得x24kx8k120,则x1x24k,x1x28k12.由x24y可得yx.抛物线C1在点B处的切线l1的方程为y(xx1),化简得yxx.同理,抛物线C2在点C处的切线l2的方程为yxx.由解得即P(2k,2k3),又|PF1|PF2|AF1|AF2|,点P在椭圆C1上,故1,化
10、简得7k212k30,(*)则12247(3)2280,所以方程(*)有两个不等的实数根满足条件的点P有两个15解:(1)依题意有c2,可得a26,b22.故椭圆方程为1.(2)易知直线l的方程为yk(x2)联立消去y并整理得(3k21)x212k2x12k260.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,故|AB|x1x2|.设AB的中点为M(x0,y0),则x0,y0.因为直线MP的斜率为,且 xP3,所以.因为ABP为等边三角形,所以|MP|AB|,即, 解得k1.故直线l的方程为xy20或xy20. 16解: (1)椭圆C:1(ab0)过点(1,e)和,解得a22,b21,椭圆C的方程为y21.(2)证明:设D(x1,0)A(0,),E(x0,0)(x0,),(x1,)由题意知,AE与AD垂直,所以有x1x020,x1,又点G是点D关于原点的对称点,G,kQG,lQG:yy0(xx0),整理得y,(*)将(*)式代入椭圆方程得x222.整理得2x24x0x2x0,(4x0)2422x16x16x0.直线QG与椭圆C只有一个公共点