1、第2课时对数函数及其性质的应用小试身手1若log3a1,则()Aa1,b0B0a0Ca1,b0 D0a1,b0解析:由函数log3x,yx的图象知,0a1,bff(2) Bfff(2)f Df(2)ff解析:因为f(x)log3x,所以f(x)在(0,)上为增函数又因为2,所以f(2)ff.答案:B4函数ylg|x|()A是偶函数,在区间(,0)上单调递增B是偶函数,在区间(,0)上单调递减C是奇函数,在区间(0,)上单调递减D是奇函数,在区间(0,)上单调递增解析:ylg|x|是偶函数,由图象知在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增答案:B类型一比较数值的大小例1(1)设alog2,bl
2、og,c2,则()Aabc BbacCacb Dcba(2)比较下列各组值的大小:log0.5,log0.6; log1.51.6,log1.51.4;log0.57,log0.67; log3,log20.8.【解析】(1)alog21,blogcb.(2)因为函数ylogx是减函数,且0.5log0.6.因为函数ylog1.5x是增函数,且1.61.4,所以log1.51.6log1.51.4.因为0log70.6log70.5,所以,即log0.67log310,log20.8log20.8.【答案】(1)C(2)log0.5log0.6.log1.51.6log1.51.4.log0.
3、67log20.8.(1)选择中间量0和1,比较大小(2)利用对数函数的单调性比较大小用中间量1比较大小方法归纳比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1比较下列各组对数值的大小: (1)log1.6与log2.9;(2)log21.7与log23.5;(3)log3与log3;(4)log0.3与log20.8.解析:(1)ylogx在(0,)上单调递减,1.6log2.9.(2)ylog2x在(0,)上单调递增,而1.73.5,log21.7log23.5.(3)借助ylogx及ylogx的图象,如图所示在(1,)上,前者在后者的下方,log30,log20.8log20.8.(1)、(2)
4、同底数(3)底数不同、真数相同(4)底数与真数都不同类型二解对数不等式例2(1)已知log0.72x0,且a1),求x的取值范围【解析】(1)函数ylog0.7x在(0,)上为减函数,由log0.72x1,即x的取值范围是(1,)(2)loga(x1)loga(3x),当a1时,有解得2x3.当0a1时,有解得11时,不等式loga(x1)loga(3x)中x的取值范围为2,3);当0a0且a1)中x的取值范围是(1,2【答案】(1)(1,)(2)答案见解析(1)利用函数ylog0.7x的单调性求解(2)分a1和0a1两种情况讨论,解不等式方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)
5、logag(x)的不等式当0ag(x)0;当a1时,可转化为0f(x)g(x)(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)blogaab.当0aab;当a1时,可转化为0f(x)ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3xlog1.5(a1);log0.5(a1)log0.5(3a)解析:(1)因为log3x1log33,所以x满足的条件为即0x3.所以x的取值集合为x|0xlog1.5(a1),所以解得a1,即实数a的取值范围是(1,)函数ylog0.5x在(0,)上是减函数,因为log0.5(a1)log0.5(3a),所以解得1a1.即实数a的取值范围是(1,1)答案:(1
6、)x|0x0且a1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为2,求实数a的值【解析】(1)由题意得解得1x3,所以函数f(x)的定义域为(1,3)(2)因为f(x)loga(1x)(3x)loga(x22x3)loga(x1)24,若0a1,则当x1时,f(x)有最小值loga4,所以loga42,a24,又0a1,则当x1时,f(x)有最大值loga4,f(x)无最小值综上可知,a.(1)真数大于0.(2)分0a1两类讨论方法归纳1解答ylogaf(x)型或yf(logax)型函数需注意的问题要注意变量的取值范围例如,f(x)log2x,g(x)x2x,则f(g(x)lo
7、g2(x2x)中需要g(x)0;g(f(x)(log2x)2log2x中需要x0.判断ylogaf(x)型或yf(logax)型函数的奇偶性,首先要注意函数中变量的范围,再利用奇偶性定义判断2形如ylogaf(x)的函数的单调性判断首先要确保f(x)0,当a1时,ylogaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与yf(x)的单调性一致当0a0的前提下与y(x)的单调性相反,跟踪训练3已知函数f(x)log2(1x2)求证:(1)函数f(x)是偶函数;(2)函数f(x)在区间(0,)上是增函数证明:(1)函数f(x)的定义域是R,f(x)log21(x)2log2(1x2)f(x),所以函数f(x
8、)是偶函数(2)设0x1x2,则f(x1)f(x2)log2(1x)log2(1x)log2,由于0x1x2,则0xx,则01x1x,所以01.又函数ylog2x在(0,)上是增函数,所以log20.所以f(x1)f(x2)所以函数f(x)在区间(0,)上是增函数,(1)函数是偶函数,f(x)f(x)(2)用定义法证明函数是增函数基础巩固(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1设alog0.50.9,blog1.10.9,c1.10.9,则a,b,c的大小关系为()Aabc BbacCbca Dacb解析:因为0log0.51alog0.50.9log0.50.51,blog1
9、.10.91.101,所以bac,故选B.答案:B2若loga0,且a1),则实数a的取值范围是()A. B.(1,)C(1,) D(0,1)解析:当a1时,loga01,成立当0a1时,ylogax为减函数由 loga1logaa,得0a.综上所述,0a1.答案:B3函数ylog0.4(x23x4)的值域是()A(0,2 B2,)C(,2 D2,)解析:x23x42,又x23x40,则01时,在同一坐标系中,函数yax与ylogax的图象是()解析:a1,函数yax的图象过点(0,1)且递减,函数ylogax的图象过点(1,0)且递增,故选A.答案:A5如图所示,函数f(x)的图象为折线AC
10、B,则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0 Bx|1x1Cx|1x1 Dx|1x2解析:在平面直角坐标系中作出函数ylog2(x1)的大致图象如图所示所以f(x)log2(x1)的解集是x|10得0x4,函数ylog3(4xx2)的定义域为(0,4)令u4xx2(x2)24,当x(0,2时,u4xx2是增函数,当x(2,4)时,u4xx2是减函数又ylog3u是增函数,函数ylog3(4xx2)的增区间为(0,2答案:(0,27已知函数f(x)log2为奇函数,则实数a的值为_解析:由奇函数得f(x)f(x),log2 log2,a21,因为a1,所以a1.答案:18如果函数
11、f(x)(3a)x与g(x)logax的增减性相同,则实数a的取值范围是_解析:若f(x),g(x)均为增函数,则则1a2; 若f(x),g(x)均为减函数,则无解答案:(1,2)三、解答题(每小题10分,共20分)9求函数y(logx)2logx5在区间2,4上的最大值和最小值解析:利用换元法,转化为二次函数问题来解决由ylogx在区间2,4上为减函数知,log2logxlog4,即2logx1.若设tlogx,则2t1,且yt2t5.而yt2t5的图象的对称轴为t,且在区间上为减函数,而2,1.所以当t2,即x4时,此函数取得最大值,最大值为10;当t1,即x2时,此函数取得最小值,最小值
12、为.10已知loga(2a3)1时,原不等式等价于解得a3.(2)当0a1时,原不等式等价于解得0a0,所以u是关于x的减函数,当x0,1时,umin2a12a.因为2ax0在x0,1时恒成立,所以umin0,即2a0,a1.综上可知,1af(a),则实数a的取值范围是_解析:由题意得或解得a1或1a0.答案:(1,0)(1,)13已知f(x)的值域为R,求a的取值范围解析:要使函数f(x)的值域为R,需使所以所以1a0且a1,f(logax).(1)求f(x);(2)判断f(x)的单调性和奇偶性;(3)对于f(x),当x(1,1)时,有f(1m)f(12m)1时,axax为增函数,并且注意到0,所以这时f(x)为增函数;当0a1时,类似可证f(x)为增函数所以f(x)在R上为增函数;(3)因为f(1m)f(12m)0,且f(x)为奇函数,所以f(1m)f(2m1)因为f(x)在(1,1)上为增函数,所以解之,得m1. 即m的取值范围是.