1、21综合测试卷一、选择题1设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若0，使mn，则两向量m，n反向，夹角是180，那么mn|m|n|cos 180|m|n|0；若mn0，那么两向量的夹角为(90，180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分而不必要条件，故选A.答案：A2下列判断正确的是()A“若a2b2，则a0,2019x20190”的否定是：“x00,2019x020190”解析：对于A选项，“若a2b2，则a0,2019x20190”的否定是：“x00,2019x020
2、190”，D选项中的命题错误故选C.答案：C3命题p：x0R，x20，命题q：xR，0为真命题命题綈p：xR，x20为假命题命题q：xR，0，b0，b0)的一条渐近线的倾斜角为30，则其离心率的值为()A2 B2C. D.解析：由于双曲线1(a0，b0)的渐近线为yx，而倾斜角为30，故tan 30，因此，即，则e，故选C.答案：C10若双曲线C：x21的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是()A(1,2) B(2，)C(1，) D(2，)解析：双曲线C：x21，a21，可得a1，c，双曲线C：x21的离心率大于2，2，解之得b，双曲线的虚轴长：2b2，故选B.答案：B11已知O为坐标
3、原点，点F1、F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|的值为()A. B.C. D.解析：如下图所示：由AF2F1F2可知： AF1OB且|AF2|为椭圆的半通径O为F1F2中点，OB为AF1F2的中位线，|OB|AF2|又|AF2|，|OB|，本题正确选项为B.答案：B12如图，F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.1 B.C2 D. 1解析：连结AF1，F1F2是圆O的直径，F1AF290，即F1
4、AAF2，又F2AB是等边三角形，F1F2AB，AF2F1AF2B30，因此，RtF1AF2中，|F1F2|2c，|F1A|F1F2|c，|F2A|F1F2|c.根据双曲线的定义，得2a|F2A|F1A|(1)c，解得c(1)a，双曲线的离心率为e1.故选D.答案：D二、填空题13已知直线l的一个方向向量d(4,3,1)，平面的一个法向量n(m,3，5)，且l，则m_.解析：由题意可得dn，则4m950，解得m1.答案：114直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.解析：直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，cCC1abc故答案为abc. 答案：abc15设F1，F2是双曲线1的两
5、个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|PF2|21，则PF1F2的面积等于_解析：由于1，因此a，c3，故|F1F2|2c6，由于|PF1|PF2|21即|PF1|2|PF2|，而|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|4，|PF2|2，cosF1PF2，所以sinF1PF2，因此SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF212.答案：1216过点(3,0)的直线与抛物线y26x的两交点为A，B，与y轴的交点为C，若3，则|AB|_.解析：设AB方程为yk(x3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(0，3k)，(x2x1，y2y1)，(x2，3ky2)，3，x14x2，由，得k2x2
6、(6k26)x9k20x1x2，x1x29，4x9，x2，k24|AB|.答案：三、解答题17已知a0，设p：实数x满足x24ax3a20，q：实数x满足|x3|0得(xa)(x3a)0，ax3a当a1时，1x3，即p为真时，实数x的取值范围是1x3.由|x3|1，得2x4，即q为真时，实数x的取值范围是2x0得(xa)(x3a)0，所以，p为真时实数x的取值范围是ax3a.因为p是q的必要不充分条件，所以a2且43a.所以实数a的取值范围为：.18如图所示，四边形ABCD为菱形，且ABC120，AB2，BEDF，且BEDF，DF平面ABCD.(1)求证：平面ABE平面ABCD；(2)求平面A
7、EF与平面ABE所成锐二面角的正弦值解析：(1)BEDF，DF平面ABCD，BE平面ABCD，又BE平面ABE，平面ABE平面ABCD.(2)设AC与BD的交点为O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(，0,0)，B(0,1,0)，E(0,1，)，F(0，1，)，(0，2,0)，(，1，)，(，1,0)设平面AEF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则，即，令x11，则y10，z10，n1(1,0,1)设平面ABE的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即，令x21，则y2，z20，n2(1，0)cosn1，n2，sinn1，n2，平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值为.19如图
8、，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA4.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由解析：(1)ADCD2，BC4，ABAC4，ABACPA平面ABCD，ABPA，AB平面PAC，PC平面PAC，ABPC；(2)以A为原点，以过A平行于CD的直线为x轴， AD，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2，2，0)，D(0,2，0)，C(2，2，0)，设，0b0)过点(，1)
9、且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足2.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)由已知点代入椭圆方程得1由e得可转化为a22b2，由以上两式解得a24，b22所以椭圆C的方程为：1.(2)存在这样的直线当l的斜率不存在时，显然不满足2，所以设所求直线方程l：ykx3代入椭圆方程化简得：(12k2)x212kx140x1x2x1x2.(12k)2414(12k2)0，k2，设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)由已知条件2可得x22x1，综合上述式子可解得k2符合题意，所以所求直线方程为：y
10、x3.21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，M点在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解析：(1)证明：如图，设ACBDO，ABCD为正方形，O为BD的中点， 连接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMCOM，PDOM，则，即M为PB的中点；(2)解：取AD中点G，PAPD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PG平面ABCD，则PGAD，连接OG，则PGOG由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OGDC，则OGAD. 以G为坐标
11、原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PAPD，AB4，得D(2,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0，)，C(2,4,0)，B(2,4,0)，M ，(2,0，)，(4,4,0)设平面的一个法向量为m(x，y，z)，则由，得，取z，得m(1,1，)，直线MC与平面BDP所成角的正弦值为：|cos，m|.22在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)P，M，N是C上不同的三点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明：M，N两点的横坐标之和为常数解析：(1)由题意椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点，所以c1，1，解得a2，b，所以椭圆C的标准方程为1(2)设P，M，N三点坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)，设直线PM，PN斜率分别为k1，k2，则直线PM方程为yyPk1(xxP)由方程组消去y，得(34k)x28k1(k1xPyP)x4kx8k1xPyP4y120由根与系数关系可得：xMxP故xMxP同理可得：xNxP.又k1k2，故xNxP则xNxPxM.从而xNxM0即M，N两点的横坐标之和为常数
