1、第二章 函数、导数及其应用授课提示：对应学生用书第263页A组基础保分练1(2021合肥模拟)已知f(x)exmx.(1)若曲线yln x在点(e2,2)处的切线也与曲线yf(x)相切，求实数m的值；(2)试讨论函数f(x)零点的个数解析：(1)曲线yln x在点(e2,2)处的切线方程为y2(xe2)，即yx1.设该切线与曲线f(x)exmx相切于点(x0，ex0mx0)，则切线方程为y(ex0m)xex0(1x0)，令me2t，则t(1ln t)1.记g(t)t(1ln t)，则g(t)1(1ln t)ln t.于是，g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(t)maxg(
2、1)1，于是tme21，m1e2.(2)f(x)exm.当m0时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，且f(0)10，f10，函数f(x)在R上有且仅有一个零点当m0时，f(x)ex在R上没有零点当m0时，令f(x)0，则xln m，即函数f(x)的单调递增区间是(ln m，)，同理，单调递减区间是(，ln m)，f(x)minf(ln m)m(1ln m)若0me，则f(x)minm(1ln m)0，f(x)在R上没有零点；若me，则f(x)minexex0，则f(x)在R上有且仅有一个零点；若me，则f(x)minm(1ln m)0，f(2ln m)m22mln mm(m2ln m)
3、，令h(m)m2ln m，则h(m)1，当me时，h(m)单调递增，h(m)h(e)0，f(2ln m)m22mln mm(m2ln m)m(e2)0，又f(0)10，f(x)在R上恰有两个零点综上所述，当0me时，函数f(x)没有零点；当m0或me时，函数f(x)恰有一个零点；当me时，函数f(x)恰有两个零点2已知函数f(x)2ln(x1)(x1)2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)x23xa0在区间2,4内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围解析：(1)由题意得函数f(x)的定义域是(1，)，f(x)2，x1，令f(x)0，解得1x2，所以函数f(x)的
4、单调递增区间是(1,2)(2)由f(x)x23xa0，得xa12ln(x1)0，令g(x)xa12ln(x1)，则g(x)1(x1)，由g(x)0，得x3，由g(x)0，得1x3，所以函数g(x)在2,3)上单调递减，在3,4上单调递增，作出函数g(x)在区间2,4上的大致图象(图略)，可知方程f(x)x23xa0在区间2,4上恰有两个相异的实根，则即解得2ln 35a2ln 24，所以实数a的取值范围是2ln 35，2ln 24)B组能力提升练1已知函数f(x)2ln xax2.(1)若a1，证明：f(x)10；(2)当a时，判断函数f(x)有几个零点解析：(1)证明：当a1时，f(x)2l
5、n xx2，x(0，)f(x)2x.当x变化时，函数f(x)，f(x)变化情况如下表所示：(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极大值f(x)在x1处取得极大值，也是最大值，函数f(x)的最大值为1，即当x(0，)时，f(x)1，x(0，)时，f(x)10.(2)当a时，f(x)2ln xx2，x(0，)f(x)x.当x变化时，函数f(x)，f(x)变化情况如下表所示：(0，)(，)f(x)0f(x)极大值f(x)在x处取得极大值，也是最大值f()2ln()20，函数f(x)在(0，)上只有一个零点当a时，函数f(x)在(0，)上只有一个零点2(2021大同模拟)已知函数f(x)2ln xx2
6、ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围解析：(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2.f(1)1，切点坐标为(1,1)切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x，x，令g(x)0，得x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在上有极大值g(1)m1.gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个不同的零点的条件是解得1m2，实数m
7、的取值范围是.C组创新应用练(2020高考全国卷)设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.解析：(1)f(x)3x2b.依题意得f0，即b0，故b.(2)证明：由(1)知f(x)x3xc，f(x)3x2.令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况为：xf(x)00f(x)cc因为f(1)fc，所以当c时，f(x)只有大于1的零点因为f(1)fc，所以当c时，f(x)只有小于1的零点由题设可知c.当c时，f(x)只有两个零点和1.当c时，f(x)只有两个零点1和.当c时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1，x2，x3.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
