1、高考资源网（） 您身边的高考专家训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.(2016杭州质检)在底面为正三角形的三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1平面ABC，点E，F，G分别为BB1，AB，AC的中点(1)求证：BG平面A1EC；(2)若AA12，求二面角A1ECF的
2、大小2(2016宁波高三十校联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1DCC1，侧面ABB1A1为菱形且BAA160，AA1A1D2，BC1.(1)证明：直线MD平面ABC；(2)求二面角BACA1的余弦值3.(2017江西中英中学联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由4(2017太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和
3、一个正四棱锥PABCD组合而成的，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.答案解析1(1)证明取A1C的中点H，连接HG，EH，所以HGA1A，HGA1A.又E为BB1的中点，所以BEHG，BEHG，所以四边形EHGB为平行四边形，故BGEH.又EH平面A1EC，BG平面A1EC，所以BG平面A1EC.(2)解以F为坐标原点，分别以FB，FC所在直线及过F垂直AB向上的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1a，则F(0,0,0)，A1(1,0，a)，E(1,0，)，C(0，0)，所以(1,0，)，(0，0
4、)，(2,0，)，(1，a)，设平面ECF的法向量为m(x，y，z)，则由m0及m0，得不妨取m(a,0,2)，类似地，可取平面A1EC法向量为n(a，a,4)设二面角A1ECF的平面角为，则cos cosm，n，当a2时，cos 0，即90.2(1)证明A1DCC1，且D为CC1的中点，AA1A1D2，A1CA1C1AC，又BC1，ABBA12，CBBA，CBBA1，又BABA1B，CB平面ABB1A1，取AA1的中点F，则BFAA1，即BC，BF，BB1两两互相垂直，以B为原点，BB1，BF，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，B1(2,0,0)，C(0,0,1)，A(1
5、，0)，A1(1，0)，C1(2,0,1)，D(1,0,1)，M(，0)则(1，0)，(0,0,1)，设平面ABC的法向量为m(x，y，z)，则mxy0，mz0，取m(，1,0)，(，1)，m00，m，又MD平面ABC，直线MD平面ABC.(2)解设平面ACA1的法向量为n(x1，y1，z1)，(1，1)，(2,0,0)，nx1y1z10，n2x10，取n(0,1，)，又由(1)知平面ABC的法向量为m(，1,0)，设二面角BACA1的平面角为.则cos cosm，n.3(1)证明取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1
6、OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因为OD平面B1OD，所以ABOD.由已知条件知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1.因为ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1.因为OD平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,
7、2，)，设(01)，由(1，2，(1)，设平面BB1D的法向量为m(x1，y1，z1)，则得令z11，则x1y1，所以平面BB1D的法向量为m(，1)设平面B1DE的法向量为n(x2，y2，z2)，则得令z21，则x2，y2，所以平面B1DE的一个法向量n(，1)设二面角EB1DB的大小为，则cos .解得.所以在线段CC1上存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为，此时.4(1)证明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因为AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面AFC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则取x11，则y1z11，所以m(1，1，1)设平面AFP的一个法向量为n(x2，y2，z2)，则取x21，则y21，z21h，所以n(1，1，1h)二面角CAFP的余弦值为，所以|cosm，n|，解得h1.- 6 - 版权所有高考资源网
