1、高考资源网() 您身边的高考专家训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直;(2)用空间向量求空间角;(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系;(2)求出相关点的坐标,用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量;(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式;(4)探索性问题,可利用共线关系设变量,引入参数,列方程求解.1.(2016杭州质检)在底面为正三角形的三棱柱ABCA1B1C1中,AB2,AA1平面ABC,点E,F,G分别为BB1,AB,AC的中点(1)求证:BG平面A1EC;(2)若AA12,求二面角A1ECF的
2、大小2(2016宁波高三十校联考)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,D,M分别为CC1和A1B的中点,A1DCC1,侧面ABB1A1为菱形且BAA160,AA1A1D2,BC1.(1)证明:直线MD平面ABC;(2)求二面角BACA1的余弦值3.(2017江西中英中学联考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,B1BB1AABBC,B1BC90,D为AC的中点,ABB1D.(1)求证:平面ABB1A1平面ABC;(2)在线段CC1(不含端点)上,是否存在点E,使得二面角EB1DB的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由4(2017太原质检)如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和
3、一个正四棱锥PABCD组合而成的,ADAF,AEAD2.(1)证明:平面PAD平面ABFE;(2)求正四棱锥PABCD的高h,使得二面角CAFP的余弦值是.答案解析1(1)证明取A1C的中点H,连接HG,EH,所以HGA1A,HGA1A.又E为BB1的中点,所以BEHG,BEHG,所以四边形EHGB为平行四边形,故BGEH.又EH平面A1EC,BG平面A1EC,所以BG平面A1EC.(2)解以F为坐标原点,分别以FB,FC所在直线及过F垂直AB向上的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AA1a,则F(0,0,0),A1(1,0,a),E(1,0,),C(0,0),所以(1,0,),(0,0
4、),(2,0,),(1,a),设平面ECF的法向量为m(x,y,z),则由m0及m0,得不妨取m(a,0,2),类似地,可取平面A1EC法向量为n(a,a,4)设二面角A1ECF的平面角为,则cos cosm,n,当a2时,cos 0,即90.2(1)证明A1DCC1,且D为CC1的中点,AA1A1D2,A1CA1C1AC,又BC1,ABBA12,CBBA,CBBA1,又BABA1B,CB平面ABB1A1,取AA1的中点F,则BFAA1,即BC,BF,BB1两两互相垂直,以B为原点,BB1,BF,BC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图,B1(2,0,0),C(0,0,1),A(1
5、,0),A1(1,0),C1(2,0,1),D(1,0,1),M(,0)则(1,0),(0,0,1),设平面ABC的法向量为m(x,y,z),则mxy0,mz0,取m(,1,0),(,1),m00,m,又MD平面ABC,直线MD平面ABC.(2)解设平面ACA1的法向量为n(x1,y1,z1),(1,1),(2,0,0),nx1y1z10,n2x10,取n(0,1,),又由(1)知平面ABC的法向量为m(,1,0),设二面角BACA1的平面角为.则cos cosm,n.3(1)证明取AB的中点O,连接OD,OB1.因为B1BB1A,所以OB1AB.又ABB1D,OB1B1DB1,OB1平面B1
6、OD,B1D平面B1OD,所以AB平面B1OD,因为OD平面B1OD,所以ABOD.由已知条件知,BCBB1,又ODBC,所以ODBB1.因为ABBB1B,AB平面ABB1A1,BB1平面ABB1A1,所以OD平面ABB1A1.因为OD平面ABC,所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB,OD,OB1两两垂直,所以以O为坐标原点,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,|为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知,B1(0,0,),B(1,0,0),D(0,1,0),A(1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),(0,1,),(1,0,),(1,0,),(1,
7、2,),设(01),由(1,2,(1),设平面BB1D的法向量为m(x1,y1,z1),则得令z11,则x1y1,所以平面BB1D的法向量为m(,1)设平面B1DE的法向量为n(x2,y2,z2),则得令z21,则x2,y2,所以平面B1DE的一个法向量n(,1)设二面角EB1DB的大小为,则cos .解得.所以在线段CC1上存在点E,使得二面角EB1DB的余弦值为,此时.4(1)证明在直三棱柱ADEBCF中,AB平面ADE,AD平面ADE,所以ABAD.又ADAF,AB平面ABFE,AF平面ABFE,所以AD平面ABFE.因为AD平面PAD,所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE,以A为原点,AB,AE,AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),F(2,2,0),C(2,0,2),P(1,h,1),(2,2,0),(2,0,2),(1,h,1)设平面AFC的一个法向量为m(x1,y1,z1),则取x11,则y1z11,所以m(1,1,1)设平面AFP的一个法向量为n(x2,y2,z2),则取x21,则y21,z21h,所以n(1,1,1h)二面角CAFP的余弦值为,所以|cosm,n|,解得h1.- 6 - 版权所有高考资源网