1、22.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质填一填1.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形范围|x|a，yR|y|a，xR焦点F1(c,0)、F2(c,0)F1(0，c)、F2(0，c)顶点A1(a,0)、A2(a,0)A1(0，a)、A2(0，a)对称性关于x，y轴对称，关于原点对称关于x，y轴对称，关于原点对称实轴、虚轴长实轴长为2a，虚轴长为2b实轴长为2a，虚轴长为2b离心率ee渐近线方程yxyx2.等轴双曲线、实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，其标准方程为x2y2(0)，它的渐近线是yx，离心率是e.判一判1.双曲线1与1(a0，b0)
2、的形状相同()解析：它们是形状相同，位置不同故正确2双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()解析：1的渐近线方程是yx，1的渐近线方程是yx，不一样，故错误3等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e.()解析：在等轴双曲线中ab，所以渐近线方程是yxx，两直线的斜率之积为1，所以垂直，c2a2b22a2，所以e22，所以e.故正确4椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()解析：椭圆的离心率的取值范围是(0,1)，双曲线的离心率取值范围是(1，)，不一样故错误5双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()解析：双曲线有2个顶点是双曲线与实轴的交点，与虚轴没有交点，故错误6设双曲线C：
3、1(a0)的一个顶点坐标为(2,0)，则双曲线C的方程是1.()解析：由双曲线的方程知，a2，所以双曲线方程为1，故正确7双曲线1的离心率为.()解析：由双曲线方程1可知：a24，b25，所以c2a2b29，可得e.故正确8双曲线1(a0，b0)若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x轴均相切，则双曲线的离心率为2.()解析：设圆心为(x0，x0)，则，两边同时平方得xx，化简得3，所以b23a2，得4，得e2，故正确.想一想1.由双曲线的方程研究几何性质的一般解题步骤是什么？提示：把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值由c2a2b2求
4、出c的值，从而写出双曲线的几何性质2已知离心率如何求渐近线方程？提示：由ec2e2a2a2b2e21，即得渐近线方程为yx.3已知渐近线方程ykx，如何求离心率？提示：若焦点位置不明确要分k或k两种情况讨论已知渐近线方程为yx，可由a2b2c2，得1，从而求得离心率e.4求解双曲线的离心率有哪些方法？提示：求双曲线的离心率一般有两种方法：由条件寻找a，c满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a，b，c的关系c2a2b2将双曲线的离心率公式变形，即e，注意区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.根据条件列含a，c的齐次方程，利用双曲线的
5、离心率公式e转化为含e或e2的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围e(1，)对解进行取舍思考感悟：练一练1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4 D4解析：双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，从而2a4.答案：C2已知F为双曲线C：x2my24m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A2 B4C2m D4m解析：双曲线C：x2my24m(m0)的标准方程为1.所以c24(1m)，一条渐近线方程为xy0.所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选A.答案：A3如图，已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A，B，M在双曲线上且在x轴的上方，
6、MF1x轴，直线MA，MB与y轴分别交于P，Q两点，若|OP|e|OQ|(e为双曲线的离心率)，则e_. 解析：由题意得，A(a,0)，B(a,0)，F1(c,0)，M.由BOQBF1M可得，即，解得|OQ|.由AOPAF1M可得，即，解得|OP|.由已知|OP|e|OQ|，可得e，所以ace(ca)，即1ee(e1)，整理得e22e1，又e1，故e1.故答案为1.答案：14设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点已知原点到直线l的距离为c，双曲线的离心率为_解析：直线l过(a,0)，(0，b)两点，直线l的方程为：1，即bxayab0，原点到直线l的距离为c，
7、.又c2a2b2，a2b2ab0，即(ab)0，ab或ab，又ba0，ab，c2a.故离心率为e2.故答案为2.答案：2知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2 B2C. D1解析：不妨取焦点(4,0)和渐近线yx，则所求距离d2.故选A.答案：A2设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()Ayx By2xCyx Dyx解析：根据双曲线的定义，b1，c，a，又因为焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为yxx.故选C.答案：C3求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程解析：把方程化为标准形
8、式为1，由此可知，实半轴长a1，虚半轴长b2.顶点坐标是(1,0)，(1,0)c，焦点坐标是(，0)，(，0)离心率e，渐近线方程为0，即y2x.知识点二求双曲线的离心率4.下列方程表示的曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1解析：e，c2a2b2，e212.故，观察各曲线方程得B项系数符合，应选B.答案：B5已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率解析：设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，y.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，2c.b22ac.c22aca20.
9、2210.即e22e10.e1或e1(舍去)所以所求双曲线的离心率为1.知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由右焦点为F(3,0)可知c3，又因为离心率等于，所以，所以a2.由c2a2b2知b25，故双曲线C的方程为1，故选B.答案：B7已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，求该双曲线的方程解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2
10、y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1.8双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，其渐近线与圆(xa)2y2相切，求该双曲线的方程解析：由题意知，2，即c2a，则ba，由圆的方程可知，其圆心坐标为(a,0)，半径r，不妨取双曲线的渐近线bxay0，则，即，所以a1，则b，故所求双曲线的方程为x21.基础达标一、选择题1双曲线x22y22的焦点坐标为()A(1,0) B(，0) C(0，1) D(0，)解析：由x22y22可得a22，b21，焦点在x轴上，所以c2a2b23，因此c，所以焦点坐标
11、为(，0)故选B.答案：B2已知曲线C的方程为1，现给出下列两个命题：p：0m是曲线C为椭圆的充要条件，则下列命题中为真命题的是()A(綈p)(綈q) B(綈p)qCp(綈q) Dpq解析：若曲线C为双曲线，则m(2m1)0，可解得0m，若0m，则m(2m1)且m1，所以命题q为假命题，因而p(綈q)为真命题，故选C.答案：C3已知双曲线1的一条渐近线方程为2xy0，则实数a()A. B.C1 D8解析：根据双曲线方程可知其渐近线方程为：y x，而已知2xy0是一条渐近线方程，故有2，即a，故选B.答案：B4已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为2x3y0，则双曲线的方程可能是()A.1 B.
12、1C.1 D.1解析：因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的方程为1，又渐近线方程为2x3y0，所以，所以双曲线方程可能为1.故选D.答案：D5等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由已知可得c6，所以abc3，所以双曲线的标准方程是1.故选D.答案：D6已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.故选A.答案：A7若双曲线1(a0，b0)的一个焦点F到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率
13、的取值范围是()A(1，) B(1，)C(，) D(，)解析：由题意不妨令焦点为F(c,0)，其中一条渐近线方程为bxay0，所以焦点到渐近线的距离为db2a，整理得：c25a2，故e.故选D.答案：D二、填空题8已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是_解析：由已知可知离心率e，即，又双曲线焦点在x轴，渐近线方程为yx，即yx.故答案为：yx.答案：yx9焦点在x轴上，且实轴长为4虚轴长为3的双曲线的标准方程为_解析：由双曲线标准方程知该双曲线方程为1.答案：110若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_解析：由双曲线标准方程以及其渐近线方程yx，可知：，a
14、24，所以a2，b，c，可得该双曲线的焦点坐标为(，0)答案：(，0)11双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为_解析：由题意知，双曲线焦点在y轴上且a2，由2a2b2c，即b2c，又c2a2b24b2，b2，双曲线方程为1.答案：112已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|5a，PFO120，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为_解析：由题意知点P在双曲线C的右支上，设左焦点为F1，由双曲线定义可得|PF1|PF|2a7a，|F1F|2c，PFF1120，由余弦定理得cos PFF1，代入得，化简得2c
15、25ac12a20，同除以a2得2e25e120，即(2e3)(e4)0，又e1，所以e.答案：三、解答题13根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)解析：(1)顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为1，a6.又e1.5，cae61.59，b2c2a245.故所求的双曲线方程为1.(2)方法一：双曲线1的渐近线方程为yx，令x3，y4，因20，b0)，则解之得双曲线方程为1.方法二：设双曲线方程为(0)，.，双曲线方程为1.14中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，
16、椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求F1PF2的面积解析：(1)设椭圆方程为1，双曲线方程为1(a，b，m，n0，且ab)，则解得a7，m3，所以b6，n2，所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4，所以cosF1PF2，所以SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF210412.能力提升15.已知双曲线1.(1)求双曲线的右焦点到渐近线的距离；(2)求与双曲线有共同渐近线，且过点(3,3)的双曲线的标准方程解析：(1)因为双曲线方程为1，所以c4，双曲线的右焦点为(4,0)，渐近线方程为yx，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为d2.(2)设双曲线的标准方程为(0，1)双曲线过点(3,3)，双曲线的方程为，即1.16已知P是双曲线y21上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求的值解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是y0，y0，所以可取|PA|，|PB|，又cosAPBcosAOBcos2AOxcos，所以|cosAPB.答案：
