1、高考资源网（） 您身边的高考专家22.1双曲线及其标准方程填一填1.双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2)符号语言：|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|时，动点轨迹不存在2双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)，焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，且c2a2b2，如图1所示；(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)，焦点分别为F1(0，c)，F2(
2、0，c)，焦距为2c，且c2a2b2，如图2所示判一判1.已知平面上两定点F1、F2及动点M，命题甲：|MF1|MF2|2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的充分非必要条件()解析：根据双曲线的定义：由乙能推出甲，而甲却不一定能推出乙，只有当2a|F1F2|且a0时，其轨迹才是双曲线，则甲是乙的必要非充分条件，故错误2“0k1”是“方程1表示双曲线”的充分而不必要条件()解析：因为方程1表示双曲线，所以(k1)(k2)0，所以2k1.当0k1时，2k1一定成立；当2k1时，0k1不一定成立，如k1.所以“0k1”是“方程1表示双曲线”的充分而不必要条件故正确
3、3若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|7，则|PF2|等于1或13.()解析：由题意得a3，c5，|PF1|PF2|6，而|PF1|7，解得|PF2|13或1.而|PF2|ca2，所以|PF2|13，故错误4已知双曲线1，则双曲线C的焦点坐标为(5,0)()解析：由1表示双曲线，焦点坐标在y轴上，可知a216，b29，则c2a2b225，即c5，故双曲线的焦点坐标为(0，5)，故错误.想一想1.双曲线定义中需注意哪些？提示：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离
4、”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用另注意在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意dca这一隐含条件2双曲线方程中a，b的大小关系确定么？提示：a，b大小关系是不确定的，但必有ca0，cb0.3求解双曲线的标准方程一般步骤是什么？提示：(1)先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，(2)然后利用待定系数法求出方程中的a2，b2的值，(3)最后写出双曲线的标准方程4在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，如何处理？提示：(1)按焦点在x轴、y轴进行分类讨论，(2)可直接设双曲线的方程为Ax2By
5、21(AB0，b0)，根据双曲线的定义，a3，c5，所以a29，b216，可得该双曲线的标准方程为1.答案：14在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_解析：a27，b23，c2a2b27310，c，2c2.故答案应填：2.答案：2知识点一双曲线的定义1.已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条直线D双曲线的一支和一条射线解析：依题意得|F1F2|10，当a3时，2a6|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a5时，2a10|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线故选D
6、.答案：D2若双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B.C. D(，0)解析：将方程化为标准方程为x21，c21，c，故选C.答案：C3若双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标是(3,0)，则k()A1 B1C. D解析：依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为1，则k0，且a2，b2，所以9，解得k1.答案：A4已知P是双曲线1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|17，则|PF2|_.解析：由双曲线方程1可得a8，b6，c10，由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离dca2.因为|PF1|PF2|16，|PF1|17，所以|PF2|1(舍去)或|PF2|33
7、.答案：33知识点二双曲线的标准方程5.焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：由题可知，双曲线的焦点在x轴上，设它的方程为1(a0，b0)，由双曲线定义知，2a532，a1，又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21，故选A.答案：A6若椭圆1和双曲线1有相同的焦点，则实数n的值是()A5 B3C5 D9解析：由题意得34n2n216,2n218，解得n3.答案：B7焦点在y轴上，过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是_解析：由于，b22a2.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为1，代入(1,1)点，得
8、a2.此时双曲线方程为x21.答案：x218如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解析：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|20，b0，xa)a，c2，b2c2a26，即所求轨迹方程为1(x)基础达标一、选择题1已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是()A3
9、m3 Bm0Cm0 Dm3或m3解析：因为1表示焦点在x轴上的双曲线，所以解得3m3.答案：A2已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在直线yx上，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：若点P(2,1)在直线yx上，则1，a2b.双曲线的焦距为10，a2b252.将代入上式，得b25，从而a220，故双曲线C的方程为1.答案：A3已知点F1(，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A. B.C. D2解析：由题可知，动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，设它的方程为1(a0，b0，xa)由已知可得c，a1，
10、b1.双曲线方程为x2y21(x1)将y代入，可得点P的横坐标为x.点P到原点的距离为 .答案：A4设P是双曲线y21上一点，A(0，2)，B(0,2)，若|PA|PB|8，且|PA|4，则|PB|()A2 B.C3 D.解析： 因为|PA|4，所以|PB|0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n3.答案：A6已知双曲线的焦距为4，A，B是其左、右焦点，点C在双曲线右支上，ABC的周长为10，则|AC|的取值范围是()A(2,5) B(2,6)C(3,5) D(3,6)解析：设|AC|m，|BC|n，则由双曲线的定义可得mn2a，由题意可得m
11、n1046，联立，可得ma3.因为0ac2，所以3a35，即|AC|的取值范围是(3,5)故选C.答案：C7设椭圆1和双曲线y21的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cosF1PF2等于()A. B.C. D.解析：设|PF1|d1，|PF2|d2，则d1d22，|d1d2|2，22，得dd18.22，得2d1d26.而c2，cosF1PF2.答案：B二、填空题8设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则|PF1|_.解析：依题意有解得|PF2|6，|PF1|8.答案：89当双曲线1的焦距取得最小值时，m_.解析：由题意可得62m0，
12、即有m3，由c2m2862m(m1)213，可得当m1时，焦距2c取得最小值答案：110在ABC中，B(6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为，则顶点A的轨迹方程为_解析：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意，得，化简，得1(x6)故填1(x6)答案：1(x6)11已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析：如图所示，F(4,0)，设F为双曲线的右焦点，则F(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|PF|2a4，而|PF|PA|4|PF|PA|4|AF|459.当且仅当A，P，F三点共线时取等号答案：91
13、2已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断：当1t4或t1时，曲线C表示双曲线；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)解析：错误，当t时，曲线C表示圆；正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)0，t4；正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10.1t4.答案：三、解答题13求适合下列条件的双曲线标准方程(1)与双曲线1有相同焦点，且经过点(3，2)；(2)过M(1,1)，N(2,5)两点解析：(1)方法一：由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)，则解得所求双曲线的标准方程为1.方法二：设所求双曲线方程为1(416)，则1，解得4或1
14、4(舍去)所求双曲线的标准方程为1.(2)双曲线的焦点位置不定，设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)点M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，解得所求双曲线的标准方程为1.14如图，已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解析：依题意，知圆C1的圆心为C1(3,0)，半径为1，圆C2的圆心为C2(3,0)，半径为3.设动圆的半径为R，则|MC1|R1，|MC2|R3，所以|MC2|MC1|20，b0，xa)，又a1，c3，所以b2c2a28.于是所求动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)能力提升15.设F1，F2分别是双曲
15、线1(a0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点若ABF2为等边三角形，求ABF2的面积解析：由题意，结合双曲线的定义，可知：化简得：|AB|4a，过F2作l1垂线，垂足记为E，|EF1|4a，|EF2|2a，根据勾股定理：|F1F2|2a，ca.代入a2b2c2可知：a2247a2，a2.|AB|4a8.ABF2面积为16.16如图所示，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积解析：双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.(经检验，都满足题意)故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.- 10 - 版权所有高考资源网
