1、数学专题四 函数与导数【考点精要】考点一. 函数定义域。考查函数的概念、单调性、解不等式等，借此考查计算能力。如求函数的定义域。考点二. 函数的解析式。通过两种形式考查函数的解析式：一种是客观题中通过分段函数考查函数性质，另一种是主观题中通过解析式的设问，考查函数的性质。如：定义运算为：，如：则函数的值域为（ ）A.R B.（0， C.（0，1 D.1,+考点三. 函数的定义与函数的奇偶性。利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质。如设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图像关于直线对称，则 。考点四. 导数及函数的综合性质。以函数的单调性为重点，考查导数及函数的综合性质。如：（福建）已知
2、函数的图像在点处的切线方程为，（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间。考点五. 函数的奇偶性、对称性。以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等各种性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查。（广东卷）设函数在上满足，且在闭区间上，只有。（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。考点六. 函数与导数的综合应用。以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力。（全国卷）若，则（ ）A. B. C. D.考点七. 导数、函数的单调性。以函数的值域、极值与
3、最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质。如：已知函数，（）求的单调区间和值域；设，函数若对任意，总存在，使成立，求的取值范围。考点八. 函数或导数的模式构建。以函数知识为平台，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生思维能力、逻辑推理能力、模式构建能力与运算能力。如：在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点。对任意偶数n，用n表示向量的坐标。巧点妙拨1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数
4、进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.2在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a
5、，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.3利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰
6、当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.【典题对应】例1.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短命题意图：主要
7、考察函数最值、导数的实际应用。解析： （）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1010ta，所以，所以函数关系式为。若，则，所以，所求函数关系式为。（）选择函数模型，令得，因为，所以，当时，是的减函数；当时，是的增函数，所以当时，。这时点位于线段的中垂线上，且距离边处。 名师坐堂：此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点. 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构
8、特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.例2.(2009山东理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中
9、函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。命题意图：本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.A B C x 解析:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.名师坐堂：求函数的最值问题当不能巧妙应用均值不等式、二次函数、三角函数的有
10、界性、函数的单调性时，这时往往要借助导函数进行求解，利用导函数求解时要注意定义域、导函数方程的解、以及实际问题中自变量的取值。授之以渔1. 数学思想能够把具体问题中数量间的关系用函数关系表示出来，转化为关于函数的最值或性质问题。在进行转化时切忌转化不全面，在求解时往往忽视实际问题对变量参数的限制条件。2. 不等式恒成立问题，常转化为函数的最值问题，通过求函数的最值得出的取值范围。一般地，证明不等式通常转化为证明从而将问题转化为问题。3.在求函数闭区间上的函数的最值的方法：在求得函数值的基础上，将其与端点处的函数值加以比较，最大者即为所求最大值，最小者即为所求最小值。在生产建设和科学技术中，“用
11、料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法解决。解决问题的关键是分析实际问题得出函数解析式，利用导数工具加以解决，进而得出符合实际问题的解。4. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.【直击高考】1. 定义在区间(,+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，+)的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b)g(a) f(a)f(b)g(1)g(2)=12=1.又f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2=3.g(a
12、)g(b)=g(2)g(1)=21=1,f(b)f(a)=g(a)g(b).即与成立故答案：C。2.解析:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 3.解析：由得，即，切线方程为，即选A4.解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.5解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.6. 解析：由题意知：在上恒成立，在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或。7. 解析：（） 令=0,得。因为，随的变化而变化如下表： 0+0-极大由表可知必为最大值,，即， ，即，。（），等价于，令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，故所求实数的取值范围是。8.解析:（）设容器的容积为V，由题意知故,由于,因此所以建造费用因此 （）由（I）得由于,当,令所以（1）当时，当r=m时，y=0；当r(0,m)时，y0；当r(m,2)时，y0.所以是函数y的极小值点，也是最小值点。（2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时
