1、35.2简单线性规划1.理解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2会根据约束条件求目标函数的最优解3.能解决一些简单的线性规划问题和实际应用问题线性规划中的基本概念名称定义目标函数求最大值或最小值的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性目标函数如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数线性约束条件如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件最优解使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题可行解满足线性约束条件的
2、解(x，y)，叫做可行解可行域由所有可行解组成的集合叫做可行域1在约束条件下，目标函数z10xy的最优解是()A(0，1)，(1，0)B(0，1)，(0，1)C(0，1)，(0，0)D(0，1)，(1，0)答案：D2将目标函数z2xy看成直线方程时，则该直线的纵截距等于_答案：z3在线性约束条件下，最优解唯一吗？解：最优解不一定唯一例如：在线性约束条件下，求z2x4y的最大值时，最优解为无数多个求线性目标函数的最值问题学生用书P55已知实数x，y满足条件求zx2y的最大值【解】作出可行域(如图所示)，为ABC所围成的区域(含边界)把zx2y变形为yx ，得斜率为，在y轴上截距为的一簇平行直线由
3、图可以看出，当直线zx2y经过可行域上点C时，截距最大解方程组得点C的坐标为(2，3)所以zmax2238. 设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A.B.C.1，6 D.解析：选A.作出可行域如图，作直线3xy0，并向上、向下平移由图可得，当直线过点A时，z3xy取最大值；当直线过点B时，z3xy取最小值由解得A(2，0)；由解得B.所以zmax3206，zmin33.所以z3xy的取值范围是.求非线性目标函数最值问题学生用书P56设x，y满足条件求v的最大值与最小值【解】画出满足条件的可行域如图所示，v表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5，0)的斜率，由图可知，kB
4、D最大，kCD最小，又C(3，8)，B(3，3)，所以vmax，vmin4.在本例条件下，求ux2y2的最大值与最小值解：x2y2u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时， u最大过(0，0)时，u最小点C坐标为(3，8)，所以umax73，umin0.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；特别地，zx2y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方(2)z型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率注意解答此类
5、问题利用数形结合思想 若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4B9C10 D12解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(0，3)，B(3，1)，C(0，2)，显然在点B处x2y2取得最大值10.已知目标函数的最值求参数学生用书P56若实数x，y满足且x2y2的最大值等于34，则正实数a的值等于()A.B.C. D.【解析】在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA(如图所示)，其中直线axya0的位置不确定，但它经过定点A(1，0)，斜率为a.又由于x2y2()2，且x2y2的最大值等于34，所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于，又M(，3)，O
6、M 0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围为_解析：由约束条件画出可行域如图所示要使仅在点(3，0)处取最大值，则a.答案：a利用线性规划解决实际问题学生用书P57某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？【解】设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用为z元，则z0.5x0.4y，且作出不等式组所表示的平面区域如图所示解方程组得A(，)由图可知，当且仅当直线yxz过点A时，纵截
7、距z最小，即z最小故当每份盒饭中面食为百克，米食为百克时，既科学，费用又少解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺(2)转化设元写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题(3)求解解这个纯数学的线性规划问题(4)作答就应用题提出的问题作出回答某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电
8、器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)解：设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，则z2xy，满足作出可行域，如图中阴影的整点部分：作出可行域，如图中阴影的整点部分：由图可得O(0，0)，A(0，3)，B(2，3)，C，D(4，0)平移直线y2xz，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大值即工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲
9、种家电4件，可获利最大1解简单线性规划的方法称为图解法，即用一簇平行直线与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值，从而求得某些二元一次函数的最值2利用简单线性规划的方法可以求解非线性目标函数的最值此时， 要注意结合目标函数的几何意义3解线性规划应用题需由已知条件建立数学模型，然后利用图解法解决问题在这个过程中，建立模型需要读懂题意，仔细分析，适当引进变量(参数)，再利用数学知识解决.作可行域时，注意标出相应的直线方程，给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，以便准确判断最优解1设变量x，y满足约束条件则zx3y的最大值为()
10、A2B4C6 D8解析：选B.作可行域如图，令z0得x3y0，将其平移，当过点(2，2)时，直线yx的纵截距最小，此时z取最大值，所以zmax2324.2在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|()A2 B4C3 D6解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线xy20的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，2)，D(1，1)，所以|AB|CD|3.3若实数x，y满足不等式组且xy的最大值为9，则实数m()A2 B1C1 D2解析：选C.法一：作出满足
11、题设条件的可行域如图所示(阴影部分)，设xy9，显然只有在xy9与直线2xy30的交点处满足要求联立方程组解得即点A(4，5)在直线xmy10上，所以45m10，得m1.法二：作出满足题设条件的可行域，联立方程组解得A.平移直线yx，当其经过点A时，xy取得最大值，即9，解得m1.A基础达标目标函数z3x5y，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线在y轴上的截距B该直线在y轴上的截距的5倍C该直线在x轴上的截距D该直线在x轴上的截距的5倍解析：选B.将目标函数z3x5y变形得yx，所以z的意义是该直线在y轴上的截距的5倍，故选B.2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z3xy的最大值为()
12、A4B0C. D4解析：选D.由作出可行域如图：当直线y3xz过点A(2，2)时，截距z最小，此时z有最大值z最大值3224.3配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：原料药剂甲乙 A25B54药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元现有原料甲20 kg，原料乙25 kg，那么可以获得的最大销售额为()A600元 B700元C800元 D900元解析：选C.设可配药剂A，B分别为x剂、y剂，获得的销售额为z元，有z100x200y，两直线2x5y20与5x4y25的交点为(，)，取该点附近的整点(2，2)，(2，3)，(3，2)，代
13、入检验可知当直线过点(2，3)时，z取得最大值，为800.4在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1C D解析：选C. 如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分由得A(3，1)当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM.5已知x，y满足约束条件则(x3)2y2的最小值为()A B2C8 D10解析：选D. 作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图所示)因为(x3)2y2的几何意义是点A(3，0)与可行域上点(x，y)间距离的平方，显然|AC|长度最小，则(x3)2y2的最小值为|AC|2(03)2(10)210，故选D.6设x，y满足
14、约束条件则z2xy的最大值为_解析：作出可行域如图阴影部分所示作直线2xy0，并向右平移，当平移至直线过点B时，z2xy取最大值而由可得B(3，3)所以zmax2333.答案：37设x，y满足约束条件则z2x3y5的最小值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z2x3y5经过点A(1，1)时，z取得最小值，zmin2(1)3(1)510.答案：108小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量那么最多可以买的科普书与文具的总数是_解析：设买科普书x本，文具y套，总数为
15、zxy.由题意可得约束条件为作出可行域如图中阴影部分整点所示，将zxy化为yxz，作出直线yx并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.答案：379设z2y2x5，其中x，y满足约束条件求z的最大值和最小值解：作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线2y2x0，当其经过点A(1，1)时，z取得最大值，zmax2(1)2(1)55，当其经过点C(0，2)时，z取得最小值，zmin2(2)2051.已知f(x)(3a1)xba，x0，1，若f(x)1恒成立，求ab的最大值解：因为f(x)1在0
16、，1上恒成立，所以即 将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求ab的最大值转化为在约束条件下，目标函数zab的最值的线性规划问题，作直线ab0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时zab取得的最大值为.B能力提升11设变量x，y满足约束条件则z|x3y|的最大值为()A10 B8C6 D4解析：选B.画出可行域，如图中阴影部分所示，则对于目标函数zx3y，当直线经过点A(2，2)时，z|x3y|取得最大值，zmax8.故选B.12设实数x，y满足则当时，实数x，y满足的不等式组为_解析：如图所示，点B的坐标是(，)，的几何意义是点(x，y)与(0，0)的
17、连线的斜率，点B与坐标原点O的连线的斜率是，故满足的区域是图中的区域ABD，其中直线BD左上方的点可以用不等式yx，即3x7y时，实数x，y满足的不等式组为答案：13已知实数x，y满足条件求的最大值解：作出可行域令z1，可以看成点B(1，1)与点(x，y)连线的斜率，当然点(x，y)在可行域之内，结合图形可知，点B(1，1)与可行域内的点A(0，3)连线的斜率最大，即最大，最大值为4，所以zmax9.14(选做题)雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目
18、，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元(1)若投资人用x万元投资甲项目，y万元投资乙项目，试写出x，y所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x，y范围的图形；(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：(1)由题意，知x，y满足的条件为上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)(2)根据第一问的规划和题设条件，可知目标函数为zx0.6y.如图所示，作直线l0：x0.6y0.当直线l0经平移过直线xy10与0.2x0.1y1.6的交点A时，其纵截距最大，解方程组解得即A(6，4)，此时z60.648.4(万元)，所以当x6，y4时，z取得最大值即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大
