1、抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线 青 春 抛 物 线 抛物线的生活实例 我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(c0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那么，抛物线到底有怎样的几何性质？它还有哪些几何性质？探究点1 抛物线的定义 一条经过点F且垂直于l 的直线抛物线的定义:在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.CM FlH焦点d准线点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?lF 化 简列 式设 点建 系以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K
2、.以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy.xKyOFPM MFd,022ppFx 则焦点 的坐标为（，），准线的方程为Ml（x,y）设M（x，y）是抛物线上任意一点，H点M到l的距离为d d由抛物线的定义，抛物线就是点的集合探究点2 抛物线的标准方程 FKp设（p0），思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?化 简列 式设 点建 系两边平方,整理得 xKyOFMl（x,y）Hd2222ppxyx所以）0(22ppxy 其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离 方程 y2=2px（p0）表示焦点在x轴正半轴上的抛物线 022lppF:x 焦点 的
3、坐标为（，），准线 的方程为若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？抛物线的标准方程还有哪些不同形式?FMlNyxFMlNHFMlNOFMlNxHyO准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上x轴的负半轴上y轴的正半轴上y轴的负半轴上y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-.怎样把抛物线的位置特征（标准位置）和方程特征（标准方程）统一起来？抛物线的标准方程想一想？抛物线方程左右
4、型标准方程为y2=+2px(p0)开口向右:y2=2px(x 0)开口向左:y2=-2px(x 0)标准方程为x2=+2py(p0)开口向上:x2=2py(y 0)开口向下:x2=-2py(y0)抛物线的标准方程上下型（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X轴（或Y轴）上；如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？（2）一次项的系数的正负决定了开口方向 即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！【提升总结】一次项：变量定焦点，符号定方向 左负右正，下负上正 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.解:(1)因为
5、，故抛物线的焦点坐标为 ，准 线方程为）（0,23.23x(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.p2,p4,2 例1利用直接法求抛物线的标准方程1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3）；(2)准线是 .2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2；(2)x2+8y=0.12x x2=-12y y2=2x 焦点，准线1(0,)32132 y焦点 ，准线(0,2)2y【提升总结】(1)用待定系数法求抛物线标准方程,应 先确定抛物线的形式，再求p值.(2)求抛物线的 焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程.【变式练习】例
6、2利用待定系数法求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3，2)；(2)焦点在直线x2y40上(1)y243x 或 x292y.(2)直线 x2y40 与 x 轴的交点为(4，0)，与 y 轴的交点为(0，2)，故抛物线焦点为(4，0)或(0，2)，当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为 y22px(p0)，p24，p8，抛物线方程为 y216x；当焦点为(0，2)时，设抛物线方程为 x22py(p0)，p22，p4，抛物线方程为 x28y，综上，所求抛物线方程为y216x 或 x28y.【点评】避免讨论，如焦点在x轴上 的 抛 物 线 标 准 方 程 可 设 为 y2 2
7、mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)练习：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：焦点到准线的距离是2解：y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y由例1.和例2.反思研究已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程先定位，后定量 点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.x y o F(4,0)Mx+5=0例3利用抛物线的定义求点的轨迹方程例4利用抛物线的定义求最值已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值【思路点拨】利用抛物线的定义把点P到准线的距离转化为点P到焦
8、点的距离，当三点共线时最小【解】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P 点、(0，2)点和抛物线的焦点12，0 三点共 线时距离之和最小，所以最小距离d0122（20）2 172.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；到焦点距离到准线距离其次是注意平面几何知识的应用在定义中，抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，互动探究本例中若将点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值思 考 解：抛物线 yax2 可化为 x21a y(a0)当 a0 时，p2 14a，抛物线开口向上，焦点坐标为（0，14a），准线方程为 y 14a.1.求抛物线yax2(a0)的焦点坐标、准线方程思考 当 a0),y2=-2px(p0)，x2=2py(p0),x2=-2py(p0).
