1、 4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法 今天我们来学习方程的根与函数的零点！你会求什么方程的根呢？1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）2.学习函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.（易错点）3.学习掌握求函数的零点.（重点）通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养 体会课堂探
2、究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂微课1：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次 函数的图象，观察二者有何联系？（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 （2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 （3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3 你知道方程对应的函数是怎么找的吗？方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0.xyO132112543y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点.y
3、x12112Oxy1321121234.0.方程ax2+bx+c=0(a0)的根函数y=ax+bx+c(a0)的图象判别式=b24ac0=00函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2一般结论 一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与x轴有交点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：零点指的是一个实数，不是一个点方程f
4、(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与x轴有交点 函数yf(x)有零点 结论现在知道 如何求没有公式的方程的根了吗？函数 f(x)x34x 的零点为()A(0,0)，(2,0)B(2,0)，(0,0)，(2,0)C2,0,2 D0,2 【解析】选 C.令 f(x)0，得 x(x2)(x2)0，解得 x0 或 x2.C【即时训练】例 函数f(x)=x(x4)的零点为（）A(0，0)，(2，0)B0 C(4，0)，(0，0)，D4，0 D【解析】选D.由x(x4)=0得x=0或x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点.解方程是求函数零点的一种方法如果二次函数 yx22x(k3)有两个不同的零点，
5、则 k 的取值范围是()A(2，)B(，2)C(2，)D(，2)【解析】选 B.由 0，得 44(k3)0，解得 k2.B【变式练习】观察二次函数2()23f xxx 的图象，如图，我们发现函数 2()23f xxx在区间2,1上有零点.计算(2)f与(1)f的乘积，你能发现这 个乘积有什么特点？在区间2,4 上是 否也具有这种特点呢？1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y O-1-2-1-4-3-2 微课2：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？观察二次函数f(x)x22x3的图象：在区间-2，1上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0(填
6、“”或“”)在区间(2，4)上有零点_；f(2)f(4)_0（填“”或“”）x=1 4 5 x=3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 xyO-2-1-4-3-2-1 xyOabcd思考：观察图象填空 有 有 有 在区间(a,b)上,f(a)f(b)_0(填“”或“”)在区间(a,b)上,_(填“有”或“无”)零 点；在区间(b,c)上,f(b)f(c)_0(填“”或“”)在区间(b,c)上,_(填“有”或“无”)零 点；在区间(c,d)上f(c)f(d)_0(填“”或“”)在区间(c,d)上,_(填“有”或“无”)零点；xyOabc函数零点存在的判断 如果函数y=f(x)在区间a,b上的
7、图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.方程lnx=必有一个根的区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(,1)D.(3,+)B 2x1e【解题关键】将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断【即时训练】例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b
8、)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（）解析：（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一 个零点.（）abOxy如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的.满足条件一定有零点，但不确定有几个可知，函数y=f(x)在区间a,b上连续，f(a)f(b)0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确.（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且 f(a)f(b)0，则f(x)
9、在区间(a,b)内没有零点.（）a b O x y 如图,虽然函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b)0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不一定存在零点，故论断不正确.（3）已知函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（）abOxy如图,若函数y=5x2-7x-1在区间a,b上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)f(b)的值()A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0 C 【变式练习】f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定有零点，但是函
10、数y=f(x)在(a,b)上有零点，f(a)f(b)0不一定成立.由表可知f(2)0，由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；例3.求函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数.解：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)-4-1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2 方法一 f(x)=lnx+2x6 从而f(2)f(3)0,函数f(x)在区间(2,3)内有零点 10 8 6 4 2-2-4 5 1 2 3 4 6 x y
11、O y=2x+6 y=lnx 6 Ox 1 2 3 4 y 即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.方法二：函数零点方程的根图象交点转化1.求方程2-x=x的根的个数，并确定根所在的区间n，n+1(nZ)解析：求方程 的根的个数，即求方程 的根的个数，即判断函数 与 的图象交点个数.由图可 知只有一个解.2xx 1()2xxyx1()2xyy=x 1 Ox 1 2 3 4 y 1()2xy【变式练习】数形结合估算f(x)在各整数处的取值的正负：1(
12、)()2xf xx令 由上表可知，方程的根所在区间为 0,1.x 0 1 2 3 f(x)+可根据图象确定大体区间2.已知函数 yf(x)在定义域内是单调函数，则方程 f(x)c(c 为常数)的解的情况是()A有且只有一个解 B至少有一个解 C至多有一个解 D可能无解，可能有一个或多个解 【解析】选 C.由于函数 yf(x)在定义域内是单调函数，因此若 c 为 f(x)的值域内的值，则 f(x)c 有一个解，若 c 不在 f(x)的值域内，则 f(x)c 无解.C 函数的零点 与方程的解 直观想象：通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养 应用函数零点存在定理时注意函数图象的连续
13、性 数形结合：借助函数图象与x轴交点确定零点及方程的根 转化法：函数的零点转化为方程的根，转化为函数图象与x轴的交点 函数零点的定义 函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系 函数的零点存在定理 1.在二次函数 中，ac =+,若g 存在 2 个零点,则 a 的取值范围是()A.-,B.,+C.-,+D.,+【解析】选 C.因为 g(x)=f(x)+x+a 存在 2 个零点,即 y=f(x)与 y=-x-a 有两个交点,图象如下:要使得 y=-x-a 与 f(x)有两个交点,则有-a1 即 a-1.4.若函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(x)在(0，)上有一个零点则 f(x
14、)的零点个数为_【解析】根据奇函数的定义 f(x)f(x)，f(x)在(0，)上有一个零点 x0，则x0也是 f(x)的零点，又由于 f(0)0，所以 f(x)有 3 个零点 3 5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围 【解析】（1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点为-1（0，1），所以a0；（2）当a0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，即二次函数函数f（x）=ax2-x-1在（0，1）内恰有一个零点，所以f（0）f（1）0，即-1（a-2）0，解得a2 故a的取值范围为（2，+）6、求下列函数的零点(1)yx2x6；(2)y(x2
15、2)(x23x2)【解】(1)令 y0，得x2x60，(x2)(x3)0，解得 x12，x23，函数 yx2x6 的零点是2,3.(2)令 y0，得(x22)(x23x2)0，x220 或 x23x20，解得 x1 2，x2 2，x31，x42，函数 y(x22)(x23x2)的零点是 2，2，1,2.方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点x三个等价关系零点代数法 图象法零点的求法 零点的存在性定理 二次函数的零点与二次方程的实根的关系 判别式 0 =0 0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点 有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1=x2 b2a 没有实根 有两个零点x1,x2 有一个二重零点x1=x2 没有零点 如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了.
