1、5 二项式定理51 二项式定理01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理二项式定理二项式定理概念公式(ab)n_(nN*)叫作二项式定理二项式系数 r1 项的二项式系数 Crn(r0,1,2，n)二项式通项Crnanrbr 叫作二项展开式的第_项(也称通项)，用 Tr1 表示，即 Tr1Crnanrbr二项展开式 C0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbnC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbnr1双基自测1设 P15(x1)10(x1)210(x1)35(x1)4(x1)5，则 P 等于()Ax5 B(x2)5C(x1)5D(x1)5解析：PC05
2、15(x1)0C1514(x1)1C2513(x1)2C3512(x1)3C451(x1)4C5510(x1)5(1x1)5(x2)5.B解析：2x 1x2 5C05(2x)5C15(2x)4 1x2C25(2x)31x2 2C35(2x)21x2 3C45(2x)1x2 4C551x2 532x580 x280 x 40 x410 x7 1x10.2.2x 1x2 5 的二项展开式为_32x580 x280 x 40 x410 x7 1x10探究一 二项式定理的正用、逆用 例 1(1)求(3 x 1x)4 的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解析(
3、1)解法一(3 x 1x)4C04(3 x)4C14(3 x)3 1xC24(3 x)2(1x)2C34(3 x)(1x)3C44(1x)481x2108x5412x 1x2.解法二(3 x 1x)43x14x2 1x2(81x4108x354x212x1)81x2108x5412x 1x2.(2)原式C05(x1)5C15(x1)4C25(x1)3C35(x1)2C45(x1)C55(x1)01(x1)151x51.1熟练掌握二项式(ab)n 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件当二项式较复杂时，可先将式子化简，然后再展开2逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式
4、的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数1化简(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.解析：原式C05(2x1)5C15(2x1)4C25(2x1)3C35(2x1)2C45(2x1)C55(2x1)0(2x11)5(2x)532x5.探究二 求二项展开式中的特定项 例 2 求(x3 x)9 展开式中的有理项解析 二项式的展开式的通项为Tr1Cr9(x12)9r(x13)r(1)rCr9x27r6.令27r6Z，且 r0,1,2，9.得 r3 或 r9.当 r3 时，T4(1)3C39x484x4.当 r9 时，T10(1)9C99x3x3.所以(x3 x
5、)9 展开式中的有理项是：第 4 项，84x4；第 10 项，x3.二项式中的特定项(1)常数项二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得(2)有理项求展开式的有理项，应写出它的通项公式，令未知量的指数为整数，便能求出适合题意的有理项(3)中间项对于展开式的中间项，若 n 是偶数，则二项展开式的中间项为第n21 项；若 n是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第n12 项和第n12 1 项2已知(x 124 x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项解析：依题意，前三项系数的绝对
6、值分别是1，C1n(12)，C2n(12)2，且 2C1n121C2n(12)2，即 n29n80，解得 n8(n1 舍去)，Tr1Cr8(x)8r(124 x)r(12)rCr8x8r2 xr4(1)rCr82rx163r4.(1)证明：若 Tr1 为常数项，当且仅当163r40，即 3r16，rN，这不可能，展开式中没有常数项(2)若 Tr1 为有理项，当且仅当163r4为整数0r8，rN，r0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是 T1x4，T5358 x，T9 1256x2.探究三 二项式系数与项的系数 例 3 已知在(3 x 123 x)n 的展开式中，第 5 项的二项式系数与
7、第 3 项的二项式系数的比是 143.(1)求 n 的值；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解析(1)依题意，得 C4nC2n143.化简，得(n2)(n3)56.解得 n10 或 n5(不合题意，舍去)，n 的值为 10.(2)通项为 Tr1Cr10 x10r3(12)rxr3Cr10(12)rx102r3(r0,1，10)令102r32，得 r2.所求的系数为 C210(12)2454.(3)由题意，得102r3Z，0r10，rZ，r2,5,8.第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C210(12)2x2，C510(12)5，C810(12)8x2
8、.二项式系数与系数的区别前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数 Crn；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关3已知二项式3 x 23x10.(1)求展开式中第 4 项的二项式系数；(2)求展开式中第 4 项的系数解析：3 x 23x10 的二项展开式的通项是 Tk1Ck10(3 x)10k 23xk(k0,1，10)(1)第 4 项的二项式系数为 C310120.(2)第 4 项的系数为 C3103723377 760.转化思想在多项展开式中的应用 典例 求(1xx2)8 展开式中 x5 的系数解析 解法一(1xx2)81(xx2)8，所以 Tr1Cr8(x
9、x2)r，则 x5 的系数由(xx2)r 来决定，Tk1Ckrxrkx2kCkrxrk，令 rk5，解得r5，k0，或r4，k1，或r3，k2.所以展开式中 x5 的系数为 C58C05C48C14C38C23504.解法二(1xx2)8(1x)x28C08(1x)8C18(1x)7x2C28(1x)6(x2)2C38(1x)5(x2)3C78(1x)(x2)7C88(x2)8，则展开式中 x5 的系数为 C08C58C18C37C28C16504.解法三(1xx2)8(1xx2)(1xx2)(1xx2)(共 8 个)，这 8 个因式中乘积展开式中形成 x5 的来源有三个：(1)有 2 个括号
10、各出 1 个 x2，其余 6 个括号恰有 1 个括号出 1 个 x，这种方式共有 C28C16种；(2)有 1 个括号出 1 个 x2，其余 7 个括号中恰有 3 个括号各出 1 个 x，共有 C18C37种；(3)没有 1 个括号出 x2，恰有 5 个括号各给出 1 个 x，共有 C58种所以 x5 的系数是 C28C16C18C37C58504.感悟提高 对于三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式(1)x2 1x22 3 的展开式为_(2)a 1a21 10 展开式中的常数项为_解析：(1)因为 x2 1x22x22 1x2x1x2，所以
11、x2 1x22 3x1x6C06x6C16x51x C26x41x2C36x31x3C46x21x4C56x1x5C661x6x66x415x22015x2 6x4 1x6.(2)因为a 1a21 101a 1a210，所以其通项为 Cr10a 1a2 r(r0,1，10)，要求原式中的常数项，则应先求出a 1a2 r 的展开式中的常数项因为二项展开式的第 k1 项为 Ckrark1a2 kCkrar3k(k0,1,2，r)，由题意，令 r3k0，即 r 是 k 的 3 倍又 rN，且 r10，所以 r0,3,6,9，此时 k0,1,2,3.当 r0 时，k0，系数为 C0101；当 r3 时，k1，系数为 C13C310360；当 r6 时，k2，系数为 C26C610C26C4103 150；当 r9 时，k3，系数为 C39C910C39C110840.所以原式的展开式中对应常数项为 13603 1508404 351.答案：(1)x66x415x22015x2 6x4 1x6 (2)4 35103 课后 巩固提升
