1、第三讲平面向量的数量积ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作a，b，则_AOB_叫做向量a与b的夹角；范围是_0，_.a与b的夹角为_时，则a与b垂直，记作ab.知识点二平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_|a|b|cos _，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a
2、(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos _x1x2y1y2_.模：|a|_.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.夹角：cos _.已知两非零向量a与b，abab0_x1x2y1y20_；abab|a|b|.(或|ab|a|b|)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.(2)平面向量数量积的运算律abba(交换律)ab(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)1两个向量的数量积是一个实数0a0而0a0.2数量积不满足结合律(ab)ca(bc)3ab中的“”不能省略aaa2|a|2.4两向
3、量a与b的夹角为锐角ab0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角ab0，则a与b的夹角为锐角；ab0，n0，则由2，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.名师点拨向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标
4、，进而求其数量积(如本例(2)变式训练1(1)(2018课标全国，4)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)(B)A4B3C2D0(2)在菱形ABCD中，对角线AC4，E为CD的中点，则(C)A8B10C12D14解析(1)本题考查数量积的定义和运算a(2ab)2|a|2ab212(1)3.故选B(2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线ACBD.故用、表示，由题意知()，()|2|AC|212，故选C解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则A(2,0)，C(2,0)，不妨设D(0,2a)，则E(1，a)(3，a)，(4,0)(3，a)(4,0)12，故选C考点二向量的模、夹角多维
5、探究角度1向量的模例2(1)(2020四川绵阳一诊)已知向量a(x1,2)，b(x,1)，若ab，则|ab|(D)AB2C2D3(2)(2020四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60，且a(1，)，|b|3，则|2ab|的值为(C)A13BCD1(3)(2020云南昆明一中模拟)已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|_5_.分析(1)由ab求出x，从而求ab的坐标，进而求|ab|；(2)求出|a|，再由|2ab|求解；(3)由(ab)250求解解析(1)a(x1,2)，b(x,1)且ab，x12x，x1，a(2,2)，b(1,1)，ab(3,3)，|ab|3.故选D(2)
6、a(1，)，|a|2.ab|a|b|cos 603，|2ab|.故选C(3)a(2,1)，|a|，又|ab|5，|a|22ab|b|250，ab10，520|b|250，|b|5.名师点拨平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标(x，y)形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|.(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解即“模的问题平方求解”角度2向量的夹角例3(1)(2020河北武邑中学调研)已知向量a(2,1)，b(1,3)，则向量2ab与a的夹角为(C)A135B60
7、C45D30(2)(2020广西梧州、柳州摸底)设平面向量a，b满足|a|1，|b|2，|a2b|.则向量a，b的夹角的余弦值为(B)ABCD分析利用夹角公式求解解析(1)a(2,1)，b(1,3)，|a|，2ab(3，1)，从而|2ab|，且(2ab)a(3，1)(2,1)5，记2ab与a的夹角为，则cos .又0，45，故选C(2)|a2b|，|a|24ab4|b|215，又|a|1，|b|2，ab，记a、b的夹角为，cos ，故选B引申本例(2)中a在ab方向上的投影为_.解析ab，|ab|.a在ab方向上的投影为.名师点拨求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cos .
8、(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角(3)a在b方向上的投影|a|cos ；b在a方向上的投影|b|cos .角度3平面向量的垂直例4(2020河南洛阳期中)向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为(A)ABCD分析由条件用ab表示|a|、|b|，用夹角公式求解解析由题意可知(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，即|a|22ab|b|2记a、b的夹角为，则cos ，又0，故选A例5(2020安徽宣城调研)已知在ABC中，A120，且AB3，AC
9、4，若，且，则实数的值为(A)ABC6D解析因为，所以()()22(1)0，因此3242(1)34cos 1200，所以.故选A名师点拨平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件ab0求解变式训练2(1)(角度1)(2020山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|2|a|2，a与b的夹角为120，则|a2b|(B)ABC13D21(2)(角度2)(2020江西七校联考)已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为_.(3)(角度3)(2019北京卷)已知向量a(4,3)，b(6，m)，且ab，则m_8_.(4)(角度2)(2019
10、全国卷，5分)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cos a，c_.解析(1)|a|1，|b|2，ab1，|a2b|.故选B(2)由题意可知3，3.m3，|b|6，记a与b的夹角为，则cos ，又0，.(3)因为ab，所以ab463m0，解得m8.(4)设a(1,0)，b(0,1)，则c(2，)，所以cos a，c.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 有关数量积的最值(范围)问题例6(1)(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(B)A2BCD1思维导引思路一：思路二：解析解法一：结
11、合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有2，则()22()()2(22)而2()2，当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时()取得最小值，最小值为222.解法二：如下图所示，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平行分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22(y)2，当x0，y时，()取得最小值，最小值为.名师点拨平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义
12、先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决变式训练3如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，M，N分别是边AB，CD的中点，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为_，_.解析结合图及数量积的几何意义，易知当动点P与点A重合时，取得最小值；当动点P与点D重合时，取得最大值解法一：连接AD，易知MN为梯形ABCD的中位线，所以MN3.又AM1，AMN120，所以31cos 120，故的最小值为.连接DM.
13、因为DN1，MN3，MND120，所以在DMN中，先由余弦定理求得DM，再由余弦定理求得cos DMN，所以3，故的最大值为.综上可知，的取值范围为，解法二：如图所示，建立平面直角坐标系xMy，则易知向量(1,0)，(1,2)，(，)所以，故的最小值为.，故的最大值为.所以的取值范围为，名师点拨本题以熟悉的正六边形为载体考查数量积的取值范围，亮点体现在题目涉及动点，不便于直接利用向量的坐标运算加以求解，而需要依据数量积的几何意义作为解题切入点加以分析本题对解题能力的考查较强求解的难点有：一是准确分析取得最值时的具体情形是什么；二是结合图形计算的最值通过比较本题的解法一和解法二可知，解法二更为简单明了
