1、一、选择题1若全集 UR,集合 Ax|x2x20,By|ylog2(x3),xA,则集合 A(UB)等于()Ax|2x0 Bx|0 x1Cx|30)个单位后得到的图象关于直线 x2对称,则 的最小值是()A.4B.3C.34D.386(2016河南实验中学质检)已知数列an的通项为 anlog(n1)(n2)(nN*),我们把使乘积a1a2a3an 为整数的 n 叫做“优数”,则在(0,2 016内的所有“优数”的和为()A1 024 B2 012C2 026 D2 0367在2,3上随机取一个数 x,则(x1)(x3)0 的概率为()A.25B.14C.35D.458(2016烟台诊断)甲、
2、乙两名同学参加某项技能比赛,7 名裁判给两人打出的分数如茎叶图所示,依此判断()A甲成绩稳定且平均成绩较高B乙成绩稳定且平均成绩较高C甲成绩稳定,乙平均成绩较高D乙成绩稳定,甲平均成绩较高9设 m,n 是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列四个命题正确的是()Am,n,m,n,则 Bm,则 mC若 m,n,则 mnD若,则 10.如图,设 F1,F2 分别为等轴双曲线 x2y2a2 的左,右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 M,N 两点,则 cosMAN 等于()A.25B25C.55D 5511被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已拆除围绕此事件的
3、种种纷争,某媒体通过随机询问 100 名性别不同的居民对此的看法,得到下表:认为就应依法拆除认为太可惜了男4510女3015参照附表,得到的正确结论是()附:P(K2k)0.100.050.025k2.7063.8415.024K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd),nabcdA有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”B有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”C在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“认为拆除太可惜了与性别有关”D在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“认为拆除太可惜了与性别无关”12执行如图所示的程序框图,若输出的 k5,则输入的
4、整数 p 的最大值为()A7 B15 C31 D63二、填空题13已知函数 f(x)对任意的 xR,都有 f12x f12x,函数 f(x1)是奇函数,当12x12时,f(x)2x,则方程 f(x)12在区间3,5内的所有零点之和为_14假设你家订了一盒牛奶,送奶人可能在早上 6:307:30 之间把牛奶送到你家,你离开家去学校的时间在早上 7:008:00 之间,则你在离开家前能得到牛奶的概率是_15已知三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆x2a2y2b21(ab0)上,且 ABx 轴,ACx 轴,则|AC|AB|BC|2的最大值为_16已知 f(x)是定义在(0,)上的单调函数,且对任意的
5、x(0,),都有 f(f(x)log2x)3,则方程 f(x)f(x)2 的解所在的区间是_(填序号)(0,1);(1,2);(2,3);(3,4)三、解答题17(2016乌鲁木齐三诊)若函数 f(x)sin2ax 3sin axcos ax12(a0)的图象与直线 yb 相切,并且切点的横坐标依次成公差为2的等差数列(1)求 a,b 的值;(2)若 x00,2,且 x0 是 yf(x)的零点,试写出函数 yf(x)在x0,x02 上的单调增区间18先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b.(1)求直线 axby50 与圆 x2y21 相切的概率;(2)将 a,b,5 的值分别作
6、为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率19.(2016辽宁朝阳三校协作体联考)如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PD平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,BAD60,AB2,PD 6,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点(1)证明:平面 EAC平面 PBD;(2)若 PD平面 EAC,求三棱锥 PEAD 的体积20(2016晋江第四次联考)在数列an中,a11,a2103,an1103 anan10(n2,且 nN*),若数列an1an是等比数列(1)求实数;(2)求数列an的通项公式;(3)设 Snni11ai,求证:Sn32.21.已知函数 f(x)1x1
7、x2ex.(1)求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 f(x1)f(x2)(x1x2)时,x1x2b0)的离心率 e 63,过点 A(0,b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 32.(1)求椭圆的方程;(2)设 F1,F2 为椭圆的左,右焦点,过 F2 作直线交椭圆于 P,Q 两点,求PQF1 的内切圆半径 r 的最大值答案精析1 A Ax|x2x20 x|2x1,By|ylog2(x3),xAx|0 x2,所以UBx|x2,所以 A(UB)x|2x0,故 min38,故选 D.6C 因为 a1a2a3anlog23log34log45log(n1)(n2)log2(n2)k,kZ,则
8、0n2k22 016,即 22k2 018,解得 1 x 乙,且从茎叶图来看,甲的成绩比乙的成绩离散程度大,说明乙的成绩较稳定,故选 D.9B 对于 A,根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与 n 相交”,故 A 不正确;对于 B,若,则,无交点,又 m,所以 m,无交点,即 m,故 B 正确;对于 C,若,n,则 n 可以垂直于,又 m,所以 m 可以平行于 n,故 C 不正确;对于 D,时,也可能平行,故 D 不正确10D 等轴双曲线 x2y2a2 的两条渐近线方程为 yx,所以 M(a,a),N(a,a),则|AN|2(aa)2a25a2,|AM|2a2,|MN|28a2,则 cos
9、MAN5a2a28a22 5a2 55.11A 因为 K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)3.0302.706,所以有 90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”12B 由程序框图可知;S0,k1;S1,k2;S3,k3;S7,k4;S15,k5.第步后输出 k,此时 S15p,则 p 的最大值为 15,故选 B.134解析 因为函数 f(x1)是奇函数,所以函数 f(x1)的图象关于点(0,0)对称,把函数 f(x1)的图象向右平移 1 个单位可得函数 f(x)的图象,所以函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称,可得f32x f12x,又因为 f12x f12x,所
10、以f32x f12x,再令 x 取 x1 可得f52x f32x,所以有 f52x f12x,可得 f(x)f(x2),所以函数 f(x)的周期为 2,图象如图所示,故方程 f(x)12在区间3,5内的所有零点之和为12244.14.78解析 设牛奶送达的时间为 x,我离开家的时间为 y,则样本空间(x,y)|6.5x7.5,7y8,在离开家前能得到牛奶的事件 A(x,y)|6.5x7.5,7y8,yx,作图如下,可得所求概率 P112121211 78.15.12解析 不妨设椭圆上的点 A(m,n)(m0,n0),由题意得 B(m,n),C(m,n),则|AC|2m,|AB|2n,|BC|2
11、m2n2,则|AC|AB|BC|22m2n4m2n2mnm2n2 mn2mn12(当且仅当 mn,即ABC 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)16解析 根据题意,f(x)log2x0 且是唯一的值,设 tf(x)log2x,则 f(x)tlog2x,又 f(t)3,所以 3tlog2t,此方程有唯一解 t2,所以 f(x)2log2x.方程 f(x)f(x)2,即方程log2x 1xln 20.设 h(x)log2x 1xln 2,则该函数为(0,)上的增函数又 h(1)1ln 20,所以方程 f(x)f(x)2 的解在区间(1,2)内17解(1)f(x)sin2ax 3sin
12、axcos ax121cos 2ax2 32 sin 2ax12sin2ax6,yf(x)的图象与直线 yb 相切,b 为 f(x)的最大值或最小值,即 b1 或 b1.切点的横坐标依次成公差为2的等差数列,f(x)的最小正周期为2,即 T 2|2a|2,a0,a2,即 f(x)sin4x6.(2)由题意知 sin4x06 0,则 4x06k(kZ),x0k4 24(kZ),由 0k4 242(kZ),得 k1 或 k2,因此 x0524 或 x01124.当 x0524时,yf(x)的单调递增区间为524,3 和712,1724;当 x01124 时,yf(x)的单调递增区间为712,56.
13、18解 先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b 包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(6,5),(6,6),共 36 个(1)直线 axby50 与圆 x2y21 相切,5a2b21,整理得 a2b225.由于 a,b1,2,3,4,5,6,满足条件的情况只有 a3,b4 或 a4,b3 两种情况直线 axby50 与圆 x2y21 相切的概率是 236 118.(2)三角形的一边长为 5,三条线段围成等腰三角形,当 a1 时,b5,共 1 个基本事件;当 a2 时,b5,共 1 个基本事件;当 a3 时,b3,
14、5,共 2 个基本事件;当 a4 时,b4,5,共 2 个基本事件;当 a5 时,b1,2,3,4,5,6,共 6 个基本事件;当 a6 时,b5,6,共 2 个基本事件;满足条件的基本事件共有 11226214 个三条线段能围成等腰三角形的概率为1436 718.19(1)证明 PD平面 ABCD,AC平面 ABCD,ACPD.四边形 ABCD 是菱形,ACBD.又PDBDD,AC平面 PBD.AC平面 EAC,平面 EAC平面 PBD.(2)解 PD平面 EAC,平面 EAC平面 PBDOE,PD平面 PBD,PDOE.O 是 BD 的中点,E 是 PB 的中点取 AD 的中点 H,连接
15、BH,如图所示四边形 ABCD 是菱形,BAD60,BHAD.又BHPD,ADPDD,BH平面 PAD.又 BH 32 AB 3,VPEADVEPAD12VBPAD1213SPADBH16122 6 3 22.20(1)解 由数列an1an是等比数列,可设 an1an(anan1)(n2)an1()anan10,an1103 anan10,103,1,13或 3.(2)解 由(1)知,n2,13时,an13an13n1,n2,3 时,an3an1 13n1.由可得 an383n 13n(n2),当 n1 时,也符合an38(3n 13n),nN*.(3)证明 由(2)知,an383n 13n
16、0,an3an1 13n1,an3an1,1an13 1an1(n2)Sn 1a1131a1 1a2 1an1 1a1131a1 1a2 1an11an 13an 1a113Sn.Sn32.21(1)解 函数 f(x)的定义域为(,)f(x)1x1x2 ex 1x1x2exx22x1(1x2)21x1x2 exx(x1)22(1x2)2ex.当 x0;当 x0 时,f(x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(,0),单调递减区间为(0,)(2)证明 当 x0,ex0,故 f(x)0;同理,当 x1 时,f(x)0.当 f(x1)f(x2)(x1x2)时,不妨设 x1x2,由(1)知,x1(,0
17、),x2(0,1)下面证明:x(0,1),f(x)f(x),即证1x1x2ex 1x1x2ex.此不等式等价于(1x)ex1xex 0.令 g(x)(1x)ex1xex,则 g(x)xex(e2x1)当 x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递减,从而 g(x)g(0)0.即(1x)ex1xex 0.所以x(0,1),f(x)f(x)而 x2(0,1),所以 f(x2)f(x2),从而 f(x1)f(x2)由于 x1,x2(,0),f(x)在(,0)上单调递增,所以 x1x2,即 x1x20.22解(1)直线 AB 的方程为xa yb1,即 bxayab0.原点到直线 AB 的距离为aba2
18、b2 32,即 3a23b24a2b2.eca 63 c223a2.又 a2b2c2,由可得 a23,b21,c22.故椭圆的方程为x23y21.(2)F1(2,0),F2(2,0),设 P(x1,y1),Q(x2,y2)当直线 PQ 斜率不存在时,易得 r 23.由于直线 PQ 的斜率不为 0,故设其方程为 xky 2,联立直线与椭圆的方程,得xky 2,x23y21(k23)y22 2ky10,故y1y22 2kk23,y1y21k23,而1F PQS1 21 2F F PF F QSS12|F1F2|y1y2|2(y1y2)24y1y2,将代入,得1F PQS 22 2kk2324k232 6 k21k23.又 SF1PQ12(|PF1|F1Q|PQ|)r2ar2 3r,所以2 6 k21k232 3r,故 r 2 k21k232k212k2112,当且仅当k212k21,即 k1 时,取得“”故PQF1 的内切圆半径 r 的最大值为12.