1、2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷一.填空题1函数f（x）=的定义域为2已知复数z满足z+i=1iz（i是虚数单位），则z=3以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为4已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解，则实数m的值为5已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=6已知x，yR+，且4x+y=1，则的最小值是7若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是8等比数列an前n项
2、和，nN*，则=9把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤10已知函数f（x）=，记an=f（n）（nN*），若an是递减数列，则实数t的取值范围是11已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意xR都有f（x）f（），则方程f（x）=0在区间0，内的解为12对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0D，使得当xD且xx0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“
3、分渐近线”给出定义域均为D=x|x1的四组函数如下：f（x）=x2，g（x）=； f（x）10x+2，g（x）=；f（x）=，g（x）=； f（x）=，g（x）=2（x1ex）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是二.选择题13设全集U=R，已知A=x|0，B=x|x1|2，则（UA）B=（）A（，1）B（1，2C（2，3D2，3）14已知a、b为实数，命题甲：abb2，命题乙：，则甲是乙的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D非充分非必要15下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平
4、面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A0B1C2D316已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）17已知f（x）=Asin（wx+），（w0），若两个不等的实数x1，x2，且|x1x2|min=，则f（x）的最小正周期是（）A3B2CD18已知O是正三角形ABC内部的一点， +2+3=，则OAC的面积与OAB的面积之比是（）ABC2D1三.解答题19如图，在直三棱柱ABCA1B
5、1C1中，已知AA1=BC=AB=2，ABBC（1）求四棱锥A1BCC1B1的体积；（2）求二面角B1A1CC1的大小20已知ABC的三个内角分别为A，B，C，且（）求A的度数；（）若BC=7，AC=5，求ABC的面积S21平面直角坐标系中，点A（2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=，点P的轨迹为曲线C1双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k40，求双曲线C2的焦距的取值范围22设各项均为正数的数列an
6、的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=+（N*），试求（b1+b2+bn2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由23已知函数f（x）=log2（x+a）（1）若0f（12x）f（x），当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=g（x），且当0x1时，g（x）=f（x），求g（x）在3，1上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（）1log23在R上恒成
7、立，求实数t的取值范围2016-2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1函数f（x）=的定义域为2，0）（0，2【考点】函数的定义域及其求法【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分母不为0联立不等式组求解【解答】解：由，解得：2x2且x0函数f（x）=的定义域为2，0）（0，2故答案为：2，0）（0，22已知复数z满足z+i=1iz（i是虚数单位），则z=i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数z满足z+i=1iz，移项得到z+zi=1i，提出公因式z（1+i）=1i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的
8、共轭复数，得到结果【解答】解：复数z满足z+i=1iz，z+zi=1iz（1+i）=1iz=i故答案为：i3以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为（x1）2+y2=4【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可【解答】解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2所求圆的方程为：（x1）2+y2=4故答案为：（x1）2+y2=44已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解，则实数m的值为2【考点】二元一次方程组的矩阵形式【分析】根据二元一次方程组的增广矩阵
9、是（），该方程组无解，可得且，从而可求实数m的值【解答】解：二元一次方程组的增广矩阵是（），该方程组无解，且，m24=0且4mm（m+2）0，m=2故答案为：25已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，y=g（x）是y=f（x）的反函数，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=2【考点】反函数【分析】由题意可得y=g（x）是y=f（x）的反函数，得到函数y=g（x）的图象关于（0，1）点中心对称图形，结合x1+x2=0，可得g（x1）+g（x2）的值【解答】解：定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，且y=g（x）是y=f（x）的反函数，函数y=g（x）
10、的图象与函数y=f（x）的图象关于直线xy=0对称，故函数y=g（x）的图象关于（0，1）点中心对称图形，点（x1，g（x1）和点（x2，g（x2）是关于点（0，1）中心对称，x1+x2=0，g（x1）+g（x2）=2故答案为：26已知x，yR+，且4x+y=1，则的最小值是25【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，yR+，且4x+y=1，则=（4x+y）=13+13+2=25故答案为：257若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是【考点】二项式定理的应用【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求
11、出n=6，再求出其通项公式，求出r=0，2，4，6时，为有理项，即可求出概率【解答】解：因为二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，所以n=6所以其通项为Tr+1=所以r=0，2，4，6时，为有理项，所以所求概率为，故答案为：8等比数列an前n项和，nN*，则=【考点】等比数列的前n项和【分析】根据等比数列an的前n项和推知a1和q，然后根据求和公式进行计算并求极限【解答】解：等比数列an前n项和为Sn=a+（）n，nN*，an=SnSn1=a+（）na+（）n1=（）n1，a1=，q=a1，a3，a5，a2n1，为首项，公比为的等比数列，a1+a3+a5+a2n1=（1），=（1）=故
12、答案为：9把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆9.6公斤【考点】球的体积和表面积【分析】设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，根据体积相等建立等式关系，然后求出64个小球球面的总面积，从而求出所求【解答】解：设大金属球的半径为R，小金属球的半径为r，依题意得知：面积为4R2需要要用油漆2.4kg由=64，可得r=R64个小球球面的总面积为：644r2=4（4R2）42.4=9.6（kg）故答案为：9.610已知函数f（x）=，记an=f（n）（nN*），若an是递减数列，则实数t的取值范围
13、是【考点】数列的函数特性【分析】要使函数f（x）=x23tx+18在x3（xN*）时单调递减，则，解得t，解得t；要使函数f（x）=在x3单调递减，则必须满足t130，解得t；又函数f（x）在xN*时单调递减，则f（3）f（4），解得t联立解得即可【解答】解：要使函数f（x）=x23tx+18在x3（xN*）时单调递减，则，解得t；要使函数f（x）=在x3单调递减，则必须满足t130，解得t13又函数f（x）在xN*时单调递减，则f（3）=279tf（4）=（t13），解得t4故t的取值范围是故答案为：11已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意xR都有f（x）f（
14、），则方程f（x）=0在区间0，内的解为或【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由f（x）f（），可知f（）是函数f（x）的最小值，利用辅助角公式求出a，b的关系，然后利用三角函数的图象和性质进求解即可【解答】解：f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）其中tan，由f（x）f（），则f（）是函数f（x）的最小值，即f（）=，f（）=，即，平方得，即，解得b=，tan=，不妨设，则f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x），由f（x）=sin（2x）=0，解得2x=k，即x=，kZ，x0，当k=0时，x=，当k=1时，x=，故x=或=故答案为：或12对于具有相同定义域
15、D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0D，使得当xD且xx0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”给出定义域均为D=x|x1的四组函数如下：f（x）=x2，g（x）=； f（x）10x+2，g（x）=；f（x）=，g（x）=； f（x）=，g（x）=2（x1ex）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是【考点】函数的值域【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0D，使得当xD且x
16、x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x时，f（x）g（x）0对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+）上是增函数，不满足x时，f（x）g（x）0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x时，f（x）g（x）0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上
17、升的快慢，说明当x1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x时，f（x）g（x）0由以上分析可以得到正确答案【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x时，f（x）g（x）0对于f（x）=x2，g（x）=，当x1时，令F（x）=f（x）g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x时，f（x）g（x）0，所以不存在；对于f（x）=10x+2，g（x）=f（x）g（x）=，因为当x1且x时，f（x）g（x）0，所以存在分渐近线；对于f（x）=，g（x）=，f（x）g（x）=当x1且x时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x时f（x）g（x）会越来越小，不会趋近于
18、0，所以不存在分渐近线；对于f（x）=，g（x）=2（x1ex），当x时，f（x）g（x）=0，因此存在分渐近线故存在分渐近线的是故答案为二.选择题13设全集U=R，已知A=x|0，B=x|x1|2，则（UA）B=（）A（，1）B（1，2C（2，3D2，3）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+3）（x2）0，解得：x或x2，即A=（，）（2，+），UA=，2，由B中不等式变形得：2x12，解得：1x3，即B=（1，3），（UA）B=（1，2，故选：B14已知a、b为实数，命题甲：abb2，命
19、题乙：，则甲是乙的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D非充分非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用不等式的性质与解法分别化简命题甲、乙，即可判断出关系【解答】解：由命题乙：，可得：ab0命题甲：abb2，化为：b（ab）0，或，解得ab0，或ab0甲是乙的必要不充分条件故选：B15下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）利用线面平行的
20、判定定理即可判断出正误；（2）利用异面直线的性质与线面平行的判定定理即可断出正误；（3）利用直四棱柱与直平行六面体的定义，即可判断出正误；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥【解答】解：（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面不一定平行，因此不正确；（2）a，b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个，正确；（3）直四棱柱不是直平行六面体，因此不正确；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥综上正确的有1个故选：B16已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数
21、，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）Asgng（x）=sgnxBsgng（x）=sgnxCsgng（x）=sgnf（x）Dsgng（x）=sgnf（x）【考点】函数与方程的综合运用【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以A不正确，B正确，sgnf（x）=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）f（a
22、x）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x）=sgn（x）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B17已知f（x）=Asin（wx+），（w0），若两个不等的实数x1，x2，且|x1x2|min=，则f（x）的最小正周期是（）A3B2CD【考点】正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法【分析】由题意可得=，求得 的值，可得f（x）的最小正周期是 的值【解答】解：由题意可得sin（wx+）=的解为两个不等的实数x1，x2，且 =，求得=，故f（x）的最小正周期是 =3，故选：A18已知O是正三角形ABC内部的一点， +2+3=，则OAC的面积与OAB的面积之
23、比是（）ABC2D1【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式【分析】对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究即可，【解答】解： +2+3=，变为，设D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知，2，故，由于正三角形ABC，故SAOC=SADC=SABC=SABC，又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半，所以SAOB=SABCOAC的面积与OAB的面积之比为故选：B三.解答题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1=BC=AB=2，ABBC（1）求四棱锥A1BCC1B1的体积；（2）求二面角B1A1CC1的大小【考点】棱柱、棱
24、锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【分析】（1）证明ABBCC1B1，说明A1B1是四棱锥A1BCC1B1的高，然后求解四棱锥A1BCC1B1的体积（2）建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量平面A1B1C的一个法向量利用向量的数量积求解二面角B1A1CC1的大小【解答】（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题，第（2）小题解：（1）因为ABBC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以ABBCC1B1，从而A1B1是四棱锥A1BCC1B1的高四棱锥A1BCC1B1的体积为V=222=（2）如图（图略），建立空间直角坐标系则A（2，0，0），
25、C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，BMAC，NMCC1，BM平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是=（x，y，z），=（2，2，2），=（2，0，0）=2x=0，令z=1，解得x=0，y=1. =（0，1，1），设法向量与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos=|cos|=，=二面角B1A1CC1的大小为20已知ABC的三个内角分别为A，B，C，且（）求A的度数；（）若BC=7，AC=5，求ABC的面积S【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦【分析】（）利
26、用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60（）在ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果【解答】解：（），sinA0，0A180，A=60（）在ABC中，BC2=AB2+AC22ABACcos60，BC=7，AC=5，49=AB2+255AB，AB25AB24=0，解得AB=8或AB=3（舍），21平面直角坐标系中，点A（2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=，点P的轨迹为曲线C1双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4（1）求曲
27、线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k40，求双曲线C2的焦距的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围【解答】解：（1）设P（x，y），则，曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，所以，0b2，由双曲线C2的焦距为2，故双曲线C2的焦距的取值范围（2，222设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（nN*）（1）
28、求数列an的通项公式；（2）设bn=+（N*），试求（b1+b2+bn2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由【考点】数列的极限；数列的求和【分析】（1）通过4an+1=4Sn+14Sn得（an+1+an）（an+1an2）=0，进而可得结论；（2）通过分离bn的分母可得bn=2+2（），累加后取极限即可；（3）假设存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+am+k=300，通过（1）可得300=（2m+k1）（k+1），利用2m+k1k+14，且2m+k1与k+1的奇偶性相同，即得
29、结论【解答】解：（1）4Sn=（an+1）2，4Sn+1=（an+1+1）2，两式相减，得4an+1=4Sn+14Sn=（an+1）2（an+1+1）2=+2an+12an，化简得（an+1+an）（an+1an2）=0，又数列an各项均为正数，an+1an=2 （nN*），数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an=2n1 （nN*）（2）因为bn=+=+=2+2（），故b1+b2+bn=2n+2（1）+（）+（）=2n+2（1），于是（b1+b2+bn2n）= 2（1）=2；（3）结论：存在大于2的正整数m、k使得am+am+1+am+k=300理由如下：假设存在大于2的正整数m、k使
30、得am+am+1+am+k=300，由（1），可得am+am+1+am+k=（2m+k1）（k+1），从而（2m+k1）（k+1）=300，由于正整数m、k均大于2，知2m+k1k+14，且2m+k1与k+1的奇偶性相同，故由300=22352，得或，解得或，因此，存在大于2的正整数m、k：或，使得am+am+1+am+k=30023已知函数f（x）=log2（x+a）（1）若0f（12x）f（x），当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=g（x），且当0x1时，g（x）=f（x），求g（x）在3，1上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于
31、x的不等式g（）1log23在R上恒成立，求实数t的取值范围【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数恒成立问题【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式化为1，且22x0且x+10，解不等式组可得x的取值范围；（2）函数g（x）满足g（x+2）=g（x），表示函数的周期为4，结合函数g（x）为奇函数，可求出x3，1时，函数g（x）的解析式，进而得到其反函数；（3）关于x的不等式关于x的不等式g（）1log23在R上恒成立，等价于g（）g（）在R上恒成立，即u=，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取值范围【解答】解：（1）原不等式可化为，1，且22x0，且x+
32、10，得32（2）g（x）是奇函数，g（0）=0，得a=1，当x3，2时，x20，1，g（x）=g（x+2）=g（x2）=log2（x1），此时g（x）0，1，x=2g（x）1，h（x）=2x1（x0，1）当x（2，1时，x21，0），x+2（0，1，g（x）=g（x+2）=log2（x+3），此时，g（x）1，0），x=2g（x）3，h（x）=2x3（x1，0）（3）关于x的不等式g（）1log23在R上恒成立，记u=，关于x的不等式g（）1log23在R上恒成立，g（）=log2=log2（1+）=g（）=g（）在R上恒成立，当t+10时，u（，）=（），（，），解得t1，20当t+10时，u（，）=（），由g（）=log2=log2（1+）=g（）=g（）在R上恒成立，得，解得t4，1）综上所述，实数t的取值范围是4，202017年3月25日
