1、高考大题专项(五)圆锥曲线的综合问题突破1圆锥曲线中的最大(小)值、范围问题1.(2020河南郑州模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是2+1,且1,2a,4c成等比数列.(1)求椭圆的方程;(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),求实数m的取值范围.2.(2020湖南湘潭一模)已知F(3,0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点,点M3,12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且kOA+kOB=-12(O为坐标原点),求直线l的斜
2、率的取值范围.3.已知椭圆E的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,离心率等于223,P是椭圆E上的点.以线段PF1为直径的圆经过F2,且9PF1PF2=1.(1)求椭圆E的方程;(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N.如果线段MN被直线2x+1=0平分,求直线l的倾斜角的取值范围.4.(2020宁夏银川模拟)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),直线l:x=a2交x轴于点A,且AF1=2AF2.(1)求椭圆的方程;(2)过点F1,F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D,E,M,N四点,试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.5
3、.(2020山东济宁一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,且椭圆C过点32,22.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且与圆O:x2+y2=2相交于E,F两点,求|AB|EF|2的取值范围.突破2定点、定值问题1.(2019北京,理18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程.(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.2.(2020重庆模拟)已知椭圆
4、C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2.点M在椭圆C上运动,若MF1F2的面积取得最大值4时,有且仅有2个不同的点M使得MF1F2为直角三角形.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,与x轴交于点Q.设QA=PA,QB=PB,求证:+为定值,并求该定值.3.(2020甘肃白银联考)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,下顶点为A,O为坐标原点,点O到直线AF2的距离为22,AF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l与椭圆C分别相交于M,N两点,若直线AM与直线AN的斜率
5、之和为2,证明:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.4.(2020湖南郴州教学质量监测)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线分别交抛物线于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程;(2)过点A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上.突破3证明、探索性问题1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0),离心率为12,直线l:y=k(x-4)(k0)与椭圆C交于不同两点M,N,直线FM,FN分别交y轴于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:|FA|=|FB|.
6、2.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C上一点,AF1与y轴相交于点B,|AB|=|F2B|,|OB|=43.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过点A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k0)与l1,l2分别交于M,N两点,求证:MF1N=MF2N.3.(2020云南曲靖模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,F为左焦点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3.(1)求椭圆C的方程.(2)在圆x2+y2=3上是否存在
7、一点P,使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M,N两点,且满足OMON?若存在,求l的方程;若不存在,请说明理由.4.(2020江西新余模拟)已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,点P(2,2)在椭圆C上,且PFx轴.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,过点F的直线l分别交椭圆C于A,B两点,交直线x=4于点M.判断直线PA,PM,PB的斜率是否构成等差数列?请说明理由.5.(2020湖南五市十校联考)已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程.(2)过点M(-2,0)的任意一条直线l与轨迹E分别相交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上
8、是否存在定点N(异于点M),使得QNM+PNM=?若存在,求点N的坐标;若不存在,说明理由.6.已知圆C:(x-1)2+y2=14,一动圆与直线x=-12相切且与圆C外切.(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程.(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与轨迹T交于A,B两点,M为线段AB的中点,过M作x轴的平行线与轨迹T相交于点N,试问是否存在直线l,使得NANB?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.参考答案高考大题专项(五)圆锥曲线的综合问题突破1圆锥曲线中的最大(小)值、范围问题1.解(1)由已知可得a+c=2+1,14c=2a2,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=1,所以椭圆的
9、方程为x22+y2=1.(2)由题意得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1).与椭圆方程联立得x2+2y2-2=0,y=k(x-1),消去y可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k21+2k2,y1+y2=k(x1+x2)-2k=-2k1+2k2.可得线段AB的中点为N2k21+2k2,-k1+2k2.当k=0时,直线MN为y轴,此时m=0.当k0时,直线MN的方程为y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,化简得ky+x-k21+2k2=0.令y=0,得x=k21+2k2.所以m=k21+2k2=11k2+20,
10、12.综上所述,实数m的取值范围为0,12.2.解(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(-3,0),所以点M到两焦点的距离之和为(23)2+122+12=4.所以a=2.又c=3,所以b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,kOA+kOB=0,不符合题意.故设直线l的方程为y=kx+m(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24+y2=1,y=kx+m,可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0.则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4(m2-1)4k2+1.而kOA+kOB=y1x1+y2x2=(kx1+m)x
11、2+(kx2+m)x1x1x2=2k+m(x1+x2)x1x2=2k+-8km24(m2-1)=-2km2-1.由kOA+kOB=-12,可得m2=4k+1,所以k-14.又由0,得16(4k2-m2+1)0,所以4k2-4k0,解得k1,综上,直线l的斜率的取值范围为-14,0(1,+).3.解(1)依题意,设椭圆E的方程为y2a2+x2b2=1(ab0),半焦距为c.因为椭圆E的离心率为223,所以c=223a,b2=a2-c2=a29.因为以线段PF1为直径的圆经过点F2,所以PF2F1F2.所以|PF2|=b2a.因为9PF1PF2=1,所以9|PF2|2=9b4a2=1.由b2=a2
12、9,9b4a2=1,得a2=9,b2=1,所以椭圆E的方程为y29+x2=1.(2)因为直线x=-12与x轴垂直,且由已知得直线l与直线x=-12相交,所以直线l不可能与x轴垂直,所以设直线l的方程为y=kx+m.由y=kx+m,9x2+y2=9,得(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0.因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,所以=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)0,即m2-k2-90.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2kmk2+9.因为线段MN被直线2x+1=0平分,所以2x1+x22+1=0,即-2kmk2+9+1=0.由m2-k2-90,-2kmk2+9
13、+1=0,得k2+92k2-(k2+9)0,所以k2+94k2-13,解得k3或k-3.所以直线l的倾斜角的取值范围为3,22,23.4.解(1)由题意知,|F1F2|=2c=2,A(a2,0),因为AF1=2AF2,所以F2为线段AF1的中点,则a2=3,b2=2,所以椭圆方程为x23+y22=1.(2)当直线DE与x轴垂直时,|DE|=2b2a=43,此时|MN|=2a=23,四边形DMEN的面积S=|DE|MN|2=4.同理当MN与x轴垂直时,也有四边形DMEN的面积S=|DE|MN|2=4.当直线DE,MN与x轴均不垂直时,设直线DE:y=k(x+1)(k0),D(x1,y1),E(x
14、2,y2),代入椭圆方程,消去y可得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2,所以|x1-x2|=43k2+12+3k2,所以|DE|=k2+1|x1-x2|=43(k2+1)2+3k2.同理|MN|=43-1k2+12+3-1k2=431k2+12+3k2,所以四边形DMEN的面积S=|DE|MN|2=1243(k2+1)2+3k2431k2+12+3k2=24k2+1k2+26k2+1k2+13,令u=k2+1k2,则S=4-413+6u.因为u=k2+1k22,当且仅当k=1时,等号成立,此时S=9625,且S是以u为
15、自变量的增函数,则9625S0,即t2-2k20,即0k20,化简得4k2m2-3.设M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-12k23+4k2.OMON=0,4m2-123+4k2+3m2-12k23+4k2=0,7m2-12k2-12=0,又直线l与圆x2+y2=3相切,3=|m|1+k2,m2=3+3k2,21+21k2-12k2-12=0,解得k2=-1,显然不成立,在圆上不存在这样的点P,使OMON成立.4.解(1)因为点P(2,2)在
16、椭圆C上,且PFx轴,所以c=2.设椭圆C的左焦点为E,则|EF|=2c=4,|PF|=2.在RtEFP中,|PE|2=|PF|2+|EF|2=18,所以|PE|=32.所以2a=|PE|+|PF|=42,a=22.b2=a2-c2=4,故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)直线PA,PM,PB的斜率构成等差数列,理由如下,由题意可设直线AB的方程为y=k(x-2),令x=4得y=2k,点M的坐标为(4,2k).联立x28+y24=1,y=k(x-2),得(2k2+1)x2-8k2x+8(k2-1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k22k2+1,x1x2=8(k
17、2-1)2k2+1.设直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,从而k1=y1-2x1-2,k2=y2-2x2-2,k3=2k-24-2=k-22.因为直线AB的方程为y=k(x-2),所以y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),所以k1+k2=y1-2x1-2+y2-2x2-2=y1x1-2+y2x2-2-21x1-2+1x2-2=2k-2x1+x2-4x1x2-2(x1+x2)+4.将代入,得k1+k2=2k-28k22k2+1-48(k2-1)2k2+1-16k22k2+1+4=2k-2.又k3=k-22,所以k1+k2=2k3,故直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.5.解
18、(1)(方法1)由题意知,动圆圆心C到定点F(1,0)的距离与其到定直线x=-1的距离相等.由抛物线的定义,可得动圆圆心C的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其中p=2.所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.(方法2)设动圆圆心C(x,y),由题意知(x-1)2+y2=|x+1|,化简得y2=4x,即动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.(2)存在.假设存在点N(x0,0),满足题设条件.由QNM+PNM=可知,直线PN与QN的斜率互为相反数,即kPN+kQN=0.由题意知直线PQ的斜率必存在且不为0,设直线PQ的方程为x=my-2.联立y2=4x,x=my-2,得y2-
19、4my+8=0.由=(-4m)2-480,得m2或m0,则y1+y2=4m,y1y2=-24,所以x1+x2=(my1+6)+(my2+6)=4m2+12,因为x1x2=y124y224,所以x1x2=36,假设存在N(x0,y0),使得NANB=0,由题意可知y0=y1+y22,所以y0=2m,由点N在抛物线上可知x0=y024,即x0=m2,又NA=(x1-x0,y1-y0),NB=(x2-x0,y2-y0),若NANB=0,则x1x2-x0(x1+x2)+x02+y1y2-y0(y1+y2)+y02=0,将代入上式化简可得3m4+16m2-12=0,即(m2+6)(3m2-2)=0,所以m2=23,故m=63,所以存在直线3x+6y-18=0或3x-6y-18=0,使得NANB.
