1、第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值 学 习 目 标 1借助函数图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大和最小值、图象及与x轴的交点等)2能利用性质解决一些简单问题知识点|正弦函数、余弦函数的单调性和最值阅读教材P37P40，完成下列问题知识梳理正弦函数、余弦函数的单调性和最值正弦函数余弦函数图象值域1,11,1单调性在kZ上递增，在kZ上递减在2k，2kkZ上递增，在2k，2kkZ上递减最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)正
2、弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数()(2)存在xR满足sin x.()(3)在区间0,2上，函数ycosx仅当x0时取得最大值1.()答案：(1)(2)(3)小试身手1在下列区间中，使函数ysin x为增函数的是()A0，BC D，2答案：C2函数y2sin x的最大值及取最大值时x的值为()Aymax3，xBymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ)Dymax3，x2k(kZ)答案：C3函数y32cosx，x的最大值为 答案：5题型一正弦函数、余弦函数单调区间求解【例1】求下列函数的单调区间：(1)ycos2x；(2)y2sin.解(1)函数ycos2x的单调递增区间、单调
3、递减区间分别由下面的不等式确定：2k2x2k，kZ,2k2x2k，kZ.kxk，kZ，kxk，kZ.函数ycos2x的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.(2)y2sin2sin，函数y2sin的单调递增、递减区间分别是函数y2sin的单调递减、递增区间令2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ，即函数y2sin的单调递增区间为，kZ.令2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ，即函数y2sin的单调递减区间为，kZ.方 法 总 结求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)在求形如yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间时，应采用“换
4、元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yAsin z的单调区间而求出原函数的单调区间求形成yAcos(x)(A0，0)的函数的单调区间同上(3)0时，一般用诱导公式转化为0后求解；若A0，则单调性相反.1下列函数，在上是增函数的是()Aysin xBycosxCysin 2x Dycos2x解析：选D因为ysin x与ycosx在上都是减函数，所以排除A，B；因为x，所以2x2.因为ysin 2x在2x，2内不具有单调性，所以排除C故选D.2函数ycosx在区间，a上为增函数，则实数a的取值范围是 解析：因为ycosx在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有a0时满足条件，故
5、a(，0答案：(，03求函数y2sin的单调递增区间解：由y2sin，得y2sin.要求函数y2sin的单调递增区间，只需求出函数y2sin的单调递减区间令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函数的单调递增区间为，kZ.题型二利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)cos与cos；(3)sin(cos)与cos(sin ).解(1)函数ysin x在上单调递减，且，sinsin.(2)coscoscos，coscoscos.函数ycosx在0，上单调递减，且0，coscos，即coscos.(3)0，0sin ，又ycosx在上单调递减，cos(sin )
6、cos.又0cos，sin(cos)cos.故sin(cos)cos(sin )方 法 总 结比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值(2)不同名的函数化为同名函数(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.4比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；(2)sin 194与cos160.解：(1)coscos，coscoscos，0，函数ycosx在(0，)上是减函数，coscos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos160cos(18020)cos20sin 70.0147090，sin 14sin 70.从而sin 14s
7、in 70，即sin 194cos160.题型三正、余弦函数的最值多维探究常见的重要角度有：1形如yasin x(或yacosx型)2形如yAsin(x)b或yAcos(x)b型3形如yAsin2xBsin xC型角度1形如yasin x(或yacosx型)【例3】若yasin xb的最大值为3，最小值为1，则ab .解析由条件知或b2，a1，ab2.或b2，a1，ab2.答案2角度2形如yAsin(x)b或yAcos(x)b型【例4】求函数y34cos，x，的最大、最小值及相应的x值解因为x，所以2x，从而cos1.所以当cos1，即2x0，x时，ymin341.当cos，即2x，x时，ym
8、ax345.综上所述，当x时，ymin1；当x时，ymax5.角度3形如yAsin2xBsin xC型【例5】求ycos2xsin x，x的最值解ycos2xsin x1sin2xsin x2.因为x，所以sin x，所以当x，即sin x时，函数取得最大值ymax；当x，即sin x时，函数取得最小值ymin.方 法 总 结三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如yasin x(或yacosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论(2)形如yAsin(x)b(或yAcos(x)b)型，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)(或cos(x)的范围，最后求得
9、最值(3)形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定1掌握1种求法求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数的单调区间时，若为负数，则要先把化为正数当A0时，把x整体放入ysin x或ycosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入ysin x或ycosx的单调减区间内，可求得函数的减区间当A0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间2把握3种类型与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路(1)求形如yasin xb的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sin
10、x1) 求解(2)对于形如yAsin(x)k(A0)的函数，当定义域为R时，值域为|A|k，|A|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，然后结合函数的单调性确定值域 (3)求形如yasin2xbsin xc，a0，xR的函数的值域或最值时，可能通过换元，令tsin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值自测检评1函数ysin，xR在()A上是增函数B0，上是减函数C，0上是减函数D，上是减函数解析：选Bysincosx，所以在区间，0上是增函数，在0，上是减函数故选B.2函数y2sin x的值域是()A2,2B1,1C0,1 D0,2解析：选C因为0x，所以0si
11、n x，所以02sin x1，即函数的值域是0,1故选C3下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Aycos|x| Bycos|x|Cysin Dysin解析：选Cycos|x|在上是减函数，排除A；ycos|x|cos|x|，排除B；ysinsincosx是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合题意；ysin在(0，)上是单调递减的，排除D.故选C4(2019南关区校级期中)函数f(x)cos(xZ)的值域为()A BC D解析：选B由函数f(x)cos(xZ)，可得T6.当x1时，f(1)cos；当x2时，f(2)cos；当x3时，f(3)cos1；当x4时，f(4)coscos；当x5时，f(5)coscos；当x6时，f(6)cos21.综合可知，函数f(x)cos(xZ)的值域为1，1.故选B.5sin (填“”或“”)sin.解析：sinsinsin，因为0，ysin x在上单调递增，所以sinsin，即sin
