1、第二课时指数函数及其性质的应用(习题课)1指数函数的定义是什么？略2指数函数的定义域和值域分别是什么？略3指数函数yax(a0，a1)图象的位置与底数a之间有什么关系？略4指数函数的单调性与底数之间有什么关系？略利用指数函数的单调性比较大小例1(1)设y140.9，y280.48，y31.5，则()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y3y2 Dy1y2y3(2)比较下列各题中两个值的大小：1.8，2.5；0.5，0.5；0.20.3,0.30.2.解(1)选Cy140.921.8，y280.4821.44，y31.521.5，y2x是增函数，1.81.51.44，y1y3y2，故选C.(2)因
2、为02.5，所以1.80.5.因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图象在函数y0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.31，所以函数y3x在定义域R上单调递增，又因为1.82.5，所以31.832.5.(2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y7x与y8x的图象(图略)，可得70.580.5.(3)因为167，所以指数函数y6x与函数y7x在定义域R上是增函数，且60.81，所以60.870.7.解简单的指数不等式例2(
3、1)已知3x30.5，求实数x的取值范围(2)已知0.2x1，所以指数函数f(x)3x在R上是增函数由3x30.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5，)(2)因为00.21，所以指数函数f(x)0.2x在R上是减函数又因为2520.22，所以0.2x2，即x的取值范围为(2，)类题通法解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解活学活用已知a5xax7(a0，且a1)，求x的取值范围解：当a1时，a5xax7，5xx7，解得x.当0aax
4、7，5x.综上所述，当a1时，x；当0a0，a1)在区间1,2上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为_解析当0a1时，f(x)ax为增函数，最小值为a，最大值为a2.故a22a，解得a2.综上，a或a2.答案或2易错防范1解决上题易忽视对a的讨论，错认为a22a，从而导致得出a2的错误答案2求函数f(x)ax(a0，a1)在闭区间s，t上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类当底数大于1时，指数函数为s，t上的增函数，最小值为as，最大值为at.当底数大于0小于1时，指数函数为s，t上的减函数，最大值为as，最小值为at.活学活用f(x)ax(a0，且a1)在1,2上的最大值与最小值之
5、和为6，则a_.解析：由于f(x)ax(a0，且a1)在1,2上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a2a6，解得a3(舍去)，或a2，所以a2.答案：2随堂即时演练1若2x11，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，) D(，1)解析：选D不等式2x1120，y2x是增函数，x10，即xbc BbcaCcba Dacb解析：选Da60.7601，c0.80.70.70.70.70.8b，且c0.80.7cb.3不等式2x223x的解集是_解析：由2x223x得x23x，即x0.(1)求a的值；(2)判断f(x)在(0，)上的单调性解：(1)f(x)是R上的偶函数，f(1
6、)f(1)，即ae.e，a0，a21.又a0，a1.(2)f(x)exex，取任意x1，x20，且x10，x1ex1且ex1ex21，(ex2ex1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上为增函数课时达标检测一、选择题1函数y的图象大致是()解析：选B当x0时，函数的图象是抛物线的一部分，当x0时，只需把y2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2已知ab，则a，b的大小关系是()A1ab0BabCab D1ba0解析：选B01，yx在R上单调递减，又ab，ab.3若函数f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B(1,8)C(4,8) D4,
7、8)解析：选D由题意得解得4a8.4若定义运算ab则函数f(x)3x3x的值域是()A(0,1 B1，)C(0，) D(，)解析：选A法一：当x0时，3x3x，f(x)3x，f(x)(0,1)；当x0时，f(x)3x3x1；当x0时，3x3x，f(x)3x，f(x)(0,1)综上，f(x)的值域是(0,1法二：作出f(x)3x3x的图象，如图可知值域为(0,15已知实数a，b满足等式ab，给出下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中，不可能成立的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B作yx与yx的图象当ab0时，ab1；当abb0时，也可以使ab.故都可能成立，不可能成
8、立的关系式是.二、填空题6已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_解析：a2a221，y(a2a2)x为R上的增函数x1x，即x.答案：7已知函数f(x)|x1|，则f(x)的单调递增区间是_解析：法一：由指数函数的性质可知f(x)x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y|x1|的单调递减区间又因为y|x1|的单调递减区间为(，1，所以f(x)的单调递增区间为(，1法二：f(x)|x1|可画出f(x)的图象求其单调递增区间答案：(，18若方程xx1a0有正数解，则实数a的取值范围是_解析：令xt，方程有正根，t(0,1)方程转化为t22ta0，a1(t1)2.t(0,1)，a(3,0)答案：(3,0)三、解答题9若函数f(x)ax1(a0，且a1)的定义域和值域都是0,2，求实数a的值解：当a1时，f(x)在0,2上递增，即a.又a1，a.当0a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)；(2)若不等式xxm0在x(，1时恒成立，求实数m的取值范围解：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)bax，得结合a0且a1，解得f(x)32x.(2)要使xxm在(，1上恒成立，只需保证函数yxx在(，1上的最小值不小于m即可函数yxx在(，1上为减函数，当x1时，yxx有最小值.只需m即可m的取值范围为.
