1、21.2 指数函数及其性质第1课时 指数函数的图象及性质基础认知自主学习导思1.什么是指数函数？2如何作出指数函数的图象？3指数函数具有什么性质？1.指数函数函数叫做指数函数，其中自变量是 x，定义域是 R.yax(a0，且a1)(1)为什么指数函数的底数 a0，且 a1?提示：如果 a0，当 x0 时，ax 恒等于 0，没有研究的必要；当 x0 时，ax 无意义如果 a0，且 a1.(2)指数函数的解析式有什么特征？提示：a0，且 a1；ax 的系数为 1；自变量 x 的系数为 1.2指数函数的图象和性质 对于指数函数 y2x，y3x，y12x，y13x，为什么一定过点(0，1)?提示：当
2、x0 时，a01 恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1).1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)yx5 是指数函数()提示：yx5 不是指数函数，指数函数的底数是常数(2)y2ax(a0，且 a1)是指数函数()提示：指数函数的系数为 1.(3)指数函数的图象都在 x 轴的上方()提示：由指数函数的性质可知正确(4)若指数函数 yax 是减函数，则 0a0，且a1，则 a38，a2，所以 f(x)2x.能力形成合作探究类型一 指数函数的概念及应用(数学抽象)1若点(a，27)在函数 y(3)x 的图象上，则 a 的值为()A 6 B1 C2 2 D0【解析】选 A.点(a，27)在函数
3、 y(3)x 的图象上，所以 27(3)a，即 33a23，所以a2 3，解得 a6，所以 a 6.2函数 y(a23a3)ax 是指数函数，则 a 的值为_.【解析】由题意得 a23a31，即(a2)(a1)0，解得 a2 或 a1(舍).答案：23已知指数函数 f(x)的图象过点12，22，则 f(x)_，f(2)2 的值为_【解析】设指数函数 f(x)ax(a0，且 a1)，把点12，22代入可得 2212a，解得 a12，所以 f(x)12x，所以f(2)21222 116.答案：12x 116 判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：底数 a0，且 a1；ax 的
4、系数为 1；自变量 x 的系数为 1；(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如 y 13x 13x是指数函数【补偿训练】函数 f(x)(2a3)ax 是指数函数，则 f(1)()A8 B32C4 D2【解析】选 D.函数 f(x)(2a3)ax 是指数函数，所以 2a31，解得 a2，所以 f(x)2x，所以 f(1)2.类型二 指数函数的图象及应用(直观想象)【典例】已知函数 y3x 的图象，怎样变换得到 y13x12 的图象？并画出相应的图象【思路导引】把函数 y13x12 化为 y3(x1)2，然后观察二者的差别即可得到变换方法【解析】y13x123(x1)2.作函数 y3x 的图象关于
5、 y 轴的对称图象得函数 y3x 的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y3(x1)的图象，最后再向上平移 2 个单位长度就得到函数 y3(x1)213x12 的图象，如图所示 处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为 0，求出对应的 y 的值，即可得函数图象所过的定点(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性1函数 y2|x|的图象是()2函数 f(x)axb 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1
6、，b0【解析】1.选 B.y2|x|2x，x0，12x，x0.2选 D.从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0a1；从曲线位置看，是由函数 yax(0a0，即b54 411 13，所以 a 411，b13，c 3，d54.【补偿训练】已知函数 g(x)3xt 的图象不经过第二象限，则 t 的取值范围为()At1 Bt1Ct3 Dt3【解析】选 A.由指数函数的性质知，函数 g(x)3xt 恒过点(0，1t)，函数 g(x)是增函数，图象不经过第二象限，所以 1t0，解得 t1.类型三 指数函数的定义域、值域定点问题(数学运算)角度 1 与指数函数相关的定义域问题【典例】函
7、数 y2x8 的定义域为_.【思路导引】利用被开方数大于等于 0，列式求范围【解析】依题意得，2x80，所以 2x823，又 y2x 为增函数，所以 x3.所以函数 y2x8 的定义域为x|x3答案：3，)角度 2 简单的值域问题【典例】函数 y3x(2x1)的值域是()A3，9 B13，9C13，3D19，13【思路导引】先确定函数的单调性，再结合图象求最值【解析】选 B.函数 y3x13x在2，1上递减，故 ymax3(2)9，ymin3113.将本题的函数变为 y152x(0 x2)，试求函数的值域【解析】因为 0 x2，所以 12x4，所以42x1，所以 152x4，所以14 0，a1
8、)在1，1上的最大值与最小值之差是32，则 a_.【解析】函数 f(x)ax 在1，1上单调，因为函数 f(x)ax 在1，1上的最大值与最小值之差是32，所以a1a32，解得，a2 或 a12.答案：2 或122求函数 y232x1的定义域【解析】令2x10，解得 x12，所以函数的定义域为，12.学情诊断课堂测评1下列函数中，指数函数的个数为()y12x1；yax(a0，且 a1)；y1x；y122x1.A0 B1 C3 D4【解析】选 B.由指数函数的定义可判定，只有是指数函数2当 x2，2)时，y3x1 的值域是()A89，8B89，8C19，9D19，9【解析】选 A.y3x1 在 x2，2)上是减函数，所以 321y321，即890，且 a1)的图象恒过定点_【解析】令 x10，得 x1，f(1)2113，所以 f(x)的图象恒过定点(1，3).答案：(1，3)5(教材练习改编)函数 f(x)ax1(a0，且 a1)的定义域是(，0，求实数 a的取值范围【解析】由题意知，当 x0 时，ax1，所以 0a1，故实数 a 的取值范围是 0a1.
