1、3.3综合拔高练五年高考练考点一抛物线的定义及标准方程1.(2020全国,4,5分,)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.92.(2020全国,7,5分,)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)3.(2020北京,7,4分,)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线
2、OP考点二直线与抛物线的位置关系4.(2017课标全国,10,5分,)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.105.(2020新高考,13,5分,)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.6.(2019课标全国,19,12分,)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.7.(20
3、18课标全国,20,12分,)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.8.(2020浙江,21,15分,)如图,已知椭圆C1:x22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A).(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.三年模拟练应用实践1.(2020江西吉安高二期末,)直线l过抛物线x2=-2py(p0)的
4、焦点F,交抛物线于M,N两点,且满足1FM+1FN=2,若MF=2FN,则MN=() A.18B.94C.22+2D.62.()已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两个点,若PQF是边长为2的正三角形,则p的值是()A.3-1B.31C.23D.2+33.(2020湖北荆州高二期末,)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点M(2,y0)在抛物线C上,圆M与直线l相切于点E,且EMF=3,则圆M的半径为()A.23B.43C.83D.1634.(多选)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与
5、E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的投影,且AF=3BF,M为AB中点,则下列结论正确的是()A.CFD=90B.CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为3D.AOB的面积为45.(2020山东济宁高三期中,)已知抛物线y2=2px(p0)在第一象限内的一点A(3,b)到抛物线焦点F的距离为4,若P为抛物线准线上任意一点,则当PAF的周长最小时,点P到直线AF的距离为.6.(2021江苏泰州姜堰第二中学高二上期中,)早在一千多年之前,我国已经把溢流孔技术用于造桥,以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击,现设桥拱上有四个溢流孔,桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分,且四个溢流孔轮廓线相同,如
6、图所示,建立平面直角坐标系xOy,根据图上尺寸, 溢流孔ABC所在抛物线的方程为, 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 .7.()设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,点M满足OM=12(OA+OB),过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若PF=2,则点P的横坐标为,AB=.8.(2020福建福州高二上期末质量检测,)在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),D为直线l:x=-1上的动点,过D作l的垂线,该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M,记M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若过点F的直线与曲线C交于P,Q两点,直线OP,OQ与直线x=1分别交于A,
7、B两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点.若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.迁移创新9. (2020山东潍坊高二上期末,)给出下列条件:焦点在x轴上;焦点在y轴上;抛物线上横坐标为1的点M到其焦点F的距离等于2;抛物线的准线方程是x=-2.(1)对于顶点在原点O的抛物线C,从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线C的方程是y2=4x,并说明理由;(2)过点(4,0)的任意一条直线l与C:y2=4x交于A,B两点,试探究是否总有OAOB,请说明理由.3.3综合拔高练五年高考练1.C设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0),由抛物线定义得AF=x0+p2,点A到y轴的距离为9,x0=9
8、,9+p2=12,p=6.故选C.2.B由抛物线的对称性,不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由x=2,y2=2px得D(2,2p),E(2,-2p),ODOE,ODOE=4-4p=0,p=1,C的焦点坐标为12,0,故选B.3.B解法一:不妨设抛物线的方程为y2=2px(p0),P(x0,y0),则Q-p2,y0,Fp2,0,直线FQ的斜率为-y0p,从而线段FQ的垂直平分线的斜率为py0,又线段FQ的中点为0,y02,所以线段FQ的垂直平分线的方程为y-y02=py0(x-0),即2px-2y0y+y02=0,将点P的横坐标代入,得2px0-2y0y+y02=0,又2px0=y02,所以y=
9、2px0y0=y0,所以点P在线段FQ的垂直平分线上,故选B.解法二:由已知及抛物线的定义得PQ=PF,所以PQF是等腰三角形,所以底边FQ的垂直平分线经过顶点P,故选B.4.A如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得|AG|AF|=|AF|-p|AF|=cos ,则|AF|=p1-cos,同理,|BF|=p1+cos,则|AB|=|AF|+|BF|=2psin2,即|AB|=4sin2,因为l1与l2垂直,所以直线DE的倾斜角为+2或-2,则|DE|=4cos2,则|AB|+|DE|
10、=4sin2+4cos2=4sin2cos2=412sin22=16sin22,则|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径:如图,在抛物线y2=2px(p0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为,则在FEA中,cos =cosEAF=AEAF=AF-pAF,则可得到焦半径AF=p1-cos,同理,BF=p1+cos,熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中有关定值问题,如:1AF+1BF=2p等有很大帮助.5.答案163解析解法一:在抛物线y2=4x中,2p=4,斜率为3的直线的倾斜角=3,过焦点的弦长AB=2psin2=4
11、sin23=434=163.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知可得抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过点F且斜率k=3的直线方程为y=3(x-1),联立y2=4x,y=3(x-1),消去y得3x2-10x+3=0,x1+x2=103,x1x2=1,AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+31009-4=163.6.解析设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t
12、-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.7.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),
13、N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先
14、寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线方程联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.8.解析(1)由p=116得C2的焦点坐标是
15、132,0.(2)由题意可设直线l:x=my+t(m0,t0),点A(x0,y0).将直线l的方程代入椭圆C1:x22+y2=1得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点M的纵坐标yM=-mtm2+2,将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM=-2pt,解得y0=2p(m2+2)m,因此x0=2p(m2+2)2m2.由x022+y02=1得1p2=4m+2m2+2m+2m4160,所以当m=2,t=105时,p取到最大值1040.三年模拟练1.B因为MF=2FN,所以FM=2FN,又因为1FM+1FN=2,所以FM=32,FN=34,因此MN
16、=FM+FN=94.2.C根据题意可得Fp2,0,设Py122p,y1,Qy222p,y2(y1y2),由题意可得PF=QF,又PF=xP+p2=y122p+p2,QF=xQ+p2=y222p+p2,y122p+p2=y222p+p2,则y12=y22,又y1y2,y1=-y2,PQ=2=2|y1|,|y1|=1,所以PF=12p+p2=2,解得p=23,故选C.3.C不妨设点M在第一象限,如图,由抛物线的定义知圆M一定过焦点F,过焦点F作FNME,垂足为N,在RtMNF中,MN=2-p2,又因为NMF=3,所以NF=MNtan 3=32-p2,所以y0=32-p2,因此32-p22=2p2,
17、整理得3p2-40p+48=0,解得p=43或p=12,当p=12时,p2=62,不合题意,舍去,故p=43,因此圆M的半径为2+p2=2+23=83.4.AC由y2=4x,得2p=4,即p=2,焦点F(1,0),准线l:x=-1.设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4,从而x1+x2=4m2+2,x1x2=1.又AF=3BF,x1+p2=3x2+p2,即x1=3x2+2.因此x2=m2,且3x22+2x2-1=0x2=13或x2=-1(舍去).m2=13,m=33,即直线AB的
18、斜率为3,C正确;选项A中,C(-1,y1),D(-1,y2),FCFD=4+y1y2=4-4=0,从而CFD=90,A正确;选项B中,M(2m2+1,2m),CMDM=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=169,结合图形(图略)知CMD不是直角三角形,B错误;选项D中,SAOB=12OF|y1-y2|=1216m2+16=433,D错误.故选AC.5.答案433解析由题意得3+p2=4,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x,从而A(3,23).PAF的周长最小即PA+PF的值最小,设F关于准线的对称点为F1,则F1(-3,0),连接AF1,则AF1与准线的
19、交点即为使PA+PF的值最小的点P,此时可求得P-1,233.又因为kAF=23-03-1=3,所以直线AF的方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0,故点P到直线AF的距离d=-3-233-3(3)2+1=433.6.答案(x-14)2=-365y;14013解析设桥拱所在抛物线的方程为x2=-2py(p0),把点(20,-5)代入抛物线方程,得202=-2p(-5),解得p=40,所以桥拱所在抛物线方程为x2=-80y,设从右往左的第一个溢流孔所在的抛物线的方程为C1:(x-14)2=-2py(p0),由题图知抛物线C1经过点(20,-5),则(20-14)2=-2p(-5),解得p
20、=185,所以C1:(x-14)2=-365y,由题图知点A即桥拱所在抛物线x2=-80y与抛物线C1:(x-14)2=-365y的交点,设A(x,y),7x14,由x2=-80y,(x-14)2=-365y,7x0,则y1+y2=4m,y1y2=-4.直线OP的方程为y=y1x1x=4y1x,同理,直线OQ的方程为y=4y2x,令x=1,得A1,4y1,B1,4y2,设线段AB的中点T的坐标为(xT,yT),则xT=1,yT=4y1+4y22=2(y1+y2)y1y2=-2m,所以T(1,-2m).因为AB=4y1-4y2=|4(y2-y1)|y1y2|=4(y1+y2)2-4y1y24=1
21、6m2+16=4m2+1,所以以AB为直径的圆的半径r=2m2+1.所以以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+2m)2=4m2+4,即(x-1)2+y2+4my=4,令y=0,可得(x-1)2=4,解得x=3或x=-1.所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).解法二:当直线PQ不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-1)(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以=(2k2+4)2-4k4=16k2+160,x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x
22、1x2-(x1+x2)+1=-4,x2y1+x1y2=kx2(x1-1)+kx1(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)=-4k,直线OP的方程为y=y1x1x,直线OQ的方程为y=y2x2x.令x=1,得A1,y1x1,B1,y2x2,所以以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+y-y1x1y-y2x2=0,即(x-1)2+y2-x2y1+x1y2x1x2y+y1y2x1x2=0,即(x-1)2+y2+4ky-4=0,令y=0,可得(x-1)2=4,解得x=3或x=-1.所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).当直线PQ与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),以AB为直径的
23、圆的方程为(x-1)2+y2=4,也经过点(-1,0)和(3,0).综上,以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).解法三:假设以AB为直径的圆经过定点,由抛物线关于x轴对称可知该定点必在x轴上,设定点为N(n,0),则ANBN=0,设直线PQ的方程为x=m1y+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y2=4x,x=m1y+1,整理得y2-4m1y-4=0,其中=16m12+160,则y1+y2=4m1,y1y2=-4.直线OP的方程为y=y1x1x=4y1x,同理,直线OQ的方程为y=4y2x,令x=1,得A1,4y1,B1,4y2,则由ANBN=0,可得(n-1)2+16y1
24、y2=0,即(n-1)2-4=0,解得n=3或n=-1,所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).9.解析(1)选择.理由如下:因为抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)在x轴上,所以条件符合,条件不符合.又因为抛物线C:y2=4x的准线方程为x=-1,所以条件不符合题意.当选择条件时,设M(xM,yM),则MF=xM+1=1+1=2,此时符合题意.故选择条件时,可使抛物线C的方程是y2=4x.(2)由题意得直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+4,由y2=4x,x=ty+4,得y2-4ty-16=0.因为直线与抛物线交于不同两点,所以0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-16,所以x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2y1y2+4t(y1+y2)+16=-16t2+16t2+16=16,所以OAOB=x1x2+y1y2=16-16=0,所以OAOB.综上所述,无论l如何变化,总有OAOB.
