1、3.13.2综合拔高练五年高考练考点一椭圆的标准方程及几何性质1. (2018课标全国,12,5分,)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.142.(2019课标全国,10,5分,)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1考点二双曲线
2、的标准方程及几何性质3.(多选)(2020新高考,9,5分,)已知曲线C:mx2+ny2=1.()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线4.(2020全国,11,5分,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.85.(2020全国,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.26.(2
3、019课标全国,11,5分,)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.57.(2020江苏,6,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y25=1(a0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是.8.(2019江苏,7,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.考点三直线与椭圆、双曲线的位置关系9.(2018天津,7,5分,)已知双曲线x2a2-y2b2=
4、1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=110.(2020江苏,18,16分,)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.(1)求AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OPQP的最小值;(3)设点M在椭圆E上,
5、记OAB与MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标.11.(2020新高考,22,12分,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且过点A(2,1).(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.12.(2020全国,20,12分,)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AGGB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.13.(2020北京,20,15分,)已知椭圆C:
6、x2a2+y2b2=1过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q.求|PB|BQ|的值.三年模拟练应用实践1.(2020江苏淮安淮阴中学高二上学期期末,)过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于P,F2为其右焦点,若F1F2P=30,则椭圆的离心率为() A.22B.13C.12D.332.(2021天津滨海新区塘沽一中高二上学期期中,)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),且a=2c,方程ax2+bx-c=0的两个实数根为x1,x2
7、,则点P(x1,x2)()A.在圆x2+y2=2上B.在圆x2+y2=2外C.在圆x2+y2=2内D.以上都有可能3.()如图,从双曲线x23-y25=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则MO-MT=()A.5-3B.3C.5D.5+34.(2021江苏南京五校高二上学期10月联合调研,)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的光线的反向延长线经过另一个焦点.如图1,一个光学装置由有相同焦点F1,F2的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点F1发出,依次经过与反射
8、,又回到了点F1,历时t1秒;若将装置中的去掉,如图2,此光线从点F1发出,经两次反射后又回到了点F1,历时t2秒.若t2=6t1,则与的离心率之比为()A.12B.12C.23D.345.(2021江苏徐州第一中学高二上学期期中,)椭圆x2m2+y24=1与双曲线x2a2-y24=1在第一象限的交点为T,F1,F2为公共的左、右焦点,且TF1b0)的离心率e=32,A、B分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上一点,直线PA、PB的倾斜角分别为、,满足tan +tan =1,则直线PA的斜率为.7.(2020江苏苏州高二上学期期末,)已知一族双曲线En:x2-y2=1n2+n(nN*,且n2 0
9、20),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,由An向En的两条渐近线作垂线,垂足分别为Bn,Cn.记AnBnCn的面积为f(n),则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=.8.(2021江苏南通启东中学高二上学期期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为2+1.过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,且不与原点重合.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若y轴上的一点Q满足QA=QB,求证:线段QM的中点在定直线上;(3)求PAPB的取值范围.迁移创新9.(2021江苏镇江高二上学期期中,)
10、古希腊数学家阿波罗尼斯在圆锥曲线论中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合),已知两个圆锥的底面直径均为4,侧面积均为25.记过两个圆锥轴的截面为平面,平面与两个圆锥侧面的交线为AC,BD.已知平面平行于平面,平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分,且C的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线C的离心率为.3.13.2综合拔高练五年高考练1.D由题意易知直线AP的方程为y=36(x+a),直线PF2的方程为y=3(x-c).联立得y=35(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=35(a+c).因为PF2H=60,PF
11、2=F1F2=2c,PH=35(a+c),所以sin 60=PHPF2=35(a+c)2c=32,即a+c=5c,即a=4c,所以e=ca=14.故选D.解题关键通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.2.B设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦
12、定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8xcosBF2F1,由得x=32,所以2a=4x=23,a=3,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆的方程为x23+y22=1.故选B.解题模板由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,故可得椭圆的方程.3.ACDA选项中,若mn0,则方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21n=1,因为mn0,所以01m0,则方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=1n,所以此曲线表示圆,半径为1n,所以B不正确.C选项中,若mn0,则方程mx2
13、+ny2=1可化为y2=1n(xR),即y=1n,表示两条直线,所以D正确.故选ACD.4.A设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则|r1-r2|=2a,r12+r22-2r1r2=4a2.F1PF2P,r12+r22=4c2,4c2-2r1r2=4a2,r1r2=2b2.SPF1F2=12r1r2=122b2=b2=4,e=1+b2a2=1+4a2=5,解得a2=1,即a=1.故选A.5.B由题易知a=1,b=3,c=2,又|OP|=2,PF1F2为直角三角形,易知|PF1|-|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
14、=4c2=16,|PF1|PF2|=16-42=6,SPF1F2=12|PF1|PF2|=3,故选B.6.A如图,|PQ|=|OF|=c,PQ过点c2,0,Pc2,c2.又|OP|=a,a2=c22+c22=c22,ca2=2,e=ca=2.故选A.解题关键由|PQ|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P c2,c2是解答本题的关键.7.答案32解析双曲线x2a2-y25=1(a0)的渐近线方程为y=5ax,5a=52,a=2,离心率e=1+b2a2=1+54=32.8.答案y=2x解析由双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),得9-16b2=1,解得b=2,又b
15、0,所以b=2,易知双曲线的焦点在x轴上,故双曲线的渐近线方程为y=bax=2x.9.C双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,e2=1+b2a2=4,b2a2=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),b2a2=3,渐近线方程为y=3x,设点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1,d2,则d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又d1+d2=6,23-32a+23+32a=6,解得a=3,b2=9.双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.方法归纳求双曲线标准方程的方法:(1)定义
16、法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.10.解析(1)设椭圆E:x24+y23=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=4,b2=3,c2=1.所以AF1F2的周长为2a+2c=6.(2)椭圆E的右准线为x=4.设P(x,0),Q(4,y),则OP=(x,0),QP=(x-4,-y),OPQP=x(x-4)=(x-2)2-4-4,在x=2时取等号.所以OPQP的最小值为-4.(3)因为椭圆E:x24+y23
17、=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,则F1(-1,0),F2(1,0),A1,32,所以直线AB:3x-4y+3=0.设M(x,y),因为S2=3S1,所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍.由此得|3x-4y+3|5=3|30-40+3|5,则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0.由3x-4y+12=0,x24+y23=1,得7x2+24x+32=0,此方程无解;由3x-4y-6=0,x24+y23=1,得7x2-12x-4=0,所以x=2或x=-27.代入直线l:3x-4y-6=0,对应分别得y=0或y=-127.因此点M的坐
18、标为(2,0)或-27,-127.11.解析(1)由题设得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为x26+y23=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.由AMAN知AMAN=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.将代入上式可得(k2+1)2m2-
19、61+2k2-(km-k-2)4km1+2k2+(m-1)2+4=0,整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-10,故2k+3m+1=0,k1.于是MN的方程为y=kx-23-13(k1).所以直线MN过点P23,-13.若直线MN与x轴垂直,则N(x1,-y1).由AMAN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又x126+y123=1,可得3x12-8x1+4=0.解得x1=2(舍去)或x1=23.此时直线MN过点P23,-13.令Q为AP的中点,即Q43,13.若D与P不重合,则由题设知AP是RtADP的斜边,故
20、|DQ|=12|AP|=223.若D与P重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.12.解析(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AGGB=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为x29+y2=1.(2)证明:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3n0,解得-12k0,解得-12k0,解得m24,且y1+y2=8mm2+4,y1y2=8m2+4,此时lMA:y+1=y1+1x1+2(x+2),令x=-4,得yP=-2(y1+1)
21、x1+2-1,同理可得yQ=-2(y2+1)x2+2-1,则yP+yQ=-2(y1+1)x1+2+-2(y2+1)x2+2-2=-2y1+1x1+2+y2+1x2+2+1=-2(y1+1)(x2+2)+(y2+1)(x1+2)+(x1+2)(x2+2)(x1+2)(x2+2),因为(y1+1)(x2+2)+(y2+1)(x1+2)+(x1+2)(x2+2)=(y1+1)(my2-2)+(y2+1)(my1-2)+(my1-2)(my2-2)=m(m+2)y1y2-(m+2)(y1+y2)=m(m+2)8m2+4-(m+2)8mm2+4=0,所以yP+yQ=0,所以|PB|=|BQ|,所以|PB
22、|BQ|=1.综上,|PB|BQ|=1.三年模拟练1.D把x=-c代入椭圆方程,解得P的坐标为-c,b2a或-c,-b2a,F1F2P=30,tan 30= b2a2c = 33,即2ac=3b2=3(a2-c2),3e2+2e-3=0,e=33或e=-3(舍去).故选D.2.C因为方程ax2+bx-c=0的两个实数根为x1,x2,所以x1+x2=-ba,x1x2=-ca,又椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),且a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,因此x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+2ca=3c24c2+1=742,所以点P(x1,x2)在圆
23、x2+y2=2内.故选C.3.A如图.设双曲线的右焦点为F,连接PF,则PF-PF=2a=23.在RtOT F中,FO=c=22,OT=a=3,FT=b=5,M为FP的中点,O为FF的中点,MO为FFP的中位线,MF-MO=a=3,即MT+5-MO=3,MO-MT=5-3.故选A.4.C设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,在题图1中,由椭圆定义可得BF1+BF2=2a1,由双曲线定义可得AF2-AF1=2a2,-得AF1+AB+BF1=2a1-2a2,ABF1的周长为2a1-2a2.在题图2中,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆两次反射后经过椭圆的另一个焦点,即直线CD过F2,CDF
24、1的周长为4a1,又两次时间分别为t1,t2,且t2=6t1,且光线速度相同,t1t2=2a1-2a24a1=16,a1a2=32,椭圆与双曲线的焦点相同,c1=c2,e1e2 = c1a1c2a2 = a2a1 = 23.故选C.5.D由题意可得m2-4=a2+4,所以m2=a2+8,由椭圆及双曲线的定义可得TF1+TF2=2|m|,TF1-TF2=2|a|,所以TF1=|a|+|m|=|a|+a2+84,即a2+84-|a|,解得0|a|1,则e12+e22=m2-4m2+a2+4a2=2+41a2-1m2=2+4m2-a2m2a2=2+32m2a2=2+32(a2+8)a2,因为0|a|1,所以0a20,即k232,所以x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2x1x2-2=32k23(2k2+1)-2=2(10k2-3)3(2k2+1),令=2(10k2-3)3(2k2+1),则k2=3+620-6,由k232,得2103,即2+1103,解得130,b0),由圆锥的底面直径均为4可得底面半径r=2,侧面积均为25可得OA=5,AM=2,则OM=1,则tanAOM=2,即ba=2,所以e=a2+b2a2=1+b2a2=5.
