1、4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及简单表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解等比数列的概念(重点).2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点).1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，按这样的规律
2、放满64格棋盘格国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？1等比数列的概念文字语言一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)符号语言q(q为常数，q0，nN*)2.等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列(2)结论：G叫做a，b的等比中项(3)满足的关系式：G2ab.思考：当G2ab时，G一定是a，b的等比中项吗？提示不一定，如数列0，0，5就不是等比数列3等比数列的通项
3、公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为anqn，而yqx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数yqx的图象上的孤立点1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()提示(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；
4、(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项答案(1)(2)(3)(4)2下列数列是等比数列的是()A3，9，15，21，27B1，1.1，1.21，1.331，1.464C，D4，8，16，32，64DA、B、C均不满足定义中q，只有D满足2.故选D.32和2的等比中项是()A1 B1C1D2C设2和2的等比中项为a，则a2(2)(2)1.即a1.4已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2()A4 B6 C8 D10Ba1，a3，a4成等
5、比数列a1a4a，即a1(a16)(a14)2，解得a18，a2a1d826.故选B.5已知数列an中，a12，an12an，则a3_.8由an12an知an为等比数列，q2.又a12，a32228.等比数列通项公式的基本运算【例1】在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.解设首项为a1，公比为q.(1)法一：因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.法二：因为a7a4q3，所以q34，q.所以ana4qn42()n42.(2)法一：因为由得q，从而a132，又an1，321.即26n20，所以n6.法二：因
6、为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，知a132.由ana1qn11，知n6.1等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算跟进训练1在等比数列an中，(1)已知an128，a14，q2，求n；(2)已知an625，n4，q5，求a1；(
7、3)已知a12，a38，求公比q和通项公式解(1)ana1qn1128，a14，q2，42n1128，2n132，n15，n6.(2)ana1qn1625，n4，q5，a15.(3)a3a1q2，即82q2，q24，q2.当q2时，ana1qn122n12n，当q2时，ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比q为2或2，对应的通项公式为an2n或an(1)n12n.等比中项及应用【例2】已知在等比数列an中，a1a2a3168，a2a542.求a5，a7的等比中项思路探究根据已知条件列出方程组求解出a1，q，再分别求出a5，a7，最后按照等比中项的概念求出等比中项解设该等比数列
8、的公比为q，1q3(1q)(1qq2)，得q(1q)q，a196.设G是a5，a7的等比中项，则应有G2a5a7a1q4a1q6aq109629，a5，a7的等比中项是3.等比中项应用的三点注意(1)由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0).跟进训练2已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项证明因为b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a
9、2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项.等比数列的判断与证明探究问题1若数列an是等比数列，易知有q(q为常数，且q0)或aanan2(an0，nN*)成立反之，能说明数列an是等比数列吗？提示能若数列an满足q(q为常数，q0)或aanan2(an0，nN*)都能说明an是等比数列2若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为ana1qn1(a，q为非零常数，nN*)反之，能说明数列an是等比数列吗？
10、提示能根据等比数列的定义可知【例3】已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列解anSnSn12na2n1a2n1(n2)当n2时，2；当n1时，.故当a1时，数列an成等比数列，其首项为1，公比为2；当a1时，数列an不是等比数列1(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a12，an14an3n1，(nN*)”(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求出an的通项公式解(1)证明：由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.因为a1110，所以ann0，所以4，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2)由(1)，可知ann4n1，于是数列an
11、的通项公式为an4n1n.2(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列证明Sn2an，Sn12an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，an是等比数列1有关等比数列的判断证明方法定义法q(q为常数且不为零，nN*)an为等比数列中项公式法aanan2(nN*且an0)an为等比数列通项公式法ana1qn1(a10且q0)an为等比数列2因为等比数列中任一项均不为0，所以由G2ab知，ab0，即同号的两个数(不为0)才有等比中项，且等比中项是互为相反数的两个值如1与1的等比中项为1.3
12、由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：(1)当a10，q1或a10，0q1时，等比数列an为递增数列；(2)当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an为递减数列；(3)当q1时，数列an是常数列；(4)当q0时，数列an是摆动数列1等比中项与等差中项的区别(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个2已知an是等比数列(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(2)若an，bn是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列1根据下
13、列通项公式能判断数列为等比数列的是()AannBanCan2nDanlog2nC只有C具备ancqn的形式，故应选C.2等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于()A24B0C12D24A由x，3x3，6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，故选A.3在等比数列an中，已知a10，8a2a50，则数列an为_数列(填“递增”或“递减”)递增由8a2a50，可知q38，解得q2.又a10，所以数列an为递增数列4在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an_.4n1由题意知a14a116a121，解得a11，所以通项公式an4n1.5已知an为等比数列，且a58，a72，该数列的各项都为正数，求an.解由a5a7知等比数列an的公比q1，设其通项公式为ancqn.由已知得解得q2，an0，an256.
