1、是结点，也是拐点谈简化高考解析几何题运算的技巧山东省无棣县第一高级中学 张雪松 251900直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是学生学习、复习、高考中的难点，究其源大多不在思维的起始，却在思维的落实之中，由于运算量大、计算繁难、数据处理技巧性强，学生往往半途而废.而新课程考试大纲关于“数据处理能力”和“运算求解能力”的要求在高考中最好的依托便是运算层面高于思维层面的解析几何问题，正是“入之愈深，其进愈难，而其见愈奇”，是结点，也是拐点！技巧一：常规性程序巧变化例1.（2012年高考重庆理科第20题）如图所示，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为
2、的直角三角形.（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.难度系数：0.6分析：（）利用待定系数法结合图形特征可求得椭圆方程；（）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用设而不求的思路，依据垂直关系求得方程的参数.由于直线过点，可设直线方程为点斜式，为避免讨论斜率的存在与否，可另巧设直线方程，从而简化运算！解：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为因为B1AB2直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故B1AB2为直角，因此|0A|=|OB2|,得结合得在RtB1AB2中，OAB1B2,故因此所求椭圆的标准方程为（）由（1）知B1(-2,0)，B2(2,0).由题意知
3、直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得设又由PB2QB2，得所以满足条件的直线有两条，其方程分别为和.小结：本题考查椭圆的性质、直线与椭圆的相交位置关系.多数情况下，圆锥曲线的解题程序化设（点、直线或曲线方程）、联立、消元、判别式及韦达定理.在这常规化的程序中也恰恰孕育着灵动的技巧，如在设直线方程时，当直线可能垂直于轴时，直线方程应该分斜率是否存在两种情形进行讨论，但应用例1中的技巧可以回避这个易错点，因为斜率不存在时，m=0.此外用纵坐标转化已知条件更值得深省，移步换景才会柳暗花明.当然这种设法也有不适合的情形，即当直线垂直于轴时，斜率为0，而m的值不存在，在审题时要注意洞察
4、这一特殊情形.技巧二：典型性问题模式化例2（2013年高考新课标卷理科第20题）平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.()求的方程；()为上两点,若四边形ACBD的对角线,求四边形ACBD面积的最大值.难度系数：0.44分析：()为弦的中点，则其坐标与弦所在直线的斜率以及端点坐标之间有着密切关系.若曲线所对应的弦与中点有关系，我们常把弦的两端点的坐标代入到曲线方程中去然后把所得两方程相减，整理得到一个既有直线斜率又有弦的中点坐标的式子，这种方法一般称之为“点差法”；（）表示四边形ACBD面积的关键是表示出边CD的长度，此处可利用弦长公式处理.解：（）设则两式相减得
5、即又由题意知，椭圆的右焦点为故所以椭圆的方程为（）由得由题意可设直线CD的方程为设由得因为直线CD的斜率为1，由已知，四边形ACBD的面积当n=0时，S取得最大值，最大值为所以四边形ACBD的面积的最大值为小结：本题考查了圆锥曲线的中点弦问题，“弦”是考查直线与圆锥曲线位置关系的典型应用情境，因此，对于圆锥曲线中的有关特征弦（如原点弦、焦点弦、中点弦、定点弦等），借助其与曲线方程、图形及性质的特殊联系，采取模式化处理策略可简化运算.如本例若采用常规方法求解，运算量大且易错，恰当运用“点差法”设而不求的技巧，可实现数量间合理的转化、及相应知识的合理转移，使未知转化为已知，运算更加简捷，但在利用此
6、方法求中点弦所在的直线方程时要注意判断直线是否存在，一般地，若中点在圆锥曲线的内部，则满足条件的直线必定存在；若中点在圆锥曲线上，则直线必定不存在；若中点在圆锥曲线（除双曲线外）外部，则直线必定不存在.技巧三：探索性问题特殊化例3（2012年高考福建理科第19题）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8. （）求椭圆E的方程.（）设动直线：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.难度系数：0.35
7、分析：()根据焦点三角形的特殊性，依据椭圆定义可求得方程；（）求解的常规思路是：联立方程，依据“有且只有一个公共点”，利用判别式得出k、m的关系；依据“以PQ为直径的圆恒过点M”，构造利用垂直关系，联立求得k、m的解，从而求得定点.其实更可通过取特殊值，首先探寻出定点是什么，然后再证明其满足一般情形，从而简化运算！解：（）因为即又故椭圆E的方程是（）解法一：由得因为动直线与椭圆E有且只有一个公共点即化简得 此时由得假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在轴上.设则对满足式的m,k恒成立，得整理，得 由于式对满足式的的m,k恒成立，所以故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒
8、过点M.解法二：由得因为动直线与椭圆E有且只有一个公共点即化简得此时由得假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在轴上.取则以PQ为直径的圆为交轴于点；取则以PQ为直径的圆为交轴于点所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为（1，0）.以下证明M(1,0)就是满足条件的点：故恒有即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.小结：本题考查了圆锥曲线的定元素的存在性问题，解析几何中的定元素主要是指定直线、定点、定曲线，解决有关定元素问题时常用特殊探索法：先从一般中考虑特殊（如特殊值、特殊位置、特殊图形等），从而得到定元素，再转化为证明这个元素满足一般性.这一技巧应用的关键在于“
9、何处搞特殊、如何搞特殊”，本文把两种解法加以对比，希望同学们认真体会.技巧四：代数方法精准化例4（2013年高考浙江理科第21题）如图,点是椭圆xOyBPDl1l2A的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于A，B两点,交椭圆于另一点.()求椭圆的方程；()求面积取最大值时直线的方程. 难度系数：0.37分析：() 的面积可利用两直线的垂直关系表示，其中一条线段是圆的弦，其弦长可根据圆中的垂直性质求得；另一条是椭圆的弦，其弦长可利用弦长公式或两点间距离公式求得.而求取值范围（或最值）不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个参数的函数式（或方程）；其二是构造关于所求量的
10、一个不等关系式.解:()由已知得,且,所以椭圆的方程是； ()由题意知直线的斜率存在，不妨设其为k，又过点,所以直线：又,所以直线,因为圆心到直线的距离为,；由,., 当且仅当时等号成立,所以所求直线的方程为小结：本题考查了直线与椭圆的相交位置关系中的最值问题.解析几何的本质是“用代数方法研究几何问题”，所以在将几何条件代数化后，计算量的大小就取决于解题者转化为什么类型的代数问题.本题的难点即在于如何求最值？若用求导的方法则运算量过大，而采用基本不等式则思维量较大，不过却是明智之选.总之，高考数学命题将“多考点想，少考点算”作为一条基本的命题理念，在近年的高考试题中已得到了充分的体现.所以，尽管计算是解析几何的重要考查方向，但是通过准确的思维定位从而简化计算将是新课程高考的发展方向.
