1、(2015 广东，15，中)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB4，CE2，则AD_.【解析】方法一：如图，连接OC，C为切点，在OCE中，OCr2，CE2，OE4，sin CEO，CEO30.在RtAED中，AEDCEO30，ADAE(AOOE)3.方法二：如图，连接OC.OCCD.又ADCD，OCAD，OCEADE.依题得，CE2BEAE，CE2BE(ABBE)又CE2，AB4，BE2.又OCEADE，AD3.【答案】31(2014天津，7，易)如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，
2、过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A B C D【答案】D由题意知FBDBAD，DBCDAC，BADDAC，FBDDBC，故正确；由切割线定理知正确；易证ACEBDE.，不正确；在ABF和BDF中，FBDBAD，BFDBFA，ABFBDF，AFBDABBF，正确故选D.2(2014陕西，15B，易)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_.【解析】由已知得AEFBEF180，BEFBCF180，所以AEFBCF；
3、同理，可证AFEABC.所以AEFACB，所以EFBC63.【答案】33(2013广东，15，易)如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.【解析】在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60.因为BEAC，AB，所以AE，在EAD中，EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEAD923，故ED.【答案】4(2012陕西，15B，易)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_【解析】由相交弦定理得AEEBDE2，DE.又DEBDFE，DE2DFDB5.【答案】55(2013辽宁，22，
4、10分，中)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF90；又EFAB，得FEBEBF90，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.6(2012课标全国，22，10分，中)如图，D，E分别
5、为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明：(1)如图，连接AF，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，BGDBDG.由BCCD知CBDCDB.又因为DGBEFCDBC，故BCDGBD.考向1相似三角形的判定方法与性质应用1相似三角形的判定方法(1)判定定理定理1：两角对应相等，两三角
6、形相似定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似定理3：三边对应成比例，两三角形相似(2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(3)直角三角形相似的特殊判定方法斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似2相似三角形的性质(1)相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方(1)(2014广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_.(2)(2012辽宁，23，10分)如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切
7、线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E，证明：ACBDADAB；ACAE.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形，DCFFAE，CDFFEA，CDFAEF，.又EB2AE，AB3AECD33，3.(2)证明：由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB，从而，即ACBDADAB.由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，所以EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，可得ACAE.【点拨】解题(1)及(2)的关键是证明三角形相似；题(2)需注意应用圆中的有关定理，并结合相似三角形进行证明 相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角
8、相等时，可选择判定定理1与判定定理2；(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定(2013陕西，15B)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.【解析】因为PEBC，所以CPED，所以APED.又P是公共角，所以PEDPAE.则，即PE2PAPD.由PD2DA2，可得PE26.所以PE.【答案】考向2截割定理与射影定理的应用1平行线等分线段定理(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条
9、直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)推论经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项(1)(2011广东，15)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD
10、的面积比为_(2)(2015河南郑州一模，22，10分)如图所示，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求证：EFDFBCAC.【解析】(1)在梯形ABCD中，过C作CGAD交AB于G，交EF于H，如图则HF1，GB2.又EFAB，即HFGB，F为CB的中点，EF为梯形ABCD的中位线设梯形EFCD的高为h，则梯形ABCD的高为2h.S梯形ABCD6h，S梯形EFCD.所以S梯形ABCDS梯形EFCD125，S梯形ABFES梯形EFCD75.(2)证明：BAC90，且ADBC，由射影定理得AC2CDBC，.EFBC，ADBC，EFAD，.又BE平分A
11、BC，且EAAB，EFBC，AEEF，.由得，即EFDFBCAC.【点拨】解题(1)时应充分利用平行线分线段成比例定理，寻找比例关系，表示出相关梯形的面积；题(2)已知条件中含有直角三角形且涉及斜边上的高，首先考虑射影定理 利用比例关系求值或证明的方法高考中常考查三角形的边、面积等的求值和比例的证明、相似三角形的证明等在求值时往往需要利用线段的比例关系建立方程求解，或者利用三角形相似求解；在证明时往往会通过三角形相似或平行线分线段成比例得到比例关系，进而求证同时要注意直角三角形的勾股定理和射影定理在解题中的应用(1)(2015广东佛山一模，15)如图，等边三角形DEF内接于ABC，且DEBC，
12、已知AHBC于点H，BC4，AH，则DEF的边长为_(2)(2015陕西宝鸡质检，15B)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD_cm.(1)【解析】设DEx，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等又DEBC，则，解得x.【答案】(2)【解析】如图，连接CD.AC为O的直径，CDAD.ABC为直角三角形，BC2BDAB，BD.【答案】1(2014陕西西安一模，15B)如图所示，已知D是ABC中AB边上一点，DEBC且交AC于E，EFAB且交BC于F，且SADE1，SEFC4，则四边形BFED的面积等于_
13、【解析】因为ADEF，DEFC，所以ADEEFC.因为SADESEFC14，所以AEEC12，所以AEAC13，所以SADESABC19，所以S四边形BFEDSABCSADESEFC4.【答案】42(2015广东湛江一模，15)如图，ABEFCD，已知AB20，CD80，BC100，则EF_.【解析】ABEFCD，.1，即1.EF16.【答案】163(2015陕西咸阳二模，15B)如图，已知ABC的BAC的平分线与BC相交于点D，ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB8，EC2，则ED_【解析】根据切割线定理可得ABCEAC.因为线段AD为BAC的角平分线，所以BADDAC.
14、又ADEABCBAD，则可以得到ADEEAD，即ADE为等腰三角形，则有DEAE，在ACE和ABE中，因为EACABC且AECAEB，所以CAEABE，则有AE4，即DEAE4.【答案】44(2015广东惠州调研，15)已知梯形ABCD的上底AD8 cm，下底BC15 cm，在边AB，CD上分别取E，F，使AEEBDFFC32，则EF_cm.【解析】因为AEEB32，所以AEAB35.所以EPBC35.又因为BC15 cm，所以EP9 cm.同理PF3.2 cm.所以EF12.2 cm.【答案】12.25(2015天津五校联考，13)如图，直线PC与O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDA
15、B于点E，PC4，PB8，则CE_.【解析】由切割线定理知PAPBPC2，所以PA2，则圆的直径为6，半径为3，所以PO5，连接OC，在OCP中，由三角形的面积相等知CEOPOCPC，所以CE.【答案】6(2014河南开封一模，22，10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD；(2)若AB4，BAE30，AD3，求BF的长解：(1)证明：ABCD，BAFAED.又BFEC，BFEBFACADE，BFAADE.ABFEAD.(2)BAE30，AEB60.sin 60，AE.又，BFAD.1(2015天津，6，易
16、)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A. B3C. D.【答案】A由相交弦定理，得CMMDAMMBANBNAB28.CNNEANBNAB28，又CN3，NE.2.(2015课标，22，10分，中)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解：(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点
17、E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上如图，连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为(2)2.3(2015课标，22，10分，中)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小解：(1)证明：连接AE，由已知得，AEBC，ACAB
18、.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.1(2013天津，13，易)如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若ABAD5，BE4，则弦BD的长为_【解析】因为AE是圆的切线，又ADAB，ABDC，所以BAEADBABDBDC，所以ADABBC5.由切割线定理可得EA2EBEC4(54)36，所以EA6.又BCDEBA，
19、所以，则BD.【答案】2(2012湖南，11，易)如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则圆O的半径等于_【解析】方法一：设PO与圆O交于点D，半径为R，则由切割线定理得PAPBPD(POOD)，即13(3R)(3R)，所以R.方法二：如图，取AB的中点C，连接OB，OC，则OCAB，且CB1，CP2，OC.圆O的半径为OB.【答案】3(2014课标，22，10分，中)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明：(1)由题设
20、知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形4(2014辽宁，22，10分，中)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA
21、，故DBAEGA.所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90，故AB是直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB.于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角，于是ED为直径，由(1)得EDAB.5(2013课标，22，10分，中)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE
22、交AB于点F，求BCF外接圆的半径解：(1)证明：连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为圆的直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连接BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，BC为BCF外接圆的直径，故RtBCF外接圆的半径等于.方法点拨：解答此类问题时要注意圆的切线的一些性质和弦切角定理的运用，有时也与正弦定理，余弦定理相结合解三角形考向1与圆有关的比例线段问题定理名称基本图形内容条件结论应用相交
23、弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等弦AB，CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD(2)ACPDBP(1)在PA，PB，PC，PD四条线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等PAB，PCD是O的割线(1)PAPBPCPD(2)PADPCB(1)求线段PA，PB，PC，PD及AB，CD(2)应用三角形相似求AD，BC切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项PA切O于点A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC(2)PABPCA(1)对于线段PA，PB，PC的长可知
24、二求一(2)求解AB，AC(2014课标，22，10分)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.【思路导引】(1)由等腰三角形的性质、三角形外角的性质及圆的有关性质求解；(2)由切割线定理和相交弦定理，再结合条件求解【证明】(1)如图，连接AB，AC，由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而，因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC，因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦
25、定理得ADDEBDDC.所以ADDE2PB2. 与圆有关的比例线段问题的解题方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理(2012天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_【解析】由相交弦定理知EFFCAFBF，解得FC2.BDE
26、C，即BD，.又由切割线定理知BD2CDAD4CD2，即CDBD.【答案】考向2四点共圆问题圆内接四边形的性质定理和判定定理性质定理圆内接四边形对角互补判定定理如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆四边形ABCD的对角线交于点P，若PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆；四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线交于点P，若PAPBPCPD，则它的四个顶点共圆(2013课标，22，10分)如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E
27、，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【思路导引】(1)要证CA是ABC外接圆的直径，只需证ABC为直角；(2)要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比【解析】(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外
28、接圆面积的比值为. 证明四点共圆的主要方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆(5)相交弦定理的逆定理(6)割线定理的逆定理(2011辽宁，22，10分)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，
29、所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.如图，连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE，又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180，故A，B，G，F四点共圆1(2014广东四校联考，15)如图，过点C作ABC外接圆O的切线交BA的延长线于点D.若CD，ABAC2，则BC_.【解析】由切割线定理，得CD2DADB，即3DA(DA2)，解得DA1.由于AD2DC2AC2，所以ADC为直角三角形，且D90，所以BC2.【答案】22(20
30、15天津河东一模，13)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A， ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，若ACB20，则AFD_.【解析】因为AC为圆的切线，由弦切角定理，则BEAC.又因为CD平分ACB，则ACDBCD，所以BBCDEACACD.根据三角形外角定理，ADFAFD.因为BE是圆O的直径，则BAE90，所以ADF是等腰直角三角形所以ADFAFD45.【答案】453.(2015陕西西安五校联考，15B)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为_【解析】连接AB，PA切圆O于点A，且B为PO的中点
31、，ABOBOA，AOB60，POD120.在POD中，由余弦定理知PD2PO2OD22POODcosPOD7，PD.【答案】4(2015湖南株洲一模，11)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：ADAEABBCCA，AFAGADAE，AFBADG，其中正确结论的序号是_【解析】由题意，根据切线长定理，有BDBF，CECF，所以ADAE(ABBD)(ACCE)(ABBF)(ACCF)ABAC(BFCF)ABACBC，所以正确；因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有ADAE.又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2AFAGAD
32、AE，所以正确；根据弦切角定理有ADFAGD.又因为BDBF，所以BDFBFDAGD.在AFB中，ABF2ADF2AGD，所以错误【答案】5(2014河南郑州一模，22，10分)如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是O的割线，ACAB.(1)证明：AC2ADAE；(2)证明：FGAC.证明：(1)AB是O的一条切线，AB2ADAE.又ACAB，AC2ADAE.(2)AC2ADAE，.又DACCAE，CADEAC，ACDAEC.又四边形DEGF是O的内接四边形，CFGAEC，ACDCFG.FGAC.6.(2015辽宁盘锦二模，22，10分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点
33、，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EFCE，交CB的延长线于点F.(1)求证：B，P，E，F四点共圆；(2)若CD2，CB2，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径解：(1)证明：如图，连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PBBC.因为EFCE，所以PBFPEF180，所以B，P，E，F四点共圆(2)连接PF，因为B，P，E，F四点共圆，且EFCE，PBBC，所以此圆的直径就是PF.因为BC切圆P于点B，且CD2，CB2，所以由切割线定理得CB2CDCE，所以CE4，所以DE2，则BPPE1.又因为RtCBPRtCEF，所以EFBPCECB，得EF.在RtFEP中，PF，即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.
