1、专题限时集训(七)A导数及其应用(时间：5分钟40分钟) 基础演练夯知识1已知f(x)x22xf(1)，则f(0)等于()A0 B4 C2 D22曲线yln x在x处的切线的倾斜角为()A. B.C. D.3曲线f(x)x3x2在点P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1，0)B(2，8)C(2，8)或(1，4)D(1，0)或(1，4)4函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1 C2 D35曲线yln x1在x1处的切线方程为_提升训练强能力6若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a()A1 B. C0 D17函数f(x)xcos x的导函数f(x
2、)在区间，上的图像大致是()ABCD图718定义域为R的函数f(x)，满足f(0)1，f(x)f(x)1，则不等式f(x)12ex的解集为()AxR|x1BxR|0x1CxR|x0DxR|x0 9已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在区间1，1上是减函数，则a的取值范围是()A0a B.a Ca D0a10方程f(x)f(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”如果函数g(x)x，h(x)ln (x1)，(x)cos x的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是()A BC D0，使得f(x0)x01成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由专题限时集训(
3、七)B导数及其应用(时间：10分钟35分钟)基础演练夯知识1已知函数f(x)xln x1.(1)求曲线yf(x)在x2处的切线方程；(2)若x(0，)时，f(x)ax2恒成立，求实数a的取值范围2已知函数f(x)x23xaln x(a0)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)设函数f(x)图像上任意一点处的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程提升训练强能力3设函数f(x)p2ln x，g(x)(p1，e是自然对数的底数)(1)若对任意x2，e，不等式f(x)g(x)恒成立，求p的取值范围；(2)若对任意x12，e，总存在x22，e，使不等式f(x1)g(x2)
4、成立，求p的取值范围4已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间内有极值，求实数a的取值范围；(2)当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围；(3)求证：(n1)！2(n1)en2.(nN*，e为自然对数的底数)5已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x，g(x)exx1.(a为常数，e为自然对数的底数)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间上无零点，求a的最小值；(3)若对任意给定的x0(0，1，在(0，e上总存在两个不同的xi(i1，2)，使得f(xi)g(x0)成立，求a的取值范围专题限时集训(七)A【基础演练】1B解析 f(x)2x2f(1)，令
5、x1，得f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.2A解析 y，ktan ，又0，故.3D解析 设切点为P0(a，b)，f(x)3x21，则切线的斜率kf(a)3a214，所以a1.当a1时，b4；当a1时，b0.所以P0点的坐标为(1，0)或(1，4)4A解析 令f(x)x0，得x1.当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.函数f(x)在x1处取得最小值，且最小值为f(1)ln 1.5xy20解析 易知切点的坐标为(1，1)，又y，切线的斜率为1，所求切线方程为y1x1，即xy20.【提升训练】6B解析 y2ax，由题意可知，当x1时，y|x12a10
6、，得a.7A解析 f(x)cos xxsin x，则该导函数为偶函数，且f(0)1，f()1，易知A选项符合题意8D解析 构造函数g(x)g(x)，由已知f(x)f(x)1g(x)0，故g(x)在R上为减函数，而g(0)2，不等式f(x)12ex化为g(x)g(0)x0，故选D.9C解析 因为f(x)(x22ax)ex，所以f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex.因为f(x)在区间1，1上是减函数，所以f(x)x2(22a)x2aex0在区间1，1上恒成立且不恒为0，即x2(22a)x2a0在区间1，1上恒成立且不恒为0，所以解得a.又当a时，x2(22a)x2a不
7、恒为0，所以a的取值范围是.10D解析 g(x)1，令g(x)g(x)，则1.h(x)，令h(x)h(x)，结合图像(图略)可知，2.0，选A.124xy30解析 易知切点的坐标为(1，1)，又f(x)2x，切线的斜率为f(1)4，故所求切线的方程为y14(x1)，即4xy30.139解析 由f(1)0，得1abc0，由f(x)3x22axb，f(1)32ab0，而x1不是函数的极值点，所以(2a)243b4a212b0，综合解得a3，b3，c1，所以abc9.14解： (1)f(x)ln xax2(a2)x，函数的定义域为(0，)f(x)2ax(a2).f(x)在x1处取得极值， 即f(1)
8、(21)(a1)0，a1.当a1时，在内f(x)0，在(1，)内f(x)0，x1是函数yf(x)的极小值点a1.(2)a2a，0a1.f(x)2ax(a2)，x(0，)，ax10，f(x)在上递增；在上递减， 当0a时，f(x)在a2，a上单调递增，f(x)maxf(a)ln aa3a22a；当即a时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)maxfln 21ln 2；当a2，即a1时，f(x)在a2，a上单调递减，f(x)maxf(a2)2lnaa5a32a2.15解： (1)由f(x)exax1，得f(x)exa.当a0时，对xR，有f(x)0，所以函数f(x)在区间(，)上单调递增；
9、当a0时，由f(x)0，得xln a；由f(x)0，得xln a，此时函数f(x)的单调增区间为(ln a，)，单调减区间为(，ln a)综上所述，当a0时，函数f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，函数f(x)的单调增区间为(ln a，)，单调减区间为(，ln a)(2)函数F(x)f(x)xln x的定义域为(0，)，由F(x)0，得aln x(x0)，令h(x)ln x(x0)，则h(x)，由于x0，ex10，可知当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)0，故函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故h(x)h(1)e1.(随着x0的增长，yex1的增长速度越来越快
10、，会超过并远远大于yx的增长速度，而yln x的增长速度则会越来越慢则当x0且x无限接近于0时，h(x)趋向于正无穷大)故当ae1时，函数F(x)有两个不同的零点；当ae1时，函数F(x)有且仅有一个零点；当ae1时，函数F(x)没有零点. (3)由(1)知当a1时，对x0，有f(x)f(ln a)0，即ex1x，当x0时，ex1x，故对x0，g(x)0，先用分析法证明：x0，g(x)x.要证对x0，g(x)x，只需证对x0，ex，即证对x0，xexex10，构造函数H(x)xexex1(x0)，则H(x)xex0，故函数H(x)在(0，)上单调递增，所以H(x)H(0)0，则对x0，xexe
11、x10成立当a1时，由(1)知，f(x)在(0，)上单调递增，则f(g(x)f(x)在(0，)上恒成立；当a1时，由(1)知，函数f(x)在(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，故当0xln a时，0g(x)xln a，所以f(g(x)f(x)，则不满足题意所以满足题意的a的取值范围是(，116解： (1)x0，)，f(x)ex，f(x)ex .由题意，f(x)0在0，)上恒成立，当a0时，f(x)ex0恒成立，即满足条件当a0时，要使f(x)0，而ex0恒成立，故只需x2ax10在0，)上恒成立，即解得ax01成立，即ex0xex0x01，变形为10使式成立，只需找到函数t
12、 (x)1的最小值，满足t(x)min0即可t(x)x，令t(x)0得ex，则xln a，在0xln a时，t(x)0，即t(x)在(0，ln a)上是减函数，在(ln a，)上是增函数， 当xln a时，t(x)取得最小值t(ln a)(ln a)2a(ln a1)1.下面只需证明：(ln a)2aln aa10在0a1时恒成立即可令p(a)(ln a)2aln aa1, 则p(a)(ln a)20，从而p(a)在(0，1)上是增函数，则p(a)p(1)0，从而(ln a)2aln aa10，得证于是t(x)的最小值t(ln a)0，因此可找到一个常数x0ln a(0a1)，使得式成立专题限
13、时集训(七)B【基础演练】1解： (1)由题意得，f(x)1，f(2)1，f(2)1ln 2，曲线yf(x)在x2处的切线方程为y(1ln 2)(x2)x2y2ln 20.(2)当x(0，)时，f(x)ax2恒成立，a1，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0xe2，可得g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增， g(x)ming(e2)1，即a1，故实数a的取值范围是.2解： (1)f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x3，由f(x)0得x或x1，由f(x)0得x1，f(x)的单调递增区间为，(1，)；单调递减区间为.f(x)的极大值为fln 2；极小值为f(1)
14、2.(2)由题意知f(x)2x3231，a2，此时2x，即2x，x1，切点为(1，2), 此时的切线l的方程为xy30.【提升训练】3解： (1)由不等式f(x)g(x)p2ln x0对x2，e恒成立，p对x2，e恒成立令h(x)，x2，e，则ph(x)max.h(x)0.h(x)在区间2，e上是减函数，h(x)maxh(2)，故p. (2)依题意f(x)ming(x)min.f(x)p0，f(x)在2，e上单调递增，故f(x)minf(2)又g(x)在2，e上单调递减，故g(x)ming(e)，由f(2)g(e)，解得p.4解： (1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由f(x)0得
15、x1，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故函数f(x)在x1处取得唯一的极值，由题意得a1，故实数a的取值范围为.(2)x1时，不等式f(x)化为k，令g(x)，由题意知kg(x)在1，)上恒成立，g(x)，再令h(x)xln x(x1)，则h(x)10，当且仅当x1时取等号，因此h(x)xln x在1，)上递增，所以h(x)h(1)10，故g(x)0，所以g(x)在1，)上递增，g(x)ming(1)2，因此k2，即k的取值范围为(，2(3)由(2)知，当x1时，f(x)恒成立，即，ln x11.令xk(k1)，kN*，则
16、有lnk(k1)112，分别令k1，2，3，n，则有ln(12)12，ln(23)12，lnn(n1)12，将这n个不等式相加可得：ln12232n2(n1)n2n2，故122232n2(n1)en2，从而(n1)！2(n1)en2.5解： (1)当a1时，f(x)x12ln x(x0)，则f(x)1.令f(x)0得x2；令f(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)f(x)0在区间上不可能恒成立，故要使函数f(x)在区间上无零点，只要对x，f(x)0恒成立即对x，a2恒成立令l(x)2，x，则l(x)，再令m(x)2ln x2，则m(x)，x，m(x
17、)0，故函数m(x)在区间上单调递减，m(x)m22ln 20.即l(x)0，函数l(x)在区间上单调递增，l(x)l24ln 2.故只要a24ln 2，则函数f(x)在区间上无零点，所以amin24ln 2.(3)g(x)ex1，当x(0，1时，g(x)0，函数g(x)在区间(0，1上是增函数g(x)(2，e当a2时，f(x)2ln x，不符合题意；当a2时，f(x)2a，当x时，f(x)0，由题意有f(x)在(0，e上不单调，故0e，a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：xf(x)0f(x)单调递减最小值单调递增又因为x0时，f(x)，fa2ln，f(e)(2a)(e1)2，所以，对于给定的x0(0，1，在(0，e上总存在两个不同的xi(i1，2)，使得f(xi)g(x0)成立，当且仅当满足下列条件即a2ln2，且(2a)(e1)2e，令h(a)a2ln，a，则h(a)，令h(a)0，得a0.故a(，0)时，h(a)0，函数h(a)单调递增，a时，h(a)0，函数h(a)单调递减， 所以对任意的a，h(a)h(0)02，即恒成立由得a，由得当a时，在(0，e上总存在两个不同的xi(i1，2)，使得f(xi)g(x0)成立.
