1、第三节 圆的方程1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的集合叫做圆确定一个圆最基本的要素是_和_2圆的方程定点定长圆心半径圆的标准方程圆的一般方程方程_(D2E24F0)圆心坐标_半径r_(xa)2(yb)2r2(r0)(a，b)x2y2DxEyF0(D2，E2)12 D2E24F说明：在圆的一般方程中方程 x2y2DxEyF0 可变形为xD22yE22D2E24F4.故有：(1)当 D2E24F0 时，方程表示以D2，E2 为圆心，以D2E24F2为半径的圆；(2)当 D2E24F0 时，方程表示一个点D2，E2；(3)当 D2E24F0 时，方程不表示任何图形3点M(x0，y0)与圆(x
2、a)2(yb)2r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则_.(2)若M(x0，y0)在圆上，则_.(3)若M(x0，y0)在圆内，则_.(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切
3、线斜率不存在的情况三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线1确定圆的方程必须有几个独立条件？【提示】不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值2(1)方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是什么？(2)若D2E24F0，方程表示什么图形？【提示】(1)充要条件是D2E24F0.(2)表示一个点(D2，E2)圆心在直线y
4、4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)，求圆的方程求圆的方程法二 过切点且与 xy10 垂直的直线 y2x3，与 y4x 联立可求得圆心为(1，4)半径 r2 2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.解：法一 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则有b4a，3a22b2r2，|ab1|2r，解得 a1，b4，r2 2.圆的方程为(x1)2(y4)28.圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)，求圆的方程1用“待定系数法”求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解(2)若条件没有明确给出圆的圆心或
5、半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解2几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程1、已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧长之比为12，则圆C的方程为()A(x 33)2y243B(x 33)2y213Cx2(y 33)243Dx2(y 33)213C【解析】依题意得，圆心C在y轴上，故可排除A、B，又圆心C到圆上的点A(1,0)的距离大于1，故圆的半径大于1，可排除D.故选C.2、设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22a
6、22a2，解得a2，r22a28.所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.A()(+2013)(2014),A.(0,1)B.(0,2)20132014C.(0,).(0,)20142013f xxxx yD3、设图象与轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点坐标是 方法一：220 xyDxEyF方法二：相交弦定理与圆有关的最值问题已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值【思路点拨】(1)利用|CQ|R|MQ|CQ|R
7、求范围(2)利用斜率的几何意义求n3m2的范围与圆有关的最值问题已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值解：(1)由 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心 C 坐标为(2,7)，半径 r2 2.又|QC|2227324 2|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2.已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值解：
8、(2)可知n3m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为：y3k(x2)，即 kxy2k30，则n3m2k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2，可得 2 3k2 3，所以n3m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.(3)形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如 uybxa型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为
9、半径的(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3.(如图)(2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，b当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6.(如图)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.所以yx的最大值为 3，最小值为 3.1、已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2 的最大值和最小值1、已知实数 x，y 满足方程 x2y24x1
10、0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2 的最大值和最小值(3)x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交 点 处 取 得 最 大 值 和 最 小值(如图)ABDEODOAOEOB又 圆 心 到 原 点 的 距 离 为2020022，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.D是圆上任一点2、已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(1,0)，B(1,0)，点 P 是圆上的动点，则 d|PA|2|PB|2 的最大值为_，最小值为_解析 设点 P(x0，y
11、0)，则 d(x01)2y20(x01)2y202(x20y20)2，欲求 d 的最值，只需求 ux20y20的最值，即求圆 C 上的点到原点的距离平方的最值圆 C 上的点到原点的距离的最大值为 6，最小值为 4，故 d 的最大值为74，最小值为 34.答案 74 34设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹与圆有关的轨迹问题【思路点拨】四边形 MONP 为平行四边形OP OM ON 把点 P 的坐标转移到动点 N 上而点 N在圆上运动，故可求解需注意 O、M、N 三点共线的情况设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24
12、上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹与圆有关的轨迹问题又当 OM 与 ON 共线时，O、M、N、P 构不成平行四边形故动点 P 的轨迹是圆且除去点(95，125)和(215，285)解：四边形 MONP 为平行四边形OP OM ON设点 P(x，y)，点 N(x0，y0)，则ON OP OM(x，y)(3,4)(x3，y4)，又点 N 在圆 x2y24 上运动，(x3)2(y4)24.1本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点2求与圆有关的轨迹问题常用的方法：（1）直接法（2）定义法
13、（3）相关点法.1、已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.【解】法一 设 P(x，y)，圆心 C(1,1)，P 点是过点 A 的弦的中点，PAPC，又PA(2x,3y)，PC(1x,1y)，(2x)(1x)(3y)(1y)0，即(x32)2(y2)254，中点 P 的轨迹方程是(x32)2(y2)254.1、已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.法二 由已知得，PAPC.由圆的性质知点 P 在以 AC 为直径的圆上，又圆心 C(1,1)，|AC|212312 5，线段 AC 的中点坐
14、标为(32，2)，故中点 P 的轨迹方程为(x32)2(y2)254.例4、(2012广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？证明你的结论与圆有关的综合问题例4、(2012广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；解：(1)显然 b0，否则，二次函数 f(x)x22xb 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(2
15、,0)，这与题设不符.由 b0 知，二次函数 f(x)x22xb 的图象与 y 轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与 x 轴必有两个交点，方程 x22xb0 有两个不相等的实数根，因此方程的判别式 44b0，即 b1.所以，b 的取值范围是(，0)(0,1).例4、(2012广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(2)求圆C的方程；设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0，因圆 C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得1 1b2D1 1bF0，1 1b2D1 1bF0，b2EbF0解上述方程组
16、，因 b0，得D2，Eb1，Fb.所以，圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0.解(2)由方程 x22xb0，得 x1 1b.于是，二次函数 f(x)x22xb 的图象与坐标轴的交点是(1 1b，0)，(1 1b，0)，(0，b).例4、(2012广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？证明你的结论(3)圆 C 过定点，证明如下：假设圆 C 过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为：x20y202x0y0b(1y0
17、)0.为使式对所有满足 b1(b0)的 b 都成立，必须有 1y00，结合式得 x20y202x0y00，解得x00，y01，或x02，y01.经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆 C 上因此，圆 C 过定点.【解题程序】第一步：说明b0，根据关系求b的范围第二步：求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标第三步：用待定系数法求圆C的方程第四步：假设圆C经过定点(x0，y0)，代入圆的方程，分离出参数b.第五步：列方程组求x0，y0.1、(2012南昌模拟)已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线 xy20 对称(1)求圆 C 的方程;(2)设 Q 为圆 C上的一个动点;求 PQM Q的最小值解(1)设圆心 C(a，b)，则a22 b22 20，b2a21，解得a0，b0，则圆 C 的方程为 x2y2r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2y22.(2)设 Q(x，y)，则 x2y22，且 PQM Q(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令 x 2cos，y 2sin，PQM Qxy2 2(sin cos)22sin4 2，所以 PQM Q的最小值为4.
