1、第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程A级必备知识基础练1.(2022四川成都蓉城名校高二期中)若方程x2m+y22-m=1表示椭圆,则实数m的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1)(1,2)2.椭圆x225+y216=1与y轴的一个交点为P,两个焦点为F1,F2,则PF1F2的面积为()A.6B.8C.10D.123.(2022江苏泰州三中高二月考)椭圆的焦距为8,且2a=10,则该椭圆的标准方程是()A.x225+y29=1B.x225+y29=1或y225+x29=1C.x2100+y236=1D.x2100+y236=1或y2100+x2
2、36=14.已知椭圆x2m2+y22=1的一个焦点为(2,0),则这个椭圆的标准方程是()A.x24+y22=1B.x23+y22=1C.x2+y22=1D.x26+y22=15.椭圆x24+y2=1的左、右焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=()A.32B.3C.72D.46.(多选题)若椭圆x24+y2m=1(m0)的焦距为2,则m的值是()A.3B.15C.5D.17.若椭圆的焦点坐标为(3,0),且椭圆经过点(4,0),则椭圆的标准方程为.8.已知椭圆的两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1AF2A,求椭圆的标准方程.B级关
3、键能力提升练9.若动点M(x,y)满足方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10,则动点M的轨迹方程为()A.x225+y216=1B.x225+y221=1C.x225+y24=1D.y225+x221=110.已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1F2的面积为SPF1F2=3,则F1PF2=()A.6B.3C.2D.2311.已知椭圆x29+y22=1的焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则三角形F1PF2的面积为()A.32B.3C.23D.4312.已知点F为椭圆C1:x28+y24=1的右焦点,点P为椭圆C1与圆C2:(
4、x+2)2+y2=18的一个交点,则|PF|=()A.1B.2C.2D.2213.(2022四川阆中高二期中)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,点M在C上,|MF1|MF2|的最大值为25,则a=.14.如图所示,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为3的等边三角形,则b2=.15.(2022河南开封高二期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,F1PF2=120,|PF1|=2+3,|PF2|=2-3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点P的坐标
5、.C级学科素养创新练16.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点为A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB的值为.参考答案第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程1.D方程x2m+y22-m=1表示椭圆,则m0,2-m0,m2-m.解得m的取值范围为(0,1)(1,2),故选D.2.D由椭圆方程可得c2=25-16=9,则|F1F2|=2c=6.设点P的纵坐标为yP,在椭圆x225+y216=1中,令x=0,则|yP|=4,从而三角形的面积为S=1264=12.3.B由椭圆的焦距为8,且2a=10,可得a=5,c=4,则b
6、=a2-c2=3,所以椭圆方程为x225+y29=1或y225+x29=1.故选B.4.D椭圆x2m2+y22=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的焦点在x轴上,且c=2,所以m2=2+4=6,所以椭圆的标准方程是x26+y22=1.故选D.5.C由椭圆x24+y2=1,可知c=4-1=3.设点P的纵坐标为yP,所以当x=-3时,|PF1|=|yP|=12.又因为|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|=72,故选C.6.AC椭圆x24+y2m=1(m0)的焦距为2,当焦点在x轴时,4-m=1,解得m=3,当焦点在y轴时,m-4=1,解得m=5,故选AC.7.x216+y27=
7、1由题可知椭圆焦点在x轴上,故设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则有a2-b2=9,16a2=1,解得a2=16,b2=7,故椭圆的标准方程为x216+y27=1.8.解设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c0).F1AF2A,F1AF2A=0.又F1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3),(-4+c)(-4-c)+32=0,c2=25,即c=5.F1(-5,0),F2(5,0).2a=|AF1|+|AF2|=(-4+5)2+32+(-4-5)2+32=10+90=410.a=210,b2=a2-c2=(210)2
8、-52=15.故所求椭圆的标准方程为x240+y215=1.9.B方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10表示动点M(x,y)到两个定点(2,0)的距离之和为定值10,且102+2,由椭圆的定义可得动点M的轨迹是椭圆,且a=5,c=2,则b2=a2-c2=52-22=21.因此椭圆的标准方程为x225+y221=1.故选B.10.D(方法1)由已知a=2,b=1,c=3,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+2mn+n2=16.在PF1F2中,m2+n2-2mncosF1PF2=(2c)2,16-2mn-2mncosF1PF2=12,即mn+mncosF1PF2=2.又
9、SPF1F2=12mnsinF1PF2=3,23sinF1PF2+23cosF1PF2sinF1PF2=2.F1PF2(0,),F1PF2=23.故选D.(方法2)由椭圆C:x24+y2=1可知b2=1,因此SPF1F2=3=b2tanF1PF22=tanF1PF22,且有F1PF2(0,),故F1PF22=3,F1PF2=23.11.C由已知得2a=6,2c=27.因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.由余弦定理得cosF1PF2=22+42-(27)2224=-12,因为F1PF2(0,),所以F1PF2=23.则F1PF2的面积SF1PF2=122432=23.故选C.12.B由题意得
10、F(2,0),左焦点为F1(-2,0),圆(x+2)2+y2=18的圆心坐标为(-2,0),半径为32,因此圆的圆心恰好为椭圆的左焦点.P为椭圆与圆的一个交点,根据椭圆和圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=42,|PF1|=32,所以|PF|=2.13.5因为F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|MF2|MF1|+|MF2|22=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|=a时,等号成立.又因为|MF1|MF2|的最大值为25,所以a=5.14.23设等边三角形POF2的边长为c,则34c2=3,解得c=2,从
11、而|OF2|=|PF2|=2.连接PF1(图略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1PF2.则|PF1|=|F1F2|2-|PF2|2=42-22=23.所以2a=|PF1|+|PF2|=23+2,即a=3+1.所以b2=a2-c2=(3+1)2-4=23.15.解(1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆的定义有a=|PF1|+|PF2|2=(2+3)+(2-3)2=2.在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120=(2+3)2+(2-3)2+(2+3)(2-3)=15,即4c2=15,得c2=154,c=152,b2=a2-c2=4-154
12、=14,故椭圆C的标准方程为x24+y214=1.(2)设点P的坐标为(m,n)(m0),PF1F2的面积SPF1F2=12|PF1|PF2|sin120=12(2+3)(2-3)32=34.又由SPF1F2=122c|n|=152|n|,有15|n|2=34,解得n=510.将点P的坐标代入椭圆C的方程有m24+15=1,解得m=455(负值舍去).故点P的坐标为455,510或455,-510.16.54由椭圆的标准方程可知,椭圆的焦点在x轴上,且c=a2-b2=25-9=4,2a=10,A(-4,0)和C(4,0)分别是椭圆的左、右焦点.点B在椭圆上,|BA|+|BC|=2a=10,sinA+sinCsinB=|BC|+|BA|AC|=108=54.
