1、1.2.1 函数的概念第1课时 函数的概念基础认知自主学习1.函数的概念定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的_，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系yf(x)，xA定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)|xA对应关系f唯一确定(1)对应关系f一定是解析式吗？提示：不一定对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一
2、般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值(3)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？提示：不能只有非空数集之间才能建立函数关系(4)对于一个函数yf(x)，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只有一个函数值与其对应(5)在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？提示：值域是集合B的子集2区间及有关概念(1)一般区间的表示设 a，bR，且 ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间_x|axb开区间_x|axb闭区间_x|aax|xax|x0，解得：x1.所以该函数的定义域为(1，).3如图中能表示函数关系的是_(填
3、序号)【解析】由于中的 2 与 1 和 3 同时对应，故不是函数答案：4用区间表示下列集合：(1)x|10 x100用区间表示为_(2)x|x1用区间表示为_【解析】(1)由区间的定义可知：x|10 x100用区间表示为10，100.(2)由区间的定义可知：x|x1用区间表示为(1，).答案：(1)10，100(2)(1，)能力形成合作探究类型一 函数关系的判断(数学抽象)1下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1，2，3，4，B0，1，对应关系如图：C.AR，BR，f：xy 1x2DAZ，BZ，f：xy2x1【解析】选 B.A 错误，x2y21 可化为
4、y1x2，显然对任意 xA，y 值不唯一B 正确，符合函数的定义C 错误，2A，在 B 中找不到与之相对应的数D错误，1A，在 B 中找不到与之相对应的数2设集合 Px|0 x2，Qy|0y2，则图中能表示 P 到 Q 的函数的是()A(1)(2)(3)(4)B(1)(3)(4)C(1)(4)D(3)【解析】选 C.根据函数的定义，在定义域内的任何一个 x 值，都唯一对应一个 y 值，故(1)、(4)正确；(2)中定义域内的 1 对应了 2 个函数值，(3)中定义域(1，2内的 x 值，没有对应的 y 值，故(2)、(3)错误3已知函数 yf(x)的定义域为1，5，则在同一坐标系中，函数 f(
5、x)的图象与直线 x1 的交点个数为()A0 B1 C2 D0 或 1【解析】选 B.函数 yf(x)的定义域为1，5，则在同一坐标系中，函数 f(x)的图象与直线 x1 的交点个数为 1.4下列各题的对应关系是否给出了实数集 R 上的一个函数？为什么？f：把 x 对应到 3x1；g：把 x 对应到|x|1；h：把 x 对应到1x；r：把 x 对应到 x.【解析】是实数集 R 上的一个函数它的对应关系 f 是：把 x 乘 3 再加 1，对于任意 xR，3x1 都有唯一确定的值与之对应，如 x1，则 3x12 与之对应同理，也是实数集 R 上的一个函数不是实数集 R 上的函数因为当 x0 时，1
6、x的值不存在不是实数集 R 上的函数因为当 x0 时，x 的值不存在1判断一个对应是否是函数的方法2根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l.(2)在定义域内平行移动直线 l.(3)若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数如图所示：【补偿训练】1.如图可作为函数 yf(x)的图象的是()【解析】选 D.观察图象可知，A，B，C 中任取一个 x 的值，y 有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象D 中图象是函数图象2已知集合 A1，2，3，4，B5，6，7，在下列 A 到 B 的四种对应关系中，存在函数关系的
7、个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.根据函数的定义可知，集合 A 中每一个实数在 B 中都有唯一确定的实数与之对应，其中均满足函数的定义3下列对应是否是函数？x3x，x0，xR；xy，其中 y2x，xR，yR.【解析】是函数因为任取一个非零实数 x，都有唯一确定的3x 与之对应，符合函数定义不是函数当 x1 时，y1，即一个非零自然数 x，对应两个 y 的值，不符合函数的概念类型二 求函数的定义域(数学抽象、数学运算)1函数 y1x x 的定义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1 或 x0 Dx|0 x1【解析】选 D.由题意可知1x0，x0，解得 0 x1.2设全集为 R，函
8、数 f(x)（x1）02x的定义域为 M，则 RM()Ax|x2 或 x1 Bx|x2 或 x1【解析】选 A.由x10，2x0，解得 x2 且 x1，所以 Mx|x0，12（a2x）0，得 0 xa2，故定义域为0，a2.答案：yx212 ax 0，a24求函数 y（x1）2x11x 的定义域【解析】要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x10，1x0.解得 x1，且 x1，即函数的定义域为x|x1，且 x1已知函数的解析式，求函数的定义域(1)本质：求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围(2)常见题型如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R.如果 f(x)是分式，那么函数的
9、定义域是使分母不等于零的实数的集合如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合yx0 要求 x0.如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约【补偿训练】1.函数 y 1x2 的定义域是 A，函数 y2x6 的值域是 B，则 AB_(用区间表示).【解析】要使函数解析式y 1x2 有意义，只需x2，即Ax|x2；函数y2x60，即 By|y0，则 ABx|0 x2答案：0，2)(2，)2.函数 yf(x)的图象如图所示，则函
10、数 yf(x)的定义域为_.【解析】观察函数的图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为(0，1)(1，2，即为定义域答案：(0，1)(1，23求下列函数的定义域：(1)y2 3x2.(2)y3x x1.(3)y(x1)02x1.【解析】(1)当且仅当 x20，即 x2 时，函数 y2 3x2 有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(2)函数有意义，当且仅当3x0，x10.解得 1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(3)函数有意义，当且仅当x10，2x10，x10.解得 x1，且 x1，所以这个函数的定义域为x|x1，且 x1类型三 函数对应关系的应用(数学抽象、逻辑推理)求值问题【典例】1.
11、已知 f(3x1)4x3，则 f(4)()A6 B7 C8 D9【解析】选 B.由 3x14，得 x1，所以 f(4)f(311)4137.2.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则 f(f(3)的值为_【解析】据图象知，f(3)1，f(f(3)f(1)2.答案：2【思路导引】1.注意到 f(4)f(311)就可以利用 f(3x1)4x3 求 f(4).2根据图象确定自变量 x1 和 x3 时，对应的函数值即可求 f(f(3).求函数解析式问题【典例】如图所示，用长为 1 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架，若半
12、圆的半径为 x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数解析式，并写出它的定义域【思路导引】先由题设条件，列出 x 与 y 的关系式，即可得出函数解析式，再结合实际意义即可得出定义域【解析】AB2x，CD 的长为 x，于是 AD12xx2，所以 y2x12xx2x22，即 y42x2x.由2x0，12xx20，得 0 x 12，所以此函数的定义域为0，12.函数求值的方法及关注点(1)方法：求 f(a)：已知 f(x)的解析式时，只需用 a 替换解析式中的 x 即得 f(a)的值求 f(g(a)：已知 f(x)与 g(x)，求 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则(2)关注点：用来替换解析式中
13、x 的数 a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义1已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合1，2，3，其定义如表：则方程 g(f(x)x 的解集为()A.1 B2 C3 D【解析】选 C.f(1)2，g(f(1)g(2)2，f(2)3，g(f(2)g(3)1，f(3)1，g(f(3)g(1)3，所以 g(f(x)x 的解集为3 2若函数 f(x)满足 f(2x1)x1，则 f(3)_【解析】令 2x13，则 x2，故 f(3)213.答案：33设常数 aR，函数 f(x)|x1|x2a|，若 f(2)1，则 f(1)_【解析】由 f(2)1|22a|1，可得 a4，所以 f
14、(1)|11|14|3.答案：3【补偿训练】1.设 f(x)x21x21，则f（2）f12()A1 B1 C35 D35【解析】选 B.f（2）f122212211221122135345435 531.2下列函数中，对于定义域内的任意 x，f(x1)f(x)1 恒成立的为()Af(x)x1 Bf(x)x2Cf(x)1xDy|x|【解析】选 A.对于 A 选项，f(x1)(x1)1f(x)1，成立；对于 B 选项，f(x1)(x1)2f(x)1，不成立；对于 C 选项，f(x1)1x1，f(x)11x 1，不成立；对于 D 选项，f(x1)|x1|，f(x)1|x|1，不成立学情诊断课堂测评1
15、已知函数 f(x)3x，则 f1a()A1a B3a Ca D3a【解析】选 D.f1a3a，故选 D.2设函数 f(x)axb，若 f(1)2，f(1)0，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【解析】选 B.由已知得ab2，ab0，解得 a1，b1.3如表，y 是 x 的函数，则函数的值域是_x0 x55x1010 x1515x20y2865【解析】由表格可知，函数的值域为2，5，6，8答案：2，5，6，84(教材练习改编)设 f(x)11x，则 f(f(x)_【解析】f(f(x)11 11x11x11xx1x.答案：x1x(x0，且 x1)5用区间表示数集x|x2 或 x3为_【解析】x|x2 或 x3用区间表示为(，2(3，).答案：(，2(3，)
