1、2020北京高考模拟试卷数学一.选择题（共10小题）1.若复数z满足，则复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出【详解】解：，2i在复平面内所对应的点（2，1）位于第四象限故选：D【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.已知集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出集合、的值，由补集和并集的概念可得的值，可得答案.【详解】解：依题意，,，故，故，故选：D.【点睛】本题主要考查集合交并补运
2、算，属于基础题型，注意运算准确.3.下列函数中是偶函数并且在内单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用初等基本函数判断即可【详解】不是偶函数，故舍去是偶函数，但在内不单调，故舍去偶函数，单调递增满足题意不是偶函数，故舍去故选C【点睛】本题属于基本题，考查了函数的奇偶性和单调性，学生要熟练基本初等函数的性质4.函数的值域为（ ）A. ,B. ,C. ,D. 【答案】C【解析】【分析】求得的范围，结合指数函数单调性，即可求得函数值域.【详解】，则.函数的值域为,.故选：.【点睛】本题考查复合型指数函数值域的求解，属基础题.5.在圆：中，过点的最长弦和最短弦分别为和，
3、则四边形的面积为（ ）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得的值,进而求出答案.【详解】圆的标准方程为:,其圆心为,半径,过点最长的弦长是直径,故,最短的弦是与垂直的弦,又,所以,即,所以四边形的面积,故选:B.【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确和的位置关系,难度不大.6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可
4、得出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,得到曲线，的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍,得到曲线的解析式为.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题.7.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥 ，其中面积最大的面为： .本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视
5、图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法8.已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.9.已知数列是等比数列，前项和为，
6、则“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系.【详解】因为数列是等比数列,前项和为若,由等比数列通项公式可得,化简后可得.因为所以不等式的解集为 若当公比时, 则,可得当公比时, 由则,可得综上可知, “”是“”的充分不必要条件故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.10.为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下
7、对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”老师丙：“我觉得7班能赢15班”最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A. 7班、14班、15班B. 14班、7班、15班C. 14班、15班、7班D. 15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预
8、测准确，则甲和乙都预测错误，班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班故选：C【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二.填空题（共5小题）11.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题
9、设双曲线的左、右焦点分别为,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；当时,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.12.已知向量，若向量与向量共线，则实数_【答案】【解析】【分析】先计算的坐标，再利用向量共线的坐标运算，即可求得参数.【详解】因为，故可得，又向量与向量共线，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及由向量共线求参数范围的问题，属基础题.13.如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么_.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的准线方程
10、，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.【详解】抛物线的准线方程为，由题意得，解得.点在抛物线上，故答案为：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14.在四边形中，且，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判断，由正弦定理和诱导公式即可求出的值.【详解】解：在中，由余弦定理可知 即，.又，所以.由，可知 .故答案为: ;.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15.已知
11、定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先判断出为奇函数，然后根据题意将化为，再由函数的单调性转化为解即可.【详解】 定义在上的函数满足，则，为奇函数， 又对任意的，恒有，则，即 在单调递增，即，解得 故答案为：【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.三.解答题（共6小题）16.如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰梯形的性质可证
12、得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,又,为等边三角形,则,设平面的法向量为,则，即,令,则,设平面的法向量为,则,即,令,则,设平面与平面的夹角为,则二面角的余弦值为.【点睛】本
13、题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.17.已知函数（k为常数，且）（1）在下列条件中选择一个_使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.【答案】（1），理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.【详解】（1）不能使成等比数列.可以：由题意，即，得，且，.常数且，为非
14、零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，所以当时，.因为，所以，所以，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意得到甲同学的选择的情
15、况，从而得到概率；（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案.【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，故甲参加围棋比赛的概率为； （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，则所有的可能为，其中满足条件有，两种，故所求概率.【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题19.已知函数，实数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若存在，使得关于x的不等
16、式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，与，根据导数判断原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子，并构造函数，计算，然后再次构造函数，利用导数判断的单调情况，可得结果.【详解】（1）由题知的定义域为，.，由可得.（i）当时，当时，单递减；（ii）当时，当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由题意：不等式在成立即在时有解.设，只需.则，因为，所以在上，在上，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此.不等式在成立，则恒成立.又，所以恒成立.令，则.在上，单调递增；在上，
17、单调递减.所以.因此解可得且，即且.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.20.椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求证：直线恒过一个定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）设点，由，结合斜率公式化简得出，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.【详解】（1）依题意得，解得即椭圆：；（2）设点，
18、其中，由，得，即，注意到，于是，因此，满足由的任意性知，即直线恒过一个定点.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.21.定义：若数列满足所有的项均由，1构成且其中有个，1有个，则称为“数列”.（1），为“数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？（2），为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为.【答案】（1）16种；（2）共有115个数对符合题意.【解析】【分析】（1）将问题分为“，1”，“1，1，1”两种情况，结合分类计数原理，即可容易求得结果；（2）根据古典概型的概率计算，以及组合数的计算，根据之间的关系，分类讨论解决问题.【详解】（1）三个数乘
19、积为1有两种情况：“，1”，“1，1，1”，其中“，1”共有：种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理得：，为“数列”中的任意三项，则使得的取法有：种.（2）与（1）基本同理，“，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：，再根据组合数的计算公式能得到：，时，应满足，,，,3,4,，共99个，时，应满足，视为常数，可解得，根据可知，（否则，下设，则由于为正整数知必为正整数，化简上式关系式可以知道：，均为偶数，设，则，由于，中必存在偶数，只需，中存在数为3的倍数即可，3，5，6，8，9，11，23，24，11，13，47，49.检验：，符合题意，共有16个，综上所述：共有115个数对符合题意.【点睛】本题考查古典概型、分步计数原理，组合问题的求解，涉及方程和不等式，属综合困难题.
