1、广东省番禺区2020届高三数学摸底测试试题 理（含解析）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集U=R，则（ ）A. 1，3)B. (1，3C.
2、 (1，3)D. (2，1【答案】A【解析】【分析】首先确定集合中的元素，然后由集合运算法则计算【详解】由题意，故选：A.【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次不等式的解法，掌握集合的运算定义是解题关键本题还考查了对数型复合函数的定义域需要掌握对数函数的性质2.设（i为虚数单位），其中x，y是实数，则等于（ ）A. 5B. 13C. 22D. 2【答案】A【解析】分析】把已知等式两边都化为复数的代数形式，然后由复数相等的定义求出，再根据复数模的定义求得模【详解】由得，解得，故选：A.【点睛】本题考查复数相等的概念，考查求复数的模掌握复数相等的概念是解题关键3.函数的部分图象大致为（ ）A B
3、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个，再由时，又排除一个，从而得正确选项【详解】，是奇函数，排除A.B，时，排除C，只有D可选故选：D.【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，可用排除法，先确定函数的奇偶性，再确定函数值的变化趋势，特别是时，函数值的变化趋势4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.【点睛】该题考查的是有关图象的平移变
4、换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.5.等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得等比数列的公比，进而由等比数列的通项公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案【详解】根据题意，等比数列中，若，则，若，则，解可得，则，又由，则有，解可得；故选B【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前项和的性质6.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（
5、）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到0.001）A 0.110B. 0.112C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意知,，代入公式,求出即可.【详解】由题意可得,因为,所以,即.所以这种射线的吸收系数为.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.7.平面平面的一个充分条件是（）A. 存在一条直线a，a，aB. 存在一条直线a
6、，a，aC. 存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD. 存在两条异面直线a，b，a，b，a，b【答案】D【解析】【详解】对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面相交或平行故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面相交或平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线若平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确8.设函数的导函数为，且，则曲线在点(4，f(4)处切线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出导函数，从而先求出得函数解析式，得导函数，然后可求得切线
7、斜率【详解】由得，斜率为1，倾斜角为故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义 ，解题关键求出导函数，求出9.已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用是函数的最值求得参数，然后再确定的性质【详解】由题意，解得，中一个取值1一个取值，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角函数的最值、周期、对称性等正弦函数的性质：过正弦函数图象的最高点或者最低点与边垂直的直线是其对称轴即对称轴对应的函数值是最值10.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同
8、属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.11.已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】设的坐标，点的坐标，根据向量关系解方程即可得解.【详解】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标，所以向量：，由向量线性关系可得：，解得：，代入
9、抛物线方程可得：，则，由两点之间的距离公式可得：.故选：A.【点睛】此题考查根据直线与抛物线的交点构造向量关系求解参数，考查基本运算.12.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：平面分正方体所得两部分的体积相等；四边形一定是平行四边形；平面与平面不可能垂直；四边形的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正方体的性质对每个命题进行判断结合排除法可选正确结论【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥，四棱锥，三棱锥，截面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），正确，排除B；由正方体相对两个面
10、平行，根据面面平行的性质定理知四边形的两组对边平行，从而是平行四边形，正确，排除A；当是中点，是中点，这时可证平面（先证），从而平面与平面垂直，错误，排除D，只有C可选了事实上，四边形即有最大值也有最小值与（或）重合时面积最大，是中点时，面积最小设，正方体棱长为1，在中，所以，所以，所以或1时，取得最大值正确故选：C【点睛】本题考查正方体的截面的性质解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系如果空间想象能力丰富，结论易得，由正方体对称性，正确，从运动角度考虑，当从运动到时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值正确，易于从面线面关系说明二填空题：本题共4小题，每小题5
11、分，共20分.13.的展开式中项的系数是_【答案】420【解析】【分析】利用多项式乘法法则确定项的系数，【详解】由题意展开式中项的系数是故答案为：420.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求多项式展开式中某一项系数，可能利用多项式乘法法则，结合组合的知识求解14.已知实数满足则取得最大值的最优解为_.【答案】（4，2）【解析】【分析】首先作出不等式组表示的可行域,然后利用z的几何意义，作出直线,向上平移直线到最高点,此时目标函数取得最大值,求出此时直线与可行域的交点坐标即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示：作出直线如图所示,向上平移直线，当经过点A时,目标函数取得最大值,所以点A
12、所对的坐标即为所求的最优解.联立方程,解方程组得,即点A坐标为.故答案为:【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题;利用z的几何意义和数形结合的思想是求解本题的关键;属于中档题.15.设数列的前n项和为，且，则数列的前10项的和是_【答案】【解析】【分析】利用得出数列的递推关系，变形后求出，然后用裂项相消法求和【详解】由题意，时，即，数列是等差数列，公差为2，首项为1，数列的前10项的和为故答案：【点睛】本题考查由数列与的关系求通项公式，考查裂项相消法求数列的和掌握关系式是解题关键16.已知函数，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数关于直线的对
13、称函数，令与的图象有交点得出的范围即可【详解】关于直线对称的直线为，直线与在上有交点，作出与函数图象，如图所示：若直线经过点，则，若直线与相切，设切点为，则，解得，故答案为.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题三解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.在ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若（1）求a；（2）已知点M在边BC上，且AM平分BAC，求ABM的面积【答案】（1）
14、2；（2）【解析】【分析】（1）由平方关系求出，由二倍角公式求得，由正弦定理求得；（2）用诱导公式求出，由正弦定理求出，用三角形内角平分线定理求出，由三角形面积公式计算即得【详解】（1），由得；（2），由（1），由正弦定理得又平分，又，【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换掌握正弦定理是解题关键18.如图，已知三棱柱中，平面平面，.（1）证明：；（2）设，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连结.由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直平面，平面，从而，于是证得线面垂直后再得线线垂直；（2）取的中点为，连结，证
15、得与都垂直后，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角【详解】（1）连结.，四边形为菱形，.平面平面，平面平面，平面，平面.又，平面，.，平面，而平面， （2）取的中点为，连结.，四边形为菱形，.又由（1）知，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设，（0，0，0），（1，0，），（2，0，0），（0，1，0），（-1，1，）.由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，.，.令，得，即.，二面角的余弦值为【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角立体几何中证明垂直
16、时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角19.已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点.若直线与的斜率之和为1,求实数的值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）设P,A,B的坐标，由坐标化可得变量间的关系，再由,求出曲线的方程 （2）设直线的方程及和坐标，由直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理、 根的判别式、直线的斜率，结合已知条件能求出定点的坐标以及此常数 【详解】解：（1）设.，即.又，.从而.曲线的
17、方程为.（2）设.联立，消去，得.由，可得.又直线不经过点，且直线与的斜率存在，.，且.，.，.解得.的值为3.【点睛】本题考查曲线方程的求法， 考查满足条件的轴上的定点是否存在的判断与求法， 考查椭圆、 直线方程、 根的判别式、 韦达定理等基础知识， 考查函数与方程思想， 考查运算求解能力， 是中档题 20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000
18、元.某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【答案】（）见解析；（）选择延保方案二较合算【解析】【分析】（）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，
19、比较二者的大小即可选出最合算的方案【详解】解：（）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，的分布列为 0123456 （）选择延保一，所需费用元的分布列为： 70009000110001300015000 （元）.选择延保二，所需费用元的分布列为： 100001100012000 （元）.，该医院选择延保方案二较合算.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题21.已知函数（1）若在1，+)上恒成立，求a的取值范围（2）证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）构造函数，要求在上的最小值即得；（2）由（1）时有，且当时，令，得个不
20、等式，相加后即证【详解】（1）设，即时，恒成立，在上是增函数，满足题意，时，有两个不等实根，不妨设，则，当时，递减，时，递增，在时，又，令，在上递减，在上不恒成立，综上，即的取值范围是（2）由（1）时，且当时，令，则有，这个不等式相加得，整理得证毕【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，用导数证明不等式，不等式恒成立问题常常转化为研究函数的最值，为了研究导函数的正负，可能对导函数（或其中一部分构成的新函数）再求导，确定正负，确定单调性22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（）曲线C的普通方程和直线
21、的直角坐标方程；（）求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即，结合，所以将参数方程化为，即可化为普通方程；展开，代入，即可化为直角坐标方程；（）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】解：（），平方后得，又，的普通方程为.，即，将，代入即可得到.（）将曲线C化成参数方程形式为（为参数），则，其中所以.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.23.设函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意，恒有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法，当，分三种情况讨论，求解不等式即可得解；（2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得，再转化为恒成立，再分和讨论即可得解.【详解】解：（1）当时，则等价于或或，解得或，所以的解集为（2）由绝对值不等式的性质有：，由恒成立，有恒成立，当时不等式显然恒成立，当时，由得，综上，的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
