1、2021年广东省潮州市高考数学第一次质检试卷（一模）一、选择题（共12小题）（一）单项选择题（共8小题）.1已知集合Ax|x25x+40，集合Bx|x2，则AB（）A（1，0）B（1，4）C（2，4）D（0，4）2若复数zm（m1）+（m1）i是纯虚数，实数m（）A1B0C0或1D1或13在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，直线AD与直线BC1所成的角为60，则该长方体的体积为（）ABCD4为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，已知该班某学生的
2、脚长为24厘米，据此估计其身高为（）厘米A165B169C173D1785已知抛物线x24y的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）AB2CD56已知函数f（x）|x1|（x+1），若关于x的方程f（x）k有两个不同的实数解，则实数k的值为（）A0B1C0和1D0和17已知倾斜角为的直线l：ykx2与圆x2+（y1）21相切，则的值为（）ABCD8已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于，则球O的体积等于（）ABCD（二）多项选择题（共4小题）.9判断平面与平面平行的条件
3、可以是（）A平面内有无数条直线都与平行B直线a，b，且a，bC平面，且平面D平面内有两条不平行的直线都平行于平面10下列判断正确的是（）A“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件B命题“xR，使x2+x10”的否定是：“xR，均有x2+x10”C若随机变量服从二项分布：，则E（）1D若随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则P（2）0.2111将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A函数f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为B函数f（x）g（x）是奇函数C函数f（x）+g（x）在（0，）上的单调递减区间是D函数f（x）g（x）的图象的一个
4、对称轴方程为12给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f（x）存在，且导函数f（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数记f（x）（f（x），若f（x）0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是（）Af（x）sinxcosxBf（x）lnx2xCf（x）x3+2x1Df（x）xex二、填空题（共4小题）.13（x3）4展开式中常数项为 14新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为 15周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷
5、雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为 尺16已知定义域为R的函数是奇函数，则不等式解集为 三、解答题（共6道小题，共70分.）17ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a4，面积（）求sinA的值；（）点D在线段AB上，满足，求线段CD的长18已知数列an满足2anSn+n，Sn为数列an的前n项和（）求证：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）设，数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn119如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1在底面ABC上的射影
6、恰为点B，且ABACA1B2（）证明：平面A1AC平面ABB1；（）求二面角C1ABA1的大小20某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为9，10），10，11），11，12），12，13），13，14），五个小组（所调查的芯片得分均在9，14内），得到如图所示的频率分布直方图，其中ab0.18（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；
7、若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这
8、100颗芯片？请说明理由21已知椭圆C：+1（ab0），P（2，0）、Q（1，）是椭圆C上的两点（）求椭圆C的方程；（）是否存在直线与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）lnx（m+2）x，k（x）mx22（）讨论函数f（x）的单调性；（）设m0，若存在，使得不等式f（x）k（x）成立，求m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.（一）单项选择题（共8小题）.1已知集合Ax|x25x+40，集合Bx|x2，则AB（）A（1，0）B（1，4）C（2，4）D（0，4）【分析】可求出集合A，然后进
9、行交集的运算即可解：Ax|1x4，Bx|x2，AB（2，4）故选：C2若复数zm（m1）+（m1）i是纯虚数，实数m（）A1B0C0或1D1或1【分析】利用纯虚数的定义即可得出解：复数zm（m1）+（m1）i是纯虚数，m（m1）0，m10，m0，故选：B3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，直线AD与直线BC1所成的角为60，则该长方体的体积为（）ABCD解：BCAD，直线AD与直线BC1所成的角为60，C1BC是AC1与BC所成的角，C1BC60，AB2，BC1可得CC1，该长方体的体积V2故选：C4为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随
10、机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，已知该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为（）厘米A165B169C173D178【分析】由题意首先确定样本中心点，然后求得回归方程，最后估计学生的身高即可解：由题意可得：，回归方程经过样本中心点，则：，故 ，回归方程为：，据此可预测其身高为：424+73169 厘米故选：B5已知抛物线x24y的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）AB2CD5【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，判断双曲线的渐近线的斜率，推出ab，由离心率公式即可得到所求解：
11、抛物线x24y的准线方程为y1，平行坐标轴，双曲线的两条渐近线，关于y轴对称，抛物线的准线与双曲线的渐近线组成等腰直角三角形，所以双曲线的渐近线的斜率为：1，可得ab，ca，则e故选：A6已知函数f（x）|x1|（x+1），若关于x的方程f（x）k有两个不同的实数解，则实数k的值为（）A0B1C0和1D0和1【分析】画出函数f（x）的图像，结合图像求出k的值即可解：f（x）|x1|（x+1），画出函数f（x）的图像，如图示：，结合函数图像得：k1或k0时，方程f（x）k有两个不同的实数解，故选：D7已知倾斜角为的直线l：ykx2与圆x2+（y1）21相切，则的值为（）ABCD【分析】由已知结合
12、直线与圆相切的性质可求斜率k，然后结合直线倾斜角与斜率关系可求tan，进而可求sin，再由诱导公式进行化简可求解：因为ykx2与圆x2+（y1）21相切，所以1，解得，k，即tan，因为（0，），所以sin，则2sin故选：A8已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于，则球O的体积等于（）ABCD解：当此四棱锥体积取得最大值时，SO底面ABCD，设正方形ABCD的边长a，则4a2，解得a，则球的半径ra1则球O的体积V12故选：A（二）多项选择题（共8小题）.9判断平面与平面平行的条件可以是（）A平面内有
13、无数条直线都与平行B直线a，b，且a，bC平面，且平面D平面内有两条不平行的直线都平行于平面【分析】对于A，与相交与平行；对于B，与相交与平行；对于C，由面面平行的判定定理得；对于D，由面面平行的判定定理得解：对于A，平面内有无数条直线都与平行，则与相交与平行，故A错误；对于B，直线a，b，且a，b，则与相交与平行，故B错误；对于C，平面，且平面，则由面面平行的判定定理得，故C正确；对于D，平面内有两条不平行的直线都平行于平面，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：CD10下列判断正确的是（）A“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件B命题“xR，使x2+x10”的否定是：“xR，均有x2
14、+x10”C若随机变量服从二项分布：，则E（）1D若随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则P（2）0.21【分析】直接利用不等式的性质，命题的否定，二项分布，正态分布的关系式的应用判断A、B、C、D的结论解：对于A：当“am2bm2”时，则“ab”成立，当“ab”且m0时，“am2bm2”不成立，故“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件，故A正确；对于B：命题“xR，使x2+x10”的否定是：“xR，均有x2+x10”，故B错误；对于C：随机变量服从二项分布：，则E（）1，故C正确；对于D：随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则P（2）1P（4）10.790
15、.21，故D正确故选：ACD11将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A函数f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为B函数f（x）g（x）是奇函数C函数f（x）+g（x）在（0，）上的单调递减区间是D函数f（x）g（x）的图象的一个对称轴方程为【分析】根据“左加右减”的平移原则和诱导公式可知g（x）cos2x，由辅助角公式可得f（x）+g（x）sin（2x+），由二倍角公式可得f（x）g（x）sin4x，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断四个选项即可解：g（x）sin2（x+）cos2x，选项A，f（x）+g（x）sin2x+cos2xsin（2x+），令
16、2x+k，kZ，则x，kZ，函数f（x）+g（x）的对称中心为（，0），kZ，不包含点，即选项A错误；选项B，f（x）g（x）sin2xcos2xsin4x，为奇函数，即选项B正确；选项C，令2x+2k，+2k，kZ，则x+k，+k，kZ，函数f（x）+g（x）的单调递减区间为+k，+k，kZ，x（0，），x，即选项C正确；选项D，令4x+k，kZ，则x+，kZ，当k1时，函数f（x）g（x）的图象的一个对称轴方程为，即选项D正确故选：BCD12给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f（x）存在，且导函数f（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数记f（x）（f（x），若f（x）0在
17、D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是（）Af（x）sinxcosxBf（x）lnx2xCf（x）x3+2x1Df（x）xex【解答】解:A由f(x)sinxcosx,得f(x)cosx+sinx,当时,这与f(x)在定义域中小于0不符,故A错误；B由f(x)lnx2x,得,f(x)0在上恒成立,故B正确；C由f(x)x3+2x1,得f(x)3x2+2,f(x)6x,f(x)6x0恒成立,故C正确；D由f(x)xex,得f(x)ex(x1),f(x)ex(2x),时,2x0,ex0,f(x)0恒成立,与f(x)在定义域中小于0不符,故D错误故选：BC二、填空题（本题
18、共4小题，每小题5分，共20分）13（x3）4展开式中常数项为4【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1（x3）4r即可求得展开式中的常数项解：设展开式的通项为Tr+1，则Tr+1（x3）4r（1）rx124r令124r0得r3开式中常数项为：（1）34故答案为：414新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为【分析】每市随机分配2名医生，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人被分配在不同城市的概率解：新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生
19、支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，基本事件总数n6，甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数m2，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为P故答案为：15周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为12.5尺解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列an，由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.
20、5尺，所以，解得，所以立春的日影子长为a4a1+3d12.5尺故答案为：12.516已知定义域为R的函数是奇函数，则不等式解集为（，1）【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（x）f（x），即，变形分析可得m的值，即可得函数的解析式，由此分析函数的单调性，结合函数的奇偶性、单调性将原不等式转化，求出不等式的解集，即可得答案解：根据题意，定义域为R的函数是奇函数，则有f（x）f（x），即，变形可得：（2x1）（m2）0，必有m2，则f（x）（1），故f（x）在R上为减函数，则f（log3x）+flog3（1x）0f（log3x）+flog3（1x）0flog3（1x）f（log3x），则有，解可
21、得x1，即不等式的解集为（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共6小题）.17ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a4，面积（）求sinA的值；（）点D在线段AB上，满足，求线段CD的长【分析】（）由已知结合三角形的面积公式进行化简可得tanB，结合B的范围求出B，然后结合正弦定理得到sinA的值，（）由已知利用余弦定理可得c24c120，解方程可得c的值，由已知可求BD的值，在BDC中，由余弦定理可求得CD的值解：（）因为SacosBacsinB，所以tanB，因为B为三角形内角，所以B，由正弦定理得，所以sinA（）因为a4，B，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得
22、2816+c224c，即c24c120，解得c6或c2（舍去），因为，可得BD2，所以在BDC中，由余弦定理可得CD218已知数列an满足2anSn+n，Sn为数列an的前n项和（）求证：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）设，数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn1【分析】（）由已知数列递推式可得an2an1+1，由此构造等比数列an+1，求其通项公式后可得数列an的通项公式；（），由此利用裂项求和法即可证明Sn1【解答】证明：（）由2anSn+n，得当n2时，2an1Sn1+（n1），两式作差可得：2an2an1an+1，即an2an1+1an+12（an1+1）则2当n1时，2
23、a1a1+1，得a11数列an+1是以a1+12为首项，以2为公比的等比数列，an+122n12n，则an2n1（），所以Snb1+b2+bn（）+（）+（）11，所以Sn119如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1在底面ABC上的射影恰为点B，且ABACA1B2（）证明：平面A1AC平面ABB1；（）求二面角C1ABA1的大小【分析】（）根据平面与平面垂直的判定定理证明；（）寻找二在角的平面角，转化到等腰直角三角形中求解【解答】（）证明：因为A1在底面ABC上的射影恰为点B，所以A1B平面ABC，所以A1BAC，因为ABAC，又因为A1BABB，A1B平面ABB1，AB平面ABB
24、1，所以AC平面ABB1，AC平面A1AC，所以平面A1AC平面ABB1（）解：因为ACA1C1，ABAC，所以ABA1C1，因为A1B平面ABC，所以ABA1B，所以AB平面A1BC1，所以ABC1B，ABA1B，所以A1BC1为二面角C1ABA1的平面角，因为ACA1C1，A1BAC，所以A1C1A1B，又因为ACA1B，ACA1C1，所以A1BAC，所以A1BC145，故二面角C1ABA1的大小为4520某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为9，10），10，11），11，12），12，13），13，14），五个小组（所调查的
25、芯片得分均在9，14内），得到如图所示的频率分布直方图，其中ab0.18（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不
26、合格已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由【分析】（1）依题意，（0.05+a+b+0.35+0.28）11，再由ab0.18求出a0.25，b0.07，由此能求出这100颗芯片评测分数的平均数（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p10.050.250.
27、7设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，分别求出相应的概率，由此能求出每颗芯片的测试费用的数学期望1097.91元，从而求出预算经费不够测试完这100颗芯片解：（1）依题意，（0.05+a+b+0.35+0.28）11，故a+b0.32又因为ab0.18所以a0.25，b0.07，所求平均数为9.50.05+10.50.25+11.50.35+12.50.28+13.50.0711.57（万分）；（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率p10.050.250.7设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为60
28、0，900，1200，1500，P（X600）0.320.09，P（X900）0.73+0.70.32+0.30.70.30.469，P（X1200）0.1323，P（X1500）0.3087，故每颗芯片的测试费用的数学期望为E（X）6000.09+9000.469+12000.1323+15000.30871097.91（元），因为1001097.91100000，所以预算经费不够测试完这100颗芯片21已知椭圆C：+1（ab0），P（2，0）、Q（1，）是椭圆C上的两点（）求椭圆C的方程；（）是否存在直线与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点M（0，m），使|+2|2|成立？若存在，求出实数m
29、的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（）由椭圆过点P，Q，列方程组，解得a，b，c，进而可得答案（）假设存在这样的直线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为ykx+m，联立椭圆的方程，结合韦达定理，可得x1+x2，x1x2，y1y2，由|+2|2|，得，即x1x2+y1y20，即8k25m280，代入0，即可得出答案解：（）根据题意可得，解得b22，c26，所以椭圆的方程为+1（）假设存在这样的直线，由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为ykx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m280，16（8k2m2+2）0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2
30、，x1x2，y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2，由|+2|2|，得，即0，即x1x2+y1y20，故8k25m280，代入（*）解得m或m所以m的取值范围为（，）（，+）22已知函数f（x）lnx（m+2）x，k（x）mx22（）讨论函数f（x）的单调性；（）设m0，若存在，使得不等式f（x）k（x）成立，求m的取值范围【分析】（）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；（）将原问题转化为函数最小值小于零的问题，然后结合导函数研究函数的性质即可确定实数m的取值范围解：（）f（x）lnx（m+2）x的定义域为（0，+），且 f（x）（m+
31、2），当m+20，即m2时，f（x）（m+2）0恒成立，故函数f（x）在（0，+）上单调递增，当m+20，即m2时，令f（x）0，解得0x，令f（x）0，解得 x，故函数f（x）在（0，） 单调递增，在 （，+）单调递减，综上，当m2时，函数f（x）在（0，+）上单调递增，当m2时，函数f（x）在在（0，） 单调递增，在（，+） 单调递减，（）若存在x，1使得不等式f（x）k（x）成立，即存在x，1使得不等式mx2（m+2）x+lnx+20成立，令 g（x）mx2（m+2）x+lnx+2，x，1，则 g（x）min0，g（x），当m2时，g（x）0在x，1恒成立，则函数g（x）在，1上单调递增，g（x）ming（）+ln+20，解得m4（1ln2），当1m2时，1，g（x）在，上单调递减，在，1上单调递增，则 g（x）ming（）+ln（m+2）+2lnm+1，令h（x）lnx+1，x（1，2），h（x）+0恒成立，即函数h（x）lnx+1在（1，2）上单调递减，又h（1）ln11+10，故h（x）lnx+10 在x（1，2）上恒成立，即g（x）minlnm+10，故m（1，2）满足题意，当0m1时，1，g（x）0在x，1上恒成立，故函数g（x）在x，1上单调递减，g（x）ming（1）m+ln1（m+2）1+20，不符题意，舍去，综上可得m的取值范围是（1，+）
