1、2.2 函数的单调性与最大(小)值第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1函数的单调性(1)增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是(2)单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)
2、，区间 D 叫做 yf(x)的2函数的最值(1)最大值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有；存在 x0I，使得那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值(2)最小值 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足：对于任意的 xI，都有；存在 x0I，使得那么我们称 N 是函数 yf(x)的最小值自查自纠1(1)任意两个 增函数 任意两个 减函数(2)单调性 单调区间2(1)f(x)M f(x0)M(2)f(x)N f(x0)N 1.(2019江苏南通一中期中)下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()A.y1xxB.
3、yx2xC.ylnxx D.yexx解：对于 A，y11x在(0，)内是减函数，y2x 在(0，)内是增函数，则 y1xx 在(0，)内是减函数；B，C 选项中的函数在(0，)上均不单调；选项 D 中，yex1，而当 x(0，)时，y0，所以函数 yexx 在(0，)上是增函数故选 A.2.(2017全国卷)函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A.(，2)B.(，1)C.(1，)D.(4，)解：函数有意义，则 x22x80，解得 x4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，)故选 D.3.已知 f(x)为 R 上的减函数，则满
4、足 f 1x f(1)的实数 x 的取值范围是()A.(，1)B.(1，)C.(，0)(0，1)D.(，0)(1，)解：由题意知，1x0，所以 x1.故选 D.4.(2018福建龙岩模拟)函数 f(x)13xlog2(x4)在区间2，2上的最大值为_.解：函数 f(x)在区间2，2上单调递减，则函数的最大值为f(2)132log2(24)918.故填 8.5.(2019广东东莞一中期末)函数 y2xx1(x(m，n)的最小值为 0，则 m 的取值范围是_.解：当 x2 时，y0，函数 y2xx13（x1）x1 3x11 在区间(1，)上是减函数根据题意 x(m，n时，ymin0，所以 m 的取
5、值范围是1m2.故填1，2)类型一 确定函数的单调性与单调区间例 1(1)(天津六校 20192020 届高一上期中联考)函数 yx25x4的单调递增区间是()A.52，B.4，)C.52，4D.1，52，4，)解：由 x25x40 x1 或 x4，而 ux25x4 在(，1上单调递减，在4，)上单调递增，y u在0，)上单调递增，故由复合函数单调性知所求为4，)故选 B.(2)函数 ylog12(x23x2)的单调递增区间是()A.(，1)B.(2，)C.，32D.32，解：由 x23x20，解得 x2，因此函数 ylog12(x23x2)的定义域为(，1)(2，)令 ux23x2，ylog
6、12u(u0)，由于内层函数 ux23x2 在 x(，1)上单调递减，外层函数 ylog12u 在u(0，)上单调递减，由复合函数单调性可知，函数 ylog12(x23x2)的单调递增区间是(，1)故选 A.(3)函数 f(x)(3x2)ex 的单调递增区间是()A.(，0)B.(0，)C.(，3)D.(3，1)解：f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex，由于 ex0，令 f(x)0，则有 x22x30，解得3x1，故函数 f(x)的单调递增区间为(3，1)故选 D.(4)求函数 f(x)|x24x3|的单调区间.解：先作出函数 yx24x3 的图象，由于绝对值的作用，把图象在 x
7、轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y|x24x3|的图象，如图所示 由图可知 f(x)在(，1和2，3上为减函数，在1，2和3，)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为1，2，3，)，单调递减区间为(，1，2，3 (5)已知函数 f(x)x21ax.证明：当 a1 时，函数 f(x)在区间0，)上为单调减函数.证明：任取 x1，x20，)，且 x1x2，f(x1)f(x2)x211ax1 x221ax2 x211 x221a(x1x2)x21x22x211 x221a(x1x2)(x1x2)x1x2x211 x221a.因为 0 x1 x211，0 x2 x221，所以 0 x1x2x211
8、 x2210，即函数 f(x)在0，)上为单调减函数 评析 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例 1(1)(2).函数单调性的判断方法主要有：定义法，图象法，利用已知函数的单调性，导数法等.复合函数 yf(g(x)的单调性应根据外层函数 yf(t)和内层函数 tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.变式 1(1)已知函数 f(x)2x1x1，则 f(x)()A.在(，0)上单调递增B.在(0，)上单调递增C.在(，0)上单调递减 D.在(0，)上单调递减解法一：因为 f(x)2x1x1 2（x1）3x12 3x1，函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，且在(，
9、1)及(1，)上均单调递增，又(0，)(1，)，故函数 f(x)在(0，)上单调递增 解法二：函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x)3（x1）20 在定义域上恒成立，又(0，)(1，)，因此函数 f(x)在(0，)上单调递增故选 B.(2)(2019山东济宁一中期末)已知函数 f(x)loga(x22x3)(a0 且 a1)，若 f(0)0，可得3x1，故函数 f(x)的定义域为x|3x1根据 f(0)loga30，可得 0a1，则即求函数 g(x)在(3，1)内的单调递减区间又 g(x)在定义域(3，1)内的单调递减区间是1，1)，所以 f(x)的单调递增区间为1，1)故选 C.
10、(3)函数 f(x)sinxx 的单调递减区间是()A.(，0)B.(1，)C.(，)D.，2 解：f(x)sinxx，f(x)cosx10，即函数 f(x)在R 上是减函数故选 C.(4)求函数 f(x)x22|x|3 的单调区间.解：因为 f(x)x22x3，x0，x22x3，x0，其图象如图所示，所以函数 yf(x)的单调递增区间为(，1和0，1，单调递减区间为1，0和1，)(5)试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性.解法一：设1x1x21，f(x)ax11x1a1 1x1，f(x1)f(x2)a11x11 a11x21 a（x2x1）（x11）（x21），由于1x
11、1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增类型二 函数单调性的应用例 2(1)(2019全国卷)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，)单调递减，则()A.flog314 f(232)f(223)B.flog314 f(223)f(232)C.f(232)f(223)flog314D.f(223)f(232)flog314解：因为 f(x)是定义域为
12、R 的偶函数，所以 flog314 f(log34)因为 log34log331，120223232，所以 log34223 232，又 f(x)在(0，)单调递减，所以 f(log34)f(223)f(223)flog314.故选 C.(2)(2019河北衡水二中月考)设函数 f(x)2x，x2，x2，x2.若 f(a1)f(2a1)，则实数 a 的取值范围是()A.(，1 B.(，2 C.2，6 D.2，)解：易知函数 f(x)在定义域(，)上是增函数因为 f(a1)f(2a1)，所以 a12a1，解得 a2.故实数a 的取值范围是(，2故选 B.(3)已知 a0 且 a1，若函数 f(x
13、)logaax2(2a)x3在13，2 上是增函数，则 a 的取值范围是_.解：由复合函数单调性可知 当 a1 时，2a2a 13，19a2a3 30，解得 a65；当 0a0，解得16a25.所以 a 的取值范围是16，25 65，.故填16，25 65，.评析 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.函数的单调性常用来求最值，求参数范围，比较大小等.要注意挖掘解析式或已知条件中的隐含信息，合理转化.另外，变式 2(3)中的f（x1）f（x2）x1x20 是增函数的等价式.变式 2(1)如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1x)f
14、(x)，且当 x12时，f(x)log2(3x1)，那么函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为()A.2B.3C.4D.1 解：根据 f(1x)f(x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x12对称又函数 f(x)在12，上单调递增，故 f(x)在，12 上单调递减，则函数 f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.故选 C.(2)(天津市北辰区 2019 届高考模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上单调递增，则三个数 af(log313)，bflog1218，cf(20.6)的大小关系
15、为()A.abcB.acb C.bacD.cab 解：因为 2log39log313log3273，log1218log283，020.6212，所以020.6log313 log1218.因为f(x)为偶函数，所以 af(log313)f(log313)又 f(x)在0，)上单调递增，所以 flog1218 f(log313)f(20.6)，即 bac.故选 C.(3)已知 f(x)（2a）x1，x1，ax，x1，满足对任意 x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20 成立，那么 a 的取值范围是_.解：由已知条件得 f(x)为增函数，所以2a0，a1，（2a）11a，解得32a2，所以
16、a 的取值范围是32，2.故填32，2.(4)(2019甘肃会宁联考)若 f(x)xa1x2 在区间(2，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_.解：f(x)xa1x2 x2a3x21a3x2，要使函数在区间(2，)上是增函数，需使 a30，解得 a0 时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2.解：(1)证明：设 x1，x2R 且 x10，因为当 x0 时，f(x)1，所以 f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)10，即 f(x1)f(x2)，所以
17、 f(x)在 R 上是增函数(2)因为 m，nR，不妨设 mn1，所以 f(11)f(1)f(1)1，即 f(2)2f(1)1，又 f(3)4，所以 f(21)f(2)f(1)13f(1)24，得 f(1)2，所以 f(a2a5)2f(1)又因为 f(x)在 R 上为增函数，所以 a2a51，解得3a0 且 a1)；f(xy)f(x)f(y)，原型为 f(x)logax(a0 且 a1)；f(xy)f(xy)2f(x)f(y)(f(0)0)，原型为 f(x)cosx，等等.变式 3 f(x)的定义域为(0，)，且对一切 x0，y0都有 f xy f(x)f(y)，当 x1 时，有 f(x)0.
18、(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性并证明；(3)若 f(6)1，解不等式 f(x5)f 1x 2.解：(1)f(1)f xx f(x)f(x)0，x0.(2)f(x)在(0，)上是增函数 证明：设 0 x1x2，则由 f xy f(x)f(y)，得 f(x2)f(x1)f x2x1，因为x2x11，所以 f x2x1 0.所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x)在(0，)上是增函数(3)因为 f(6)f366 f(36)f(6)，又 f(6)1，所以 f(36)2，原不等式化为：f(x25x)f(36)，又因为 f(x)在(0，)上是增函数，所以x50，1x0，x25x36
19、，解得 0 x4.类型四 函数的最值例 4(1)(温州十五校联合体 20192020 学年高一期中)已知 a0，设函数 f(x)2 019x132 019x1(xa，a)的最大值为 M，最小值为 N，那么MN()A.2 025B.2 022C.2 020D.2 019解：由题可知，f(x)2 019x132 019x1 2 0192 0162 019x1，f(x)2 0192 0162 019x2 019x1，f(x)f(x)4 0382 0162 0162 019x2 019x14 0382 0162 022，因为 f(x)2 0192 0162 019x1在 xa，a为增函数，所以MNf(
20、a)f(a)2 022.故选 B.(2)(辽宁省六校协作体20192020学年高一上期中)设函数f(x)x1x，x12，3，则函数的最小值为_；若x12，3，使得a2af(x)成立，则实数 a 的取值范围是_.解：因为函数 f(x)x1x，x12，3，易得函数在12，1 为减函数，在1，3为增函数，所以 f(x)minf(1)112，即函数的最小值为 2.又x12，3，使得 a2af(x)成立，则 a2af(x)min，即 a2a2，解得 a2 或 a1，即实数 a 的取值范围是(，12，)故填 2；(，12，)评析 求函数最值的方法与求函数值域的方法大体一致(求函数值域的方法详见 2.1 节
21、)，应注意最值与值域的关系：函数的值域一定存在，而最值不一定存在；若函数的最值存在，依据其定义，则一定是值域中的元素；若值域是开区间，则函数无最值，若值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数 f(x)在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)；若函数 f(x)在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b).恒成立及存在成立问题常转化为值域问题，详见 3.3 节例 9“点拨”.变式 4(1)已知函数 f(x)log13x，x1，x22x，x
22、1，则 f(f(3)_，函数 f(x)的最大值是_.解：由于 f(x)log13x，x1，x22x，x1，所以 f(3)log1331，则 f(f(3)f(1)3.当 x1 时，由 f(x)log13x 是减函数，得 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_.解：()当 a12时，f(x)x 12x2，易证 f(x)在22，上是增函数 所以 f(x)在区间1，)上为增函数，所以 f(x)在区间1，)上的最小值为 f(1)72.()当 x1，)时，x22xax0 恒成立，则 x22xa0 对 x1，)恒成立，即 a(x22x)在 x1，)上恒成立 令 g(x)(x22x)(x1)21，x1
23、，)，所以 g(x)在1，)上是减函数，g(x)maxg(1)3.又 a1，所以3a1，故实数 a 的取值范围是(3，1 故填72；(3，11.证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法.注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设 x1，x2(a，b)，且 x1x2，那么(1)f（x1）f（x2）x1x20f(x)在(a，b)内是增函数；f（x1）f（x2）x1x20f(x)在(a，b)内是减函数.上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率恒大于(或小于)零.(2)(x1x2)f(x1)f(x2)
24、0f(x)在(a，b)内是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a，b)内是减函数.2.函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数.(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.(4)复合函数的单调性：如果 yf(u)和 ug(x)的单调性相同，那么 yf(g(x)是增函数；如果 yf(u)和 ug(x)的单调性相反，那么 yf(g(x)是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数 ug(x)的值域必
25、须是 yf(u)的单调区间的子集.(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程.3.函数最值的重要结论(1)设 f(x)在某个集合 D 上有最小值，m 为常数，则 f(x)m 在 D上恒成立的充要条件是 f(x)minm.(2)设 f(x)在某个集合 D 上有最大值，m 为常数，则 f(x)m 在 D上恒成立的充要条件是 f(x)maxm.4.自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若 f(x)是增(减)函数，则 f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号 f”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.
