1、42 圆锥曲线的共同特征43 直线与圆锥曲线的交点01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值 e.当 0e1 时，圆锥曲线是；当 e1 时，圆锥曲线是一个定点一条定直线椭圆双曲线抛物线二、曲线的交点由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)0 和曲线 C2：g(x，y)0，由于 M(x0，y0)是 C1 与 C2 的一个交点，所以，求两条曲线 C1 与 C2的交点，就是求方程组fx0，y00gx0，y00 的实数解三、方程组的解与曲线交点的关系方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有；方程组没有实数解，两条曲线
2、就f(x0，y0)0 且 g(x0，y0)0几个不同交点无交点想一想1直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点反之，直线与圆锥曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的但直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属直线与双曲线、直线与抛物线相交练一练2已知动点 P(x，y)满足|3x4y1|513 x12y52，则动点 P 的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D直线解析：点 P(x，y)到直线 3x4y10 的距离为
3、 d|3x4y1|5；点 P(x，y)到 A(1,5)的距离为|PA|x12y52，|PA|d 31，动点 P 的轨迹是双曲线答案：B探究一 圆锥曲线的共同特征及应用典例 1 已知抛物线 y24x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，对于定点 A(4,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时，P 点坐标解析 如图，作 PNl 于 N(l 为准线)，作 ABl 于 B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号(|PA|PF|)min|AB|415.此时 yP2，代入抛物线得 xP1，P(1,2)利用抛物线定义解决有关最值问题(1)要将问题利
4、用定义首先转化为几何知识(2)注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用1试在抛物线 y24x 上求一点 A，使 A 到点 B(3，2)与到焦点的距离之和最小解析：由已知易得点 B 在抛物线内，p21，准线方程 x1，过 B 作 BC准线 l于 C，直线 BC交抛物线于 A，则|AB|AC|为满足题设的最小值因为 CBx 轴，B 点坐标为(3，2)，所以 A点坐标为(x,2)又因点 A在抛物线上，所以 x224 1，所以 A(1,2)即为所求 A 点，此时最小值为|BC|31.2曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它到直线 l：x165 的距离之比是常数54，(1)求此曲线
5、方程；(2)在曲线求一点 P 使|PF|5.解析：(1)设 d 是点 M 到定直线 l 的距离，根据题意，曲线上的点 M 满足|MF|d 54，由此得 x52y2165 x54，即 x52y254165 x，两边平方整理得x216y291.(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|5，得 d4.即165 x 4，解得 x365 或 x45.由于|x|4，故 x45不合题意，舍去由 x365 得 y65 14.点 P 的坐标为365，6 145.探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题典例 2 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24 y221.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：
6、(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解析 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组y2xm x24 y221，将代入，整理得 9x28mx2m240.判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当 0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m3 2或 m3 2时，方程没有实
7、数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点直线 l 的方程为 AxByC0，圆锥曲线的方程为 F(x，y)0，由AxByC0Fx，y0，消元(如 y)后，得 ax2bxc0.(1)若 a0，直线与圆锥曲线有一个公共点，当直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，把直线方程代入相应圆锥曲线方程后得到的方程是一次方程，因此，直线和圆锥曲线只有一个交点，但不相切(2)若 a0，设 b24ac，0 时，相交于两点；0 时，相切于一点；b0)，显然，直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程，整理得(k2a2b2)x22k2a2xa2k
8、2a2b20.直线l与C交于A，B两点，4k4a44(a2k2a2b2)(k2a2b2)0，即k2a2k2b20.当0时，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，则x012(x1x2)k2a2k2a2b2.y012(y1y2)12k(x11)k(x21)kb2k2a2b2.M(x0，y0)在直线 y12x 上，kb2k2a2b212k2a2k2a2b2，k2b2a2.又b2a21e211212，k2b2a2 1.a22b2，椭圆 C 的方程为 x22b2y2b21.其右焦点为(b,0)，设点(b,0)关于直线 yx1 的对称点为点(x，y)，则
9、yxb1y2 1xb2x1，y1b.点(1,1b)在椭圆上，12(1b)22b2，解得 b2 916.把 b2 916，a298，k21 代入式，得 0.b2 916，a298.椭圆 C 的方程为 x22y298，直线 l 的方程为yx1.转化思想在研究圆锥曲线最值问题中的应用典例 已知点 A(1,2)在椭圆x216y2121 内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点 P，使|PA|2|PF|最小解析 因为 a216，b212，所以 c24，所以 c2.所以 F 为椭圆的右焦点，并且离心率为2412.设 P 到右准线的距离为 d，则|PF|12d，即 d2|PF|.所以|PA|2|PF|PA|d.由几何性质可知，当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的纵坐标相同时，|PA|d 最小把 y2 代入x216y2121得 x4 63 x4 63 舍去，即 P4 63，2 为所求的点感悟提高(1)利用圆锥曲线的共同特征能实现到焦点与到对应准线距离间的相互转化(2)在求形如：|AM|1e|MF|(其中 F 为焦点，A 为定点，M 为圆锥曲线上动点)的最小值时，常利用共同特征(也叫圆锥曲线的第二定义)把1e|MF|转化为焦点 F到相应准线的距离解决03课时 跟踪训练
