1、第一章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为(C)A圆锥 B三棱锥 C三棱柱 D三棱台解析：由三视图易知其图形为如图所示的三棱柱2下列说法中正确的是(C)三角形一定是平面图形；若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点可确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A B C D解析：过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，所以三角形一定是平面图形，所以对；两条对角线相交于一点的四边形一定是平面图形，所以对；三条平行线可确定一个或三个平
2、面，所以对；可以有无数个平面经过圆的一条直径，错故选C.3如图所示，l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是(C)A直线AC B直线AB C直线CD D直线BC解析：Dl，l，D，又C，CD.同理，CD平面ABC，平面ABC平面直线CD.4分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(D)A异面 B相交 C平行 D异面或相交解析：如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面5已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是(C)Alm，l Blm，l Clm，l Dlm，l解析
3、：如图，l可以垂直m，且l平行.6一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(A)A垂直 B平行 C相交但不垂直 D不确定解析：由条件知这条直线垂直于该三角形所在的平面，所以这条直线垂直于这个三角形的第三边7已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(C)A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3解析：根据三视图可知原几何体是三棱锥，VSh111(cm3)8在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确的是(C)A B C D解析：画图形(
4、图略)，可得正确9若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为(D)A123 B234 C324 D312解析：设球的半径为R，则V圆柱2R3，V圆锥R2(2R)R3，V球R3.则体积之比为2312.选D.10圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于(B)A1 B2 C4 D8解析：直观图如图，则2r2r22r2r(2r)21620，得5r24r21620，则r2.故选B.11在四面体ABCD中，下列条件不能得出ABCD的是(D)AABBC且ABBD BADBC且ACBD
5、CACAD且BCBD DACBC且ADBD解析：A项，ABBD，ABBC，BDBCB，AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.B项，设A在平面BCD内的射影为O，则AO平面BCD，ADBC，ACBD，O为BCD的垂心，连接BO，则BOCD.又AOCD，AOBOO，CD平面ABO，AB平面ABO，ABCD.C项，取CD中点G，连接BG，AG.ACAD且BCBD，CDBG，CDAG，BGAGG，CD平面ABG，AB平面ABG，ABCD，故选D.12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，现有下列结论：ACBE；平面AEF与平面ABCD的交线平行于直
6、线EF；异面直线AE，BF所成的角为定值；三棱锥ABEF的体积为定值，其中错误结论的个数是(B)A0个 B1个 C2个 D3个解析：在正方体中可得AC平面BDD1B1，故ACBE，正确；平面AEF平面A1B1C1D1EF，设平面AEF平面ABCDl，由平面ABCD平面A1B1C1D1知EFl，即正确；当F在B1的位置时，E为B1D1的中点O，A1AO为异面直线AE，BF所成的角，当E在D1的位置时，F在O的位置，OBC1为AE与BF所成的角，因为A1AOOBC1，所以不正确；SBEF为定值，A到平面BEF的距离即为A到平面BB1D1D的距离为定值，即正确故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小
7、题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为16 cm2.解析：圆柱的底面半径为r42(cm)，S侧22416(cm2)14已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，E是BB1上的点，则PEEC的最小值是17.解析：将正方体的侧面ABB1A1，BCC1B1放在同一平面内，如图，则PEEC的最小值为PC.15圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为a,2a.解析：如图，画出圆台轴截面，由题设，得OPA30，AB2a，设O1Ar，PAx，则OB2r，x2a4r，且x
8、2r，ar，即两底面圆的半径分别为a,2a.16在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，过体对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：四边形BFD1E有可能为梯形；四边形BFD1E有可能为菱形；四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D.其中正确的是(请写出所有正确结论的序号)解析：因为正方体中对面互相平行，所以截面与对面的交线互相平行，所以一定是平行四边形，不对；当E、F分别是所在棱的中点时，四边形BFD1E为菱形，对；根据投影知识知对；当E、F分别是所在棱中点时，EF平面BB1D1D，对三
9、、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积解：(1)直观图如图.(2)解法1：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个三棱柱而得到的，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，如图，则四边形AA1EB是正方形，AA1BE1 m.在RtBEB1中，BE1 m，EB11 m，BB1 m.几何体的表面积SS正方形AA1D1D2S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形ABCDS矩形A1B1C1
10、D112(12)11112(7) m2，几何体的体积V121 m3.该几何体的表面积为(7) m2，体积为 m3.解法2：该几何体可看成以四边形AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法1，V直四棱柱D1C1CDA1B1BASh(12)11 m3.该几何体的表面积为(7) m2，体积为 m3.18(12分)如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222.19(12分)如图，
11、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V.解：(1)证明：在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.四边形ABCD为矩形，BCAD，EFAD.又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)如图，连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G.则EG平面ABCD，且EGPA.在PAB中，APAB，PAB90，BP2，APAB，EG.SABCABBC2，VEABCSABCEG.20(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面AB
12、CD，M，N分别是AB，PC的中点，PAAD.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：平面PMC平面PCD.证明：(1)如图，取PD的中点E，连接EN，AE.N是PC的中点，EN綊DC.又AM綊DC，EN綊AM，四边形AENM是平行四边形，AEMN.又AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PAAD，E是PD的中点，AEPD.PA平面ABCD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.AE平面PAD，AECD.PDCDD，AE平面PCD.又AEMN，MN平面PCD.MN平面PMC，平面PMC平面PCD.21(12分)矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点，如图，沿
13、AE将DAE折起到D1AE的位置，使平面D1AE平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF平面D1BC；(2)求证：BED1A.证明：(1)如图，取AB的中点G，连接EG，FG，则EGBC，FGD1B，且EGFGG，EG平面EFG，FG平面EFG，D1BBCB，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，平面EFG平面D1BC.EF平面EFG，EF平面D1BC.(2)易证BEEA，因为平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE.BE平面D1AE.又D1A平面D1AE，BED1A.22(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.问：当点M在什么位置时，BM平面AEF?解：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M，连接MB.因为侧棱A1A底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC，所以OM底面ABC.则OM綊EC，又因为EC2FB2，所以OM綊FB，所以四边形OMBF为矩形，所以BMOF.又因为BM 平面AEF，OF平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点
