1、第三章 圆锥曲线与方程4 曲线与方程第29课时 直线与圆锥曲线的交点基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系.2.掌握求解有关直线与圆锥曲线的问题的方法.3.加强数形结合思想方法的训练与应用.基础巩固一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1已知双曲线方程为 x2y241，过点 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则满足题意的直线 l 共有()A4 条B3 条C2 条D1 条B解析：因为双曲线方程为 x2y241，所以 P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过点 P(1,0)并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只
2、有一个公共点，另外还有两条就是过点 P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线共有 3 条2已知抛物线 y28x 的弦 AB 过它的焦点，直线 AB 的斜率为 2，则弦 AB 的长为()A6 B8C10 D12C解析：由 y28x 得 p4，焦点(2,0)，则直线方程为 y2(x2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2x2，y28x，消去 y 得 x26x40，x1x26.|AB|x1x2p6410.3已知点 F1(1,0)，F2(1,0)，直线 l：yx2.若以 F1、F2为焦点的椭圆 C 与直线 l 有公共点，则椭圆 C 的离心率最大值为()A.105B.12C.
3、55D.22A解析：椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左右焦点分别是 F1(1,0)，F2(1,0)，可得 c1，则x2a2y2b21yx2，可得：(a2b2)x24a2x4a2a2b20，16a44(a2b2)(4a2a2b2)0，可得：4a2(2a21)(5a2)0，解得 a 102，eca 1102 105.故选 A.4已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2B解析：抛物线的焦点为 Fp2，0，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yxp2，即 xyp
4、2，代入 y22px 得 y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得y1y22p2(y1，y2 分别为点 A，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y24x，准线方程为 x1.5若椭圆x236y291 的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为()A2B2C.13D12BD解析：设弦端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x214y2136，x224y2236，x21x224(y21y22)，斜率 ky1y2x1x2 x1x24y1y2 2442212.故选 D.6已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B两点，F 为 C 的焦点若|FA|2|FB|，则
5、 k()A.13B.23C.23D.2 23D解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知 x10，x20，y10，y20，由ykx2，y28x，得 k2x2(4k28)x4k20，所以 x1x24，因为|FA|x1p2x12，|FB|x2p2x22，且|FA|2|FB|，所以 x12x22.由得 x21，所以 B(1,2 2)，代入 yk(x2)，得 k2 23.故选 D.7设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，方程 ax2bxc0 的两实根分别为 x1，x2，则点 P(x1，x2)()A必在圆 x2y22 内B必在圆 x2y22 外C必在圆 x2
6、y21 外D必在圆 x2y21 与圆 x2y22 形成的圆环之间D解析：椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，方程 ax2bxc0 的两实根分别为 x1，x2，则 x1x2ba，x1x2ca，x21x22(x1x2)22x1x2b2a22aca2 a2c2a21e2，因为0e1，即 0e21.所以 1e211，又b2a22aca2b2a2c2a22，所以 1x21x220，解得m3，m1.由x2my231 表示椭圆知，m0 且 m3.综上可知，m 的取值范围是(1,3)(3，)10斜率为 1 的直线与抛物线 y22x 相交于 A，B 两点，若|AB|4，则直
7、线 l 的方程为.yx12解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为 yxb，代入 y22x，有 x22(b1)xb20，所以 x1x22(1b)，x1x2b2.|AB|x1x22y1y22 2 x1x224x1x2 2 41b24b24.所以 b12，即 l 的方程为 yx12.11已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为.2 7解析：根据题意，设椭圆方程为 x2b24y2b21(b0)，将 x 3y4 代入椭圆方程，得 4(b21)y28 3b2yb412b20.椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，(8
8、 3b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为 2 b242 7.三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)已知双曲线 C：2x2y22 与直线 l 上一点 P(1,2)求直线 l 的斜率 k 为何值时，l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点？解：设直线 l 的方程为 y2k(x1)，代入 C 的方程，并整理得(2k2)x22(k22k)xk24k60.当 k 2时，方程有唯一解当 k 2时，由 0，得 k32.当直线 l 的斜率不存在时，l 与 C 只有一个交点(1,0)综上，当 k
9、2或 k32或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点；当 2k32或 k 2或 2k32时，l 与 C 没有交点13(13 分)设椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，过 M(2，2)，N(6，1)两点，O 为坐标原点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 ykx4(k0)与圆 x2y283相切，并且与椭圆 E 相交于两点 A，B，求证：OA OB.解：(1)因为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，过 M(2，2)，N(6，1)两点，所以 4a2 2b21，6a2 1b21，解得 1a218，1b214，所以a28，b24.椭圆 E 的方程为x28y241.(2)证明：设 A(x1，y
10、1)，B(x2，y2)，由题意得：d41k22 63，k 5，联立y 5x4，x28y241，化简得 11x216 5x240，有 x1x21611 5，x1x22411，x1x2y1y2x1x2(5x14)(5x24)6x1x24 5(x1x2)160，所以OA OB.能力提升14(5 分)已知双曲线方程为x24y241，过点(2 2，0)作直线l 与双曲线交于两点 A，B，记满足|AB|m 的直线 l 的条数为 f(m)，则 f(m)的可能取值为()A0,2,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4D2,4A解析：点(2 2，0)是双曲线的右焦点，当 l 为 x 轴时，|AB|4，当 lx
11、轴时，|AB|22 2 22414.所以当 0m4 时，根据双曲线的对称性知 f(m)4.15(15 分)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a.l 的方程为 yxc，其中 c a2b2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组yxcx2a2y2b21，消去 y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x22a2ca2b2，x1x2a2c2b2a2b2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|2|x2x1|2x1x224x1x2，得43a 4ab2a2b2，故 a22b2，所以 E 的离心率 eca a2b2a 22.(2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知x0 x1x22 a2ca2b223c，y0 x0cc3.由|PA|PB|得 PNNB，kPN1，即y01x0 1，得 c3，从而 a3 2，b3.故椭圆 E 的方程为x218y291.谢谢观赏！Thanks!
