1、章末分层突破自我校对一般形式的柯西不等式柯西不等式的三角形式反序和顺序和排序原理 利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式已知a，b，c是实数，且abc1，求证：4.【规范解答】因为a，b，c是实数，且abc1，令m(，)，n(1,1,1)，则|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.再练一题1设a，b，x，y都是正数，且xyab，求证：.【证明】a，b，x，y都大于0，且xyab.由柯西不等式，知(ax)(by)
2、2(ab)2.又axby2(ab)0，所以.排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组已知a，b，c为正实数，求证：abc.【规范解答】由于不等式关于a，b，c对称，可设abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得反序和乱序和，即a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式再练一题2设a，b，cR，求证：a5b5c5a3bcb3acc3ab.【证明】不妨设abc0，则a4b4c4，运用排序不等式有：a5b5c5aa4bb4cc4a
3、c4ba4cb4.又a3b3c30，且abacbc0，所以a4bb4cc4aa3abb3bcc3caa3bcb3acc3ab，即a5b5c5a3bcb3acc3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足设a，b，c为正实数，且a2b3c13，求的最大值【规范解答】由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知(a2b3c)()2()2()22()2，()2，即，当且仅当时取等号又a2b3c13，当a9，b，c时，取得最大值为.再练一题3已知实数a，b，c，
4、d，e满足a2b2c2d2e216.求abcde的最大值. 【导学号：32750060】【解】abcde4，所以abcde的最大值是4.1(2015陕西高考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值【解】(1)由|xa|b，得bax0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值【解】(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1
5、)知abc4，由柯西不等式，得(491)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值是.章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则的最小值为()A9B9C10D0【解析】9.【答案】B2已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为()A. B.C. D.【解析】4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，
6、即5e216e0，e(5e16)0，故0e.【答案】C3学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花()A300元 B360元 C320元 D.340元【解析】由排序原理，反序和最小，最小值为502403205320(元). 【答案】C4已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)的最小值为()A7 B9 C12 D.18【解析】由(a2b2c2)29，所以所求最小值为9.【答案】B5设a，b，c均小于0，且a2b2c23，则abbcca的最大值为() 【导学号：32750061】A0 B1 C3 D.【解析】由排序不等式a2b
7、2c2abbcac，所以abbcca3.【答案】C6若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是()A21 B. C16 D.【解析】1x2y4z ，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.【答案】B7函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是()A. B. C1 D.2【解析】f(x)cos x.又(cos x)2(21)(sin2xcos 2x)3，f(x)的最大值为.【答案】A8已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1，y2，则y1y2与x1x2的关系为()Ay1y2x1x2D.不能确定【解析】a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1y2x1x2.【答案】C 9已知半圆的直径AB2R
8、，P是弧AB上一点，则2|PA|3|PB|的最大值是()A.R B.RC2RD.4R【解析】由2|PA|3|PB|2R.【答案】C10设a1，a2，an为正实数，P，Q，则P，Q间的大小关系为()APQ BPQCP B C0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式得，a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.【答案】B12设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则的最小值是()An B. C. D.2n【解析】不妨设0a1a2an，则，是，的一个排列再利用排序不等式的反序和乱序和求解，所以n，当且仅当a1a2an时等号成立故选A.【答案】A
9、二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设x，y，zR，且满足x2y2z21，x2y3z，则xyz_. 【导学号：32750062】【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因为x2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.【答案】14已知实数m，n0，则_.(填“”“”“”或“”)【解析】因为m，n0，利用柯西不等式，得(mn)(ab)2，所以.【答案】15函数y的最小值是_【解析】由柯西不等式，得y(1)232.当且仅当，即时等号成立【答案】3216.如图1所示，矩形OPAQ中，a1
10、a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和图1【解析】由题图可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1，根据顺序和逆序和可知答案为.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设x22y21，求u(x，y)x2y的最值【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|1xy|，得umax，umin.分别在，时取得最大值和最小值18(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足xyz1.求证：.【证明】因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2，又因为xyz1，所
11、以.19(本小题满分12分)已知a，b，cR，求证：abc.【证明】不妨设abc0，则a2b2c2，.由排序不等式，可得a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2，由()2，可得abc.又因为abc0，所以a3b3c3，.由排序不等式，得a3b3c3a3b3c3，a3b3c3a3b3c3，由()2，可得.综上可知原式成立20(本小题满分12分)已知a，b，c大于0，且acos2bsin2，求证：cos2sin2c. 【导学号：32750063】【证明】由柯西不等式，得(cos2sin2)2(cos )2(sin )2(cos2sin2)acos2bsin2.又acos2bsin2，(c
12、os2sin2)2.因此，cos2sin2c.21(本小题满分12分)设a，b，c为正数，且abc1，求证：9.【证明】构造两组数，；，.于是由柯西不等式有()2()2()2，即(abc)32.因为abc1，所以9.22(本小题满分12分)设a，b，cR，利用排序不等式证明：(1)aabbabba(ab)；(2)a2ab2bc2cabcbcacab.【证明】(1)不妨设ab0，则lg alg b.从而alg ablg balg bblg a，lg aalg bblg balg ab，即lg aabblg baab，故aabbbaab.(2)不妨设abc0，则lg alg blg c，alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，2alg a2blg b2clg c(bc)lg a(ac)lg b(ab)lg c，lg(a2ab2bc2c)lg (abcbaccab)故a2ab2bc2cabcbcacab.
