1、第八章立体几何初步第3课时直线与平面的位置关系(2) 考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；除了熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理外，还要考虑面面垂直的性质和作用要注意线线垂直、线面垂直以及面面垂直的转化可以按照要证明的目标重新整理知识点.1. (必修2P40练习4改编)若直线l与平面不垂直，则在平面内与直线l垂直的直线有_条答案：无数解析：易证在平面内与l在平面内的射影垂直的直线与l垂直，所以满足题意的直线有无数条2. (原创)已知A、B、C是不共线的三点，直线m垂直于直线AB和AC，直线n垂直于直线BC和AC，则直线m，n的位置关系是_答案：平行解析：因为直线
2、m垂直于直线AB和AC，所以m垂直于平面ABC，同理，直线n垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得mn.3. ( 必修2P40习题5改编)下列命题： 一条直线在平面内的射影是一条直线； 在平面内射影是直线的图形一定是直线； 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等； 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行其中真命题的个数是_答案：0解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是错的；显然也是错的，所以正确的个数为0.4. (必修2P42习题9改编)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，则图中直
3、角三角形的个数为_答案：4解析：因为AB是圆O的直径，所以ACBC，ACB是直角三角形；由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB与PAC是直角三角形；因为PA平面ABC，且BC平面ABC，所以PABC，又BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.而PC平面PAC，所以BCPC，PCB是直角三角形；故直角三角形的个数为4.5. (必修2P42习题11、16改编)P为ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影(1) 若P到ABC三边距离相等，且O在ABC的内部，则O是ABC的_心；(2) 若PABC，PBAC，则O是ABC的_心；(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O
4、是ABC的_心答案：(1) 内(2) 垂(3) 外解析：(1) P到ABC三边距离相等，且O在ABC的内部，可知O到ABC三边距离相等，即O是ABC的内心；(2) 由PO平面ABC且BC平面ABC，得POBC，又PABC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC平面POA，从而BCAO.同理ACBO，所以O是ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得RtPOARtPOBRtPOC，从而OAOBOC，所以O是ABC的外心1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面，垂线
5、和平面的交点称为垂足2. 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行备课札记题型1直线与平面垂直的判定例1(2013常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ADAB，CDAB，ABAD2，CD3，直线PA与底面ABCD所成角为60，点M、N分别是PA、PB的中点求证：(1) MN平面PCD；(2) 四边形MNCD是直角梯形；(3) DN平面PCB.证明：(1) 因为点M、N
6、分别是PA、PB的中点，所以MNAB.因为CDAB，所以MNCD.又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN平面PCD.(2) 因为ADAB，CDAB，所以CDAD.因为PD底面ABCD，CD平面ABCD，所以CDPD.因为ADPDD，所以CD平面PAD.因为MD平面PAD，所以CDMD.又MNCD，MNCD，所以四边形MNCD是直角梯形(3) 因为PD底面ABCD，所以PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而PAD60.在RtPDA中，AD，PD，PA2，MD.在直角梯形MNCD中，MN1，ND，CD3，CN，从而DN2CN2CD2，所以DNCN.在RtPDB中，PDDB，N是PB的中
7、点，则DNPB.又PBCNN，所以DN平面PCB.(2013南京调研)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAC，D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点(1) 证明：EF平面ABC；(2) 证明：C1E平面BDE.证明：(1) 取BC的中点G，连结AG、FG.因为F为C1B的中点，所以FG=C1C.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A=C1C，且E为A1A的中点，所以FG=EA.所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EFAG.因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BD平面ABC，所以A1ABD. 因为
8、D为AC的中点，BABC，所以BDAC.因为A1AACA，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BDC1E.根据题意，可得EBC1EAB，C1BAB，所以EB2C1E2C1B2.从而C1EB90，即C1EEB.因为BDEBB，BD 平面BDE, EB平面BDE，所以C1E平面BDE. 题型2直线与平面垂直性质的应用例2已知如图所示，矩形纸片AAA1A1，点B、C、B1、C1分别为AA、A1A1的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图形状(正三棱柱)，若面对角线AB1BC1，求证：A1CAB1.(图)(图)证明：作ADBC，
9、BDAC交于D，作A1D1B1C1，B1D1A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)， A1C1B1D1为菱形， A1B1D1C1.又AA1平面A1D1B1C1， AA1D1C1.又D1C1平面ABB1A1， D1C1AB1.又AB1BC1， AB1平面BC1D1， AB1BD1.又BD1CA1， AB1A1C.(2013泰州期末)在三棱锥SABC中，SA平面ABC，SAABACBC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE3DE，点M是线段SD上一点，(1) 求证：BCAM；(2) 若AM平面SBC，求证：EM平面ABS.证明：(1) ABAC，D是BC的中点， ADBC，BCA
10、M.(2) AM平面SBC，AMSD，设SAABAC1，则BC，SD， SAAD，AMSD，AD2MDSD，故MD，SM，即SM3MD，又AE3DE， MESA，又ME平面ABS，SA平面，故EM平面ABS.题型3直线与平面垂直的探索题例3在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BCBB1.(1) 若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直；(2) 试在棱CC1上找一点M，使MBAB1.(1) 证明：反证法假设AP平面BCC1B1，因为BC平面BCC1B1，所以APBC.又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BC，APCC1P，AP平面ACC1A1，CC1平面ACC
11、1A1，所以BC平面ACC1A1.而AC平面ACC1A1，所以BCAC，这与ABC是正三角形矛盾故AP不可能与平面BCC1B1垂直(2) M为CC1的中点证明： 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1， 四边形BCC1B1是正方形 M为CC1的中点，D是BC的中点， B1BDBCM， BB1DCBM，BDB1CMB. BB1DBDB1，CBMBDB1， BMB1D. ABC是正三角形，D是BC的中点， ADBC. 平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC， AD平面BB1C1C. BM平面BB1C1C， ADBM. ADB1DD， BM平面AB1D. AB
12、1平面AB1D， MBAB1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点(1) 求证：AB1BF；(2) 求证：AEBF；(3) 棱CC1上是否存在点F，使BF平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由(1) 证明：连结A1B，CD1， AB1A1B，AB1BC，A1BBCB， AB1平面A1BCD1，又BF平面A1BCD1，所以AB1BF.(2) 证明：取AD中点M，连结FM，BM， AEBM，又 FMAE，BMFMM， AE平面BFM，又BF平面BFM， AEBF.(3) 解：存在，P是CC1的中点易证PEAB1，故A、B1、E、P四点共面由(1)(2
13、)知AB1BF，AEBF，AB1AEA， BF平面AEB1，即BF平面AEP.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为ABC的外心，求证：OP.学生错解：证明：因为O为ABC的外心，所以OAOBOC，又因为PAPBPC，PO公用，所以POA，POB，POC都全等，所以POAPOBPOC90，所以OP.审题引导： 要记OP，需记OP垂直于内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP垂直于ABC的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC、OBC，不准找到证题途径规范解答： 证明：取BC的中点D，连结PD、OD， PBPC，OBOC，
14、BCPD，BCOD，(5分)又PD平面POD，OD平面POD，且PDODD， BC平面POD.(8分) PO平面POD， BCPO.同理ABPO.(12分)又AB、BC是内的两条相交直线， PO.(14分)错解分析：上述解法中POAPOBPOC90，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明1. (2013苏锡常镇调研)已知l，m是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列四个命题： 若l，且，则l； 若l，且，则l； 若l，且，则l； 若m，且lm，则l.则所有正确的命题是_(填序号)答案：解析：对于，当l与、的交线不垂直时，l与也不垂直，所以错误；对于，由两个平面平行的判定定理易证正
15、确；对于，l可能在内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有.2. (2013青岛模拟改)如图所示，b，c在平面内，acB，bcA，且ab，ac，bc，若Ca，Db，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则ACD的形状是_答案：直角三角形解析： ab，bc，acB， b平面ABC， ADAC，故ACD为直角三角形3. 已知矩形ABCD，AB1，BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是_(填序号) 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直； 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直； 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直； 对任意位置，三对直线
16、“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案：解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量对于，过点A作AEBD，垂足为E，过点C作CFBD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直， ACAEA， BD平面ACE， BDCE，与点E、F不重合相矛盾，故错误对于，若ABCD， ABAD，ADCDD， AB平面ADC， ABAC，由ABAB， 不存在这样的直角三角形 错误由上可知错误，故正确的说法只有.4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB60，PAPD，PB2，E、F分别是BC、PC
17、的中点证明：AD平面DEF.证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PAPD，有PGAD，在ABD中，ABAD，DAB60，故ABD为等边三角形，因此BGAD，BGPGG，所以AD平面PBGADPB，ADGB.又PBEF，得ADEF，而DEGB，得ADDE.又FEDEE，EF平面DEF，DE平面DEF，所以AD平面DEF.5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点(1) 求证：MN平面AA1C1C；(2) 若ACAA1，求证：MN平面A1BC.证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点又N为
18、棱B1C1的中点，所以MNAC1.又AC1平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C.(2) 由ACAA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为BC平面ABC，所以CC1BC.因为ACB90，所以ACBC.因为CC1ACC，所以BC平面AA1C1C，所以BCAC1.又AC1平面AA1C1C，MNAC1，所以MNA1C，MNBC.又BCA1CC，所以MN平面A1BC.1. 如图PA圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PB
19、C，其中真命题的是_(填序号)答案：解析： AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确， AEPB，AFPBEFPB，故正确， 若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误，由可知正确2. (2012福建莆田模拟)如图，在三棱锥PABC中，PAC，ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB1.现给出三个条件： PB； PBBC； 平面PAB平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA平面ABC；解：(解法1)选取条件，在等腰直角三角形ABC中， AB1， BC1，AC.又 PAAC， PA. 在PAB中，AB1，PA.又 PB， AB2PA2PB2. P
20、AB90，即PAAB.又 PAAC，ABACA，AB，AC真包含于平面ABC， PA平面ABC.(解法2) 选取条件， PBBC，又ABBC，且PBABB， BC平面PAB. PA真包含于平面PAB， BCPA.又 PAAC，且BCACC， PA平面ABC.(解法3)选取条件，若平面PAB平面ABC， 平面PAB平面ABCAB，BC真包含于平面ABC，BCAB， BC平面PAB. PA真包含于平面PAB，BCPA.PAAC，且BCACC， PA平面ABC.3. 在空间四边形ABCD中， 已知ACBD, ADBC, 求证：ABCD.证明：过A点作AO垂直平面BCD于O，连结BO, CO, DO.
21、AO平面BCD，AOBD.又ACBD，BD平面AOC，COBD.同理，DOBC，O为BCD的垂心，BOCD.又AO平面BCD，AOCD，CD平面ABO，ABCD.4. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.若E、F分别为PC、BD的中点，求证：(1) EF平面PAD；(2) EF平面PDC.证明：(1) 连结AC，则F是AC的中点，在CPA中，EFPA，且PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2) 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，CD平面PAD，CDPA .又PAPDAD，PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD，而CDPDD，PA平面PDC.又EFPA，EF平面PDC.1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(am，an，mnA，m，na)；(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(，l，AB，ABlAB)注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的备课札记
