1、2021年上海市徐汇区南模中学高考数学三模试卷一、填空题（共12小题）.1若，x+y 2若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm33函数ylgsin2x的单调递减区间为 4函数的零点为 5已知实数x、y满足条件，zx+yi（i为虚数单位），则|z7+3i|的最小值是 6已知等差数列an的各项均为正整数，且a82021，则a1的最小值是 7现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16，则长方体的高h的取值范围是 8中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画如图，是书画家唐寅（14701523）的一幅书法扇面
2、，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm29已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为 10平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为，则类比该特性：在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为，则 11已知正六边形ABCDEF，M、N分别是对角线AC、CE上的点，使得，当r 时，B、M、N三点共线12已知数列an、bn满足：，bn+1bn1bn（n2），且b11，b22，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在a1的取值范围为 二、选择题（共4小题）.13下列函数中，与函数yx3的值域相同的函数为（）Ay（）x+1Byln（x+
3、1）CyDyx+14设zC且z0，“z是纯虚数”是“z2R”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件15已知数列an的通项公式为an（nN*，其前n项和Sn，则双曲线1的渐近线方程为（）ABCD16已知递增正整数数列an满足，则下列结论中正确的有（）（1）a1、a2、a3可能成等差数列；（2）a1、a2、a3可能成等比数列；（3）an中任意三项不可能成等比数列；（4）当n3时，an+2an+1an恒成立A0个B1个C2个D3个三、解答题17（理）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA1ABAC1，ABC，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点（
4、1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离18已知函数是偶函数（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式2kf（x）3k2+1在（，0）上恒成立，求实数k的取值范围19如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行剪裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C、D分别落在直线BC下方点M、N处，FN交边BC于点P）再沿直线PE剪裁，若设EFP（1）试用表示PF的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由20已知椭圆，圆Q：x2+y24x2y+30的圆心
5、Q在椭圆C上，点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2，过点P作直线l交椭圆于A、B两点（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线l的方程；（3）若SAQBttanAQB，求t的取值范围21已知集合P的元素个数为3n（nN*）且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即PABC，AB，AC，BC，其中Aa1，a2，an，Bb1，b2，bn，Cc1，c2，cn，且满足c1c2cn，ak+bkck，k1，2，n，则称集合P为“完美集合”（）若集合P1，2，3，Q1，2，3，4，5，6，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（）已知集合P1，x，
6、3，4，5，6为“完美集合”，求正整数x的值；（）设集合Px|1x3n，nN*，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n4k或n4k+1（nN*）参考答案一、填空题（共12小题）.1若，x+y0解：，x2+y22xy（x+y）20x+y0故答案为02若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是6cm3解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个梯形，梯形的上底是1，下底是2，高是2，梯形的面积是四棱柱的高是2，四棱柱的体积是236故答案为：63函数ylgsin2x的单调递减区间为k+，k+)，kZ解：函数ylgsin2x的单调递减区间，即tsin2x0时，函数t的减
7、区间再利用正弦函数的图象和性质可得，2k+2x2k+，求得k+xk+，kZ，故答案为：k+，k+），kZ4函数的零点为解：函数的零点即为方程的根，方程可变形为124x（4x1）10（4x1）0，令t4x，则t0，所以12t（t1）10（t1）0，即t2+9t220，解得t2或t11（舍），故4x2，解得，所以函数的零点为故答案为：5已知实数x、y满足条件，zx+yi（i为虚数单位），则|z7+3i|的最小值是4解：由约束条件作出可行域如图，由于zx+yi，|z7+3i|的几何意义为可行域内的动点到定点P（7，3）的距离PA与直线x3垂直，则|z7+3i|的最小值是4故答案为：46已知等差数列a
8、n的各项均为正整数，且a82021，则a1的最小值是5解：设等差数列an的公差为d（dN+），由a8a1+7d，得a120217d；由于20217288+5，所以a17288+57d7（288d）+5，即当d288时，a1有最小值5故答案为：57现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16，则长方体的高h的取值范围是4，+）解：设长方体的底面长为x，则宽为4x，底面积为Sx（4x）x2+4x（0x4）当x2时，Smax4，则S（0，4圆柱的底面积的范围为S（0，4又圆柱的体积为16，由Sh16，得h4，+），又长方体与圆柱的高相等，可得长方体的
9、高h的取值范围是4，+）故答案为：4，+）8中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画如图，是书画家唐寅（14701523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为704cm2解：如图，设AOB，OAOBr，由题意可得：，解得：r，所以，S扇面S扇形OCDS扇形OAB64（+16）24704cm2故答案为：7049已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为解：的展开式中的第4项为xn6，为常数项，n6，故展开式的系数为，r0，1，2，3，4，5，6，其中，有4项为奇数，3项为偶数，故从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率
10、为 ，故答案为：10平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为，则类比该特性：在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为，则解：“平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为，则”我们可类比推理出：在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为，则故答案为：11已知正六边形ABCDEF，M、N分别是对角线AC、CE上的点，使得，当r时，B、M、N三点共线解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB1，由于得，则A（0，0），B（1，0）C（，），E（0，），设M的坐标为（x，y），r（ r，r），M（ r，r）同理可求，N的坐标是（1r），(1+r)，（ r1，
11、r），（，(1+r)，B，M，N三点共线，则（1)(1+r)()0，化简得，3r21，解得r，故答案为：12已知数列an、bn满足：，bn+1bn1bn（n2），且b11，b22，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在a1的取值范围为、解：因为bn+1bn1bn（n2），所以，对任意的nN*有bn+5bn，即数列bn各项的值重复出现，周期为6且b11，b22，b32，b41，b5，b6，这六个数的和为7设cna6n+i（nN）（其中i为常数且i1，2，3，4，5，6），所以cn+1cna6n+6+ia6n+ib6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4
12、+b6n+i+57（nN），所以数列a6n+i均为以7为公差的等差数列，设fk+（其中n6k+i，k0，i为1，2，3，4，5，6中一个常数），当aii时，对任意的n6k+i，有，当aii时，fk+1fk（aii），（i）若aii，则对任意的kN有fk+1fk，所以数列为递减数列，（ii）若aii，则对任意的kN有fk+1fk，所以数列为递增数列故只需aii，i1，2，3，4，5，6即可满足题意，因为a2a1+b1a1+1，a3a2+b2a1+3，a4a3+b3a1+5，a5a4+b4a1+6，a6a5+b5a1+，所以a1，a1+1，a1+3，a1+5，a1+6，a1+7，所以a1，a1，a
13、1，a1，a1故答案为：、二、选择题13下列函数中，与函数yx3的值域相同的函数为（）Ay（）x+1Byln（x+1）CyDyx+解：函数yx3的值域为实数集R，又选项A中y0，选项B中y取全体实数，选项C中的y1，选项D中y0，故选：B14设zC且z0，“z是纯虚数”是“z2R”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：zC且z0，“z是纯虚数”“z2R”，反之不成立，例如取z2“z是纯虚数”是“z2R”的充分不必要条件故选：A15已知数列an的通项公式为an（nN*，其前n项和Sn，则双曲线1的渐近线方程为（）ABCD解：数列an的通项公式为，可得即1，解之
14、得n9双曲线的方程为，得a，b3因此该双曲线的渐近方程为y，即故选：C16已知递增正整数数列an满足，则下列结论中正确的有（）（1）a1、a2、a3可能成等差数列；（2）a1、a2、a3可能成等比数列；（3）an中任意三项不可能成等比数列；（4）当n3时，an+2an+1an恒成立A0个B1个C2个D3个解：由题可知，an是递增正整数数列，an+1an+1，当an+1an+1时，与题意矛盾，故an+1an+2，当an+1an+2时，an成等差数列，故（1）正确；an+1an+2，a12,a24,a36，若a1、a2、a3成等比数列，则有,，a2+1a3，与题设不符，故（2）错误；同理，若an1
15、,an,an+1成等比数列，则，与题设不符，故（3）正确；当n3时，且an+1an+2，故（4）正确故选：D三、解答题17（理）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA1ABAC1，ABC，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离解：（1）设AB的中点为E，连接EN，则ENAC，且，所以MNE或其补角即为异面直线MN与AC所成的角3分连接ME，在RtMEN中，5分所以异面直线MN与AC所成的角为arctan26分（2）因为ABAC1，所以ABAC，以点A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1所在直线为x，y
16、，z轴，如图建立空间直角坐标系Axyz，则：，8分设平面AND的一个法向量为则所以平面ADN的一个法向量为10又，所以点M到平面OAD的距离12分18已知函数是偶函数（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式2kf（x）3k2+1在（，0）上恒成立，求实数k的取值范围解：（1）因为函数即f（x）m2x+2x是定义域为R的偶函数，所以有f（x）f（x），即m2x+2xm2x+2x，即（m1）（2x2x）0恒成立，故m1（2）f（x）0，3k2+10，且2kf（x）3k2+1在（，0）上恒成立，故原不等式等价于在（，0）上恒成立，又x（，0），所以f（x）（2，+），所以，从而，即有3k24k+1
17、0，因此，19如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行剪裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C、D分别落在直线BC下方点M、N处，FN交边BC于点P）再沿直线PE剪裁，若设EFP（1）试用表示PF的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由解：（1）如图，过点 P 作 AD 的垂线，垂足为 H，若EFP，则EFD，PFH2，所以 ，所以 ，当 E，C 两点重合时，此时 ，所以 ，又因为点 C，D 分别落在直线 BC 下方点 M，N 处，要使得 C 点落在直线 BC 的下
18、方，只需 即可，要使得 D 点落在直线 BC 的下方，此时要满足 ，即 ，又即 ，解得 ，所以 ，综上所述， 的取值范围为 于是 （2），所以四边形 MNPE 的面积为 ，当且仅当 ，即 时取“，此时，答：当 时，沿直线 PE裁剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为 20已知椭圆，圆Q：x2+y24x2y+30的圆心Q在椭圆C上，点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2，过点P作直线l交椭圆于A、B两点（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线l的方程；（3）若SAQBttanAQB，求t的取值范围解：(1)因为椭圆的右焦点F(c,0),|OP|1,|PF|2,所以|OF|，即c,所以a2b23
19、,因为圆Q：x2+y24x2y+30的圆心Q坐标为(2,1),又因为点Q在椭圆上，所以+1,联立解得a26,b23,所以椭圆C的方程为+1(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为ykx+1,联立,得(1+2k2)x2+4kx40,所以x1+x2,x1x2,所以|AB|x1x2|,，因为|AB|，所以,化简得12k44k210,所以k2,所以k,所以直线l的方程为xy+0或x+y0(3)SAQBttanAQB|QA|QB|sinAQB,所以t|QA|QB|cosAQB(x12,y11)(x22,y21)(x12)(x22)+(y11)(y21)x1x22(x1+x2)+4+y
20、1y2(y1+y2)+1x1x22(x1+x2)+4+(kx1+1)(kx2+1)(kx1+1)+(kx2+1)+1(1+k2)x1x2+42(x1+x2)(1+k2)+4+2+2,设4k1m,则k,当m0时，2，则t1,当m0时，2+22+22+2,若m0时，m+26,当且仅当m3时，取等号，所以4,t42,所以0t2,若m0时，m+26,当且仅当m3时，取等号，所以2,1t0,所以t的取值范围为1,0)(0,221已知集合P的元素个数为3n（nN*）且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即PABC，AB，AC，BC，其中Aa1，a2，an，
21、Bb1，b2，bn，Cc1，c2，cn，且满足c1c2cn，ak+bkck，k1，2，n，则称集合P为“完美集合”（）若集合P1，2，3，Q1，2，3，4，5，6，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（）已知集合P1，x，3，4，5，6为“完美集合”，求正整数x的值；（）设集合Px|1x3n，nN*，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n4k或n4k+1（nN*）解：（）将P分为1，2，3满足条件，是完美集合将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1c1，a2+b2c2；Q中所有元素之和为21，21210.5c1+c2，不符合要求（）若集合A1，4，B3，5，根据完美集合的概念知集合C6，7；若集合A1，5，B3，6，根据完美集合的概念知集合C4，11；若集合A1，3，B4，6，根据完美集合的概念知集合C5，9；故x的可能值为：7，9，11中任一个（）证明：P中所有元素之和为：1+2+3+3na1+b1+c1+a2+b2+c2+an+bn+cn+2（c1+c2+cn）；cn3n；c1+c2+cn1+3n；c1+c2+cn1；等式左边为正整数，则等式右边9n（n1）可以被4整除；n4k或n14k（nN*），即n4k或n4k+1（nN*）
