1、61.4数乘向量【课程标准】通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义理解两个平面向量共线的含义新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一向量数乘运算实数与向量a的积是一个_，这种运算叫作向量的_，记作_，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_(3)当0或a0时，a0.状元随笔理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如a，a均没有意义知识点二共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_状元随笔向量共线定理的理
2、解注意点及主要应用(1)定理中a0不能漏掉. 若ab0，则实数可以是任意实数；若a0，b0，则不存在实数，使得ba(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使tasb0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且tasb0，则必有ts0.基础自测1存在两个非零向量a，b，满足b3a，则有()Aa与b方向相同Ba与b方向相反C|a|3b|D|a|b|2设P，Q两点把线段AB三等分(P靠近A)，则下列向量表达式中错误的是()AAP13ABBAQ23ABCBP23ABDAQBP36(13a)()A化简结果为2aB与向量a同向C与向量a反向D其长度为24点M在AB上，且AM1
3、4AB，则MB等于()A3ABB43ABC43ABD3AB课堂探究素养提升强化创新性题型1数乘向量的定义与数乘向量的运算数学抽象、数学运算例1(1)设a是非零向量，是非零实数，则以下结论正确的有_|a|a|；a与2a方向相同；|2a|2|a|.(2)化简下列各式：利用数乘向量的运算直接进行化简124a；1329a；6(12)a.方法归纳(1)数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小解决数乘向量问题的关键应注意两点：方向是相同还是相反，模长放大还是缩小(2)a中的实数叫作向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数数乘向量的运
4、算可以与以前我们学习过的数乘单项式运算相类比跟踪训练1(1)若两个非零向量a与(2x1)a方向相同，则x的取值范围为_(2)下列计算正确的个数是()(5)3a15a；3(ab)3ab；(41)(a2a)9a.A0B1C2D3(3)化简下列各式4(18)a.212(3a).题型2向量共线条件的应用例2(1)已知a2e, b4e, 判断a，b是否平行，求|a|b|的值；若ab，说出它们是同向还是反向；(2)已知ABe，BC3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点利用数乘向量的定义解决方法归纳向量共线定理的应用(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条
5、直线平行(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若ABAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法跟踪训练2(1)已知线段上A，B，C三点满足BC2AB，则这三点在线段上的位置关系是()(2)下列结论成立的是()Aa与a的方向相同Ba与a的方向相反的充要条件是0C与a方向相同的单位向量可表示为aaD若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则AO12(ABAD)题型3用已知向量表示其它向量经典例题例3如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa，ADb，用a，b表示MA，MB，MC和MD.方法归纳用已知向量表
6、示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练3如图，ABCD是一个梯形，ABCD且|AB|2|CD|，M，N分别是DC，AB的中点，已知ABe1，ADe2，试用e1，e2表示下列向量结合图形：由已知得AB2DC，分别用e1，e2表示AC，MN(1)AC_；(2)MN_61.4数乘向量新知初探自主学习知识点一向量数乘a(2)相同相反知识点二ba基础自测1解析：因为30，所以a与3a方向相反且|3a|3|a|，即|b|3|a|，故选B.答案：B2解析：由向量数乘的定义可
7、以得到A、B、C中的表达式都是正确的，只有D错误答案：D3解析：6(13a)2a，与向量a反向，其长度为2|a|.答案：C4解析：如图AM14AB，所以MB34AB.答案：B课堂探究素养提升例1【解析】(1)当01时，|a|0，即x12.(2)因为(5)3a15a，故正确；3(ab)3a3b，故错误；(41)(a2a)33a9a，故正确(3)4(18)a12a.212(3a)3a.答案：(1)x12(2)C(3)见解析例2【解析】(1)因为b4e2(2e)2a，所以ab，且2|a|b|，即|a|b|12.向量a，b反向(2)因为BC3e3AB，所以ABBC，且有公共点B，所以A，B，C三点共线
8、，又因为BC3AB，且向量AB，BC反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点跟踪训练2解析：(1)根据题意得到BC和AB是共线同向的，且BC2AB.(2)当0且a0时，a与a的方向相反，故A，B不正确；若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则AO12(AB+AD)，D不正确；C正确答案：(1)A(2)C例3【解析】在ABCD中，ACAB+ADab，DBABADab.由平行四边形的两条对角线互相平分，得MA12AC12(ab)12a12b，MB12DB12(ab)12a12b，MC12AC12a12b，MD12DB12a12b.跟踪训练3解析：因为ABCD，|AB|2|CD|，所以AB2DC，DC12AB.(1)ACAD+DCe212e1.(2)MNMD+DA+AN12DCAD+12AB14e1e212e114e1e2.答案：(1)e212e1(2)14e1e2
