1、第二讲一元二次不等式及其解法ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于_零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的_判别式_.(3)当_0_时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点_确定一元二次不等式的解集知识点二三个二次之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有_两相异_实根x1，x2(x10(a0)的解集x|_xx2或xx1_x|xR且_xx1_R_ax2bxc0)的解集x|_x1x0(
2、a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)2ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(0(1，af(x)ag(x)f(x)g(x)；若0aag(x)f(x)1，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；若0alogag(x)0f(x)g(x)题组一走出误区1(多选题)下列命题正确的是(AD)A若不等式ax2bxc0B若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为RC不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0D若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0，则RA等于(B)Ax|2x3Bx|2x3Cx
3、|x3Dx|x2x|x3解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为(，)(，)题组三考题再现4(2019天津高考)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围是_(1，)_.解析3x2x20(x1)(3x2)0，(x1)(x)01x0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x2)0的解集是(1，)，a0，且1，关于x的不等式(axb)(x2)0可化为(x)(x2)0，即(x1)(x2)0，所以不等式的解集为x|1x2故选CKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一一元二次不等式的
4、解法多维探究角度1不含参数的不等式例1解下列不等式(1)2x2x30；(3)1.分析(1)将二次项系数化为正数，变为2x2x30，求方程2x2x30的根，若无根，则解集为R，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集；(3)移项通分化为0的形式，进而化为f(x)g(x)0求解解析(1)化2x2x30，(x1)(2x3)0，即(x1)(x)0，x或x1，原不等式的解集为(，1)(，)(2)因为0的解集为R.(3)化1为0，即0，(3x2)(4x3)0，且x，即(x)(x)0(且x)原不等式的解集为x|x名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)
5、判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集角度2含参数的不等式例2解下列关于x的不等式：(1)ax2(a1)x10(aR)；(2)x22ax20(aR)；分析(1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论与1的关系，故需分a0，a0,0a1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系；解析(1)若a0，原不等式等价于x10，解得x1.若a0，则原不等式等价于(x)(x1)0，解得x或x1.若a0
6、，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)0无解；当a1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1时，1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x或x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x；当a1时，解集为；当a1时，解集为x|x1(2)对于方程x22ax20，因为4a28，所以当0，即a时，x22ax20无实根又二次函数yx22ax2的图象开口向上，所以原不等式的解集为；当0，即a时，x22ax20有两个相等的实根，当a时，原不等式的解集为x|x，当a时，原不等式的解集为x|x；当0，即a或a时，x22ax20有两个不相等的实根，分别为
7、x1a，x2a，且x1x2，所以原不等式的解集为x|axa综上，当a或a时，解集为x|axa；当a时，解集为x|x；当a时，解集为x|x；当a时，解集为.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由0确定)(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，
8、要注意分母不能为零(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正变式训练1(1)(角度1)(2020河南南阳期中)已知集合Mx|x2x60，Nx|或x2_.(3)(角度2)解不等式x2(a1)xa0(aR)解析(1)x2x60(x3)(x2)02x3，Mx|2x3，10(x4)(x2)04x2，Nx|4x2，MNx|2x或x2(3)由x2(a1)xa0，得(xa)(x1)0，x1a，x21，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax0的解集是x|x，则不等
9、式x2bxa0的解集是(B)Ax|2x3Bx|x2或x3Cx|x0在区间1,5上有解，则a的取值范围是(A)A(，)B(，1C(1，)D(，分析(1)利用根与系数的关系求解(2)令f(x)x2ax2，a280恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)0或f(1)0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2ax20在区间1,5上恒成立的a的取值集合，只需f(5)0，再求其补集即可；思路三：分离参数解析(1)不等式ax2bx10的解集是x|x，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，方程f(x)0，有两个不等实根，又两根之积为负，方程有一正根和一负根解法一：不等式x2ax20在区间1,5上有解，只要
10、f(1)0或解得a1或a0在区间(1,5上有解的a的取值范围是(，)解法三：x2ax20在区间1,5上有解ax在1,5上有解af(x)min(记f(x)x，x1,5)，显然f(x)为减函数，f(x)minf(5)，a.引申若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是_(，1)_.解析由例3(2)的解析知，不等式x2ax20在区间1,5上有解，ax，x1,5有解，显然g(x)x在1,5上递减，gmax(x)g(1)1，a1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点
11、(0，2)变式训练2(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a(A)ABCD(2)(2020九江模拟)若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(A)A(，2)B(2，)C(6，)D(，6)解析(1)解法一：由题意知x1，x2是方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2.又x2x115，(x2x1)2(x1x2)24x1x24a232a236a2152.a0，a，故选A解法二：由x22ax8a2(x2a)(x4a)0，不等式的解集为(2a,4a)又不等式的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x
12、14a(2a)6a15，a，故选A(2)解法一：由函数f(x)x24x2a图象的对称轴为x2.不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解f(4)0，即a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.故选A考点三一元二次不等式恒成立问题师生共研例4已知f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对于|m|1，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围分析(1)二次项系数含有字母m，应分m0和m0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；
13、(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式，根据一次函数的性质求解解析(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以m的取值范围为(4,0(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，只需mx2mxm0，所以m.令y.因为t(x)2在1,3上是增函数，所以y在1,3上是减函数因此函数的最小值ymin.所以m的取值范围是(，)(3)将不等式f(x)0整理成关于m的不等式为(x2x)m10.令g(m)(x2x)m1，m1,1则即解得x0(或0)对于一切xR恒成立的条件是(2)一元二次不等式ax2bxc0(或0)对于一切xR恒成立的条件是2在给定某区间上恒成立(1)当xm，n，f(
14、x)ax2bxc0恒成立，结合图象，只需f(x)min0即可；(2)当xm，n，f(x)ax2bxc0恒成立，只需f(x)max0即可3解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数4“不等式f(x)0有解(或解集不空)的参数m的取值集合”是“f(x)0的解集为”即“f(x)0恒成立”注意：ax2bxc0恒成立或；ax2bxc0恒成立或.变式训练3(1)若不等式(a3)x22(a3)x40对一切xR恒成立，则实数a取值的集合为(D)A(，3)B(1,3)C1,3D(1,3(2)(2020山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x24xm对
15、任意的x(0,1恒成立，则有(A)Am3Bm3C3m0Dm4(3)已知对于任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是(B)Ax|1x3Bx|x3Cx|1x2Dx|x2解析(1)当a3时，40恒成立；当a3时，解得1a3.所以1a3.故选D(2)令f(x)x24x，x(0,1，f(x)图象的对称轴为直线x2，f(x)在(0,1上单调递减，当x1时，f(x)取得最小值3，m3，故选A(3)记g(a)(x2)ax24x4，a1,1，依题意，只须x3，故选BMING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 一元二次方程根的分布设
16、一元二次方程ax2bxc0(a0)，记f(x)ax2bxc.(1)方程无根b24ac0，记其根为x1，x2且x10或x10x10x2或x10x2af(0)0；x1x20或x1x2x1kx1kx2af(k)0；x1x2kmx1nx2x1mx2nmx1x2nx1mnx2mx1nx20(1)一根在(1,2)内，另一根在(1,0)内应满足即，解得m0(2)一根在(1,1)内，另一根不在(1,1)内，应满足f(1)f(1)0，即(2m1)(2m3)或m，又m10，m1m范围(，)(，1)(1，)(3)一根小于1，另一根大于2，应满足即解得：0m1(4)一根大于1，另一根小于1，应满足(m1)f(1)0，即(m1)(2m3)1或m(5)两根都在(1,3)内，应满足解得：m(6)两根都大于0，应满足解得：0m1或m(8)在(1,2)内有解应满足或f(1)f(2)0解得m0，经检验m及m0都不合题意舍去，m0变式训练4(1)(2020山东实验中学诊断)如果方程x2(m1)xm220的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是_(2,1)_.(2)若方程x2(k2)xk0的两实根均在区间(1,1)内，则k的取值范围为_42k_.解析(1)记f(x)x2(m1)xm22，由题意可知f(1)m2m20，解得2m1.(2)由题意得，解得42k.
