1、2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1函数f（x）=（x0）的最小值为（）A2B3C2D42数列an中，a1=1，an+1=an3，则a8等于（）A7B8C22D273若ABC外接圆的半径为5，则=（）A5B10C15D204若ABC是边长为a的正三角形，则=（）A a2Ba2Ca2Da25若等差数列an的前15项和为5，则cos（a4+a12）=（）ABCD6已知cos（）=，则sin2的值为（）ABCD7已知O是ABC所在平面内一点，若对任意kR，恒有|k|，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形
2、C锐角三角形D不确定8在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A2BC3D29已知向量=（3，2），=（x，y1）且，若x，y均为正数，则+的最小值是（）ABC8D2410如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）AB2CD11给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0（）A无实根B有两个相等实根C有两个同号相异实根D有两个异号实根12正方体ABCDA1
3、B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：当P在BD1上运动时，恒有MN面APC；若A，P，M三点共线，则=；若=，则C1Q面APC；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有且只有3条其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13cos140+2sin130sin10=_14如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=_15如图，正四棱锥PABCD
4、的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为_16已知a，b，c为正实数，给出以下结论：若a2b+3c=0，则的最小值是3；若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2其中正确结论的序号是_三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（ac，ba）互相垂直（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围18如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD截面
5、PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角19已知数列an的前项和为Sn若a1=1，an=3Sn1+4（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2，cn=，其中nN+，记数列cn的前项和为Tn求Tn+的值20如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点（1）证明：CD平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角PCDA的正切值21已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（1）若f（x）0的解集为x|3x4，解关于x的不等式bx2+2ax（c
6、+3b）0（2）若对任意xR，不等式f（x）2ax+b恒成立，求的最大值22函数f（x）满足：对任意，R，都有f（）=f（）+f（），且f（2）=2，数列an满足an=f（2n）（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=（1），cn=，记Tn=（c1+c2+cn）（nN+）问：是否存在正整数M，使得当nN+时，不等式Tn恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1函数f（x）=（x0）的最小值为（）A2B3C2D4【考点】基本不等式
7、【分析】由题意可得f（x）=x+，由基本不等式可得【解答】解：x0，函数f（x）=x+=4，当且仅当x=即x=2时取等号，函数f（x）=（x0）的最小值为：4，故选：D2数列an中，a1=1，an+1=an3，则a8等于（）A7B8C22D27【考点】等差数列；等差数列的通项公式【分析】数列an中，a1=1，an+1=an3，可得an+1an=3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：数列an中，a1=1，an+1=an3，an+1an=3，a2a1=3，a3a2=3，a8a7=3，进行叠加：a8a1=37，a8=21+1=22，故选C；3若ABC外接圆的半径为5，则=（）A5B10C15
8、D20【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解【解答】解：ABC外接圆的半径为5，由正弦定理可得： =25=10故选：B4若ABC是边长为a的正三角形，则=（）A a2Ba2Ca2Da2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据、的夹角为120，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值【解答】解：ABC是边长为a的正三角形，则=aacos=，故选：B5若等差数列an的前15项和为5，则cos（a4+a12）=（）ABCD【考点】等差数列的通项公式【分析】由=5，求出，由此能求出cos（a4+a12）的值【解答】解：等差数列an的前15项和为5，=5，cos（a4+a12）=c
9、os=cos（）=cos=故选：A6已知cos（）=，则sin2的值为（）ABCD【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值【分析】先利用余弦的二倍角公式求得cos2（）的值，进而利用诱导公式求得答案【解答】解：cos2（）=2cos2（）1=2（）21=cos（2）=sin2sin2=cos（2）=故选C7已知O是ABC所在平面内一点，若对任意kR，恒有|k|，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不确定【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用两边平方，结合向量的平方即为模的平方，设ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，可得k2a22kcacosB+c2b20，运
10、用判别式小于等于0，化简整理，结合正弦定理和正弦函数的值域，可得三角形的形状【解答】解：|k|，即为|k|，两边平方可得， 2+k222k2，设ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，即有c2+k2a22kcacosBb2，即k2a22kcacosB+c2b20，由题意可得=4c2a2cos2B4a2（c2b2）0，化为b2c2c2cos2B，即为bcsinB，由正弦定理可得bbsinC，则sinC1，但sinC1，则sinC=1，可得C=90即三角形ABC为直角三角形故选：A8在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A2BC3D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知
11、该几何体是三棱锥，由三视图和勾股定理求出棱长，由棱长的大小判断出面积最大的面，由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图所示，且PD平面ABC，D是AC的中点，PD=2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、ACBC，PA=PC=BD=，AB=2则PB=3，棱长PB最大，其次AB，则PAB的面积是各个面中面积最大的一个面，在PAB中，由余弦定理得cosABP=，0ABP，ABP=，则PAB的面积S=3，故选：C9已知向量=（3，2），=（x，y1）且，若x，y均为正数，则+的最小值是（）ABC8D24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表
12、示【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：，2x3（y1）=0，化为2x+3y=3，+=8，当且仅当2x=3y=时取等号+的最小值是8故选：C10如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）AB2CD【考点】棱锥的结构特征【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合
13、“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为E，根据题目条件可知PAECBE，PE=CE，点E也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点E，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，M的轨迹为线段DEAD=2，AE=1，DE=故选：A11给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0（）A无实根B有两个相等实根C有两个同号相异实根D有两个异号实根【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】先由p，a
14、，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx22ax+c=0判别式=4a24bc的符号，决定根的情况即可得答案【解答】解：p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列a2=pq，b+c=p+q解得b=，c=；=（2a）24bc=4a24bc=4pq（2p+q）（p+2q）=（pq）2又pq，（pq）20，即0，原方程无实根故选A12正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：当P在BD1上运动时，恒有MN面APC；若A，P，M三点共线，则=；若=，则C1Q面APC；过
15、点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有且只有3条其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】棱柱的结构特征【分析】利用三角形中位线定理、正方体的性质可得MNAC，再利用线面平行的判定定理即可判断出正误；若A，P，M三点共线，由D1MAB，由平行线的性质可得=，即可判断出正误；若=，由可得：A，P，M三点共线，设对角线BDAC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1QOM，即可判断出正误连接B1C，A1C1AC，由正方体的性质可得AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，有且只有这两条，即可判断出正误【解答】解：如图所示，连接MN，AC，A1C
16、1当P在BD1上运动时，M，N，分别是棱D1C1，A1D1的中点，由三角形中位线定理可得MNA1C1，由正方体的性质可得：A1C1ACMNAC，而MN平面APC，AC平面APC，恒有MN面APC，正确；若A，P，M三点共线，由D1MAB，=，则=，正确；若=，由可得：A，P，M三点共线，设对角线BDAC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，C1QOM，而M点在平面APC内，C1Q平面APC相交，因此正确；连接B1C，A1C1AC，由正方体的性质可得AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60的直线有且只有2条
17、，因此不正确综上可得：只有正确，即正确的个数是3故选：C二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13cos140+2sin130sin10=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式，积化和差公式，特殊角的三角函数值化简即可得解【解答】解：cos140+2sin130sin10=cos（90+50）+2sin（90+40）sin（9080）=sin50+2cos40cos80=cos40+2 cos120+cos（40）=cos40+（）+cos40=故答案为：14如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为y
18、m，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】设出每间虎笼的长和宽，利用周长为定值，根据基本不等式，求出面积最大时的长与宽的值【解答】解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，则4x+6y=36，S=xy4x+6y=36，2x+3y=18，由基本不等式，得182，xy，当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值，=故答案为：15如图，正四棱锥PABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为60【考点】异面直线及其所成的角【分析】如图所示，建立空间直角坐标系设
19、AB=a，则a2=6，解得a=又=2，解得OP=1再利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系设AB=a，则a2=6，解得a=又=2，解得OP=1A（，0），P（0，0，1），B（，0），C（，0），E=， =cos=120异面直线PA与BE所成的角为60故答案为：6016已知a，b，c为正实数，给出以下结论：若a2b+3c=0，则的最小值是3；若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2其中正确结论的序号是【考点】基本不等式【分析】变形，利用基本不
20、等式，分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若a2b+3c=0，则2b=a+3c2，b23ac，3，的最小值是3，正确；设t=a+2b，则t0，由a+2b+2ab=8得2ab=8（a+2b），即8t，整理得t2+4t320，解得t4或t8（舍去），即a+2b4，所以a+2b的最小值是4正确；a，b，c0，a+c0，a+b0，a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4，2a+b+c=（a+b）+（a+c）2=4，2a+b+c的最小值为4，不正确；若a2+b2+c2=4，则4=a2+b2+b2+c2ab+bc，ab+bc2，ab+bc的最
21、大值是2，正确综上所述，正确结论的序号是故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（ac，ba）互相垂直（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）由，得（a+c）（ac）+b（ba）=0化简整理得a2+b2c2=ab代入余弦定理即可求得cosC，结合C的范围进而求得C（2）由第二问得到的A与B的关系式，用A表示出B，代入所求的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数
22、公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围【解答】解：，0C，=，sinA+sinB=sin（A+）则sinA+sinB的取值范围是（，18如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理即可证明（2）由（1）的证明知PNBD，可得NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角再利用正方形的性质即可得出【解答】（1）证明：截面PQMN是平行四边形，PNQM，又PN平面
23、BCD，QM平面BCDPN平面BCDPN平面ABD，平面ABD平面BCD=BDPNBD，PN截面PQMN，BD截面PQMN，BD截面PQMN（2）解：由（1）的证明知PNBD，NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角截面PQMN是正方形，NPM=45异面直线PM与BD所成的角是45019已知数列an的前项和为Sn若a1=1，an=3Sn1+4（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2，cn=，其中nN+，记数列cn的前项和为Tn求Tn+的值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出an；（2）由（1）化简和对数的运算法则化简bn=
24、log2，代入cn=化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和Tn，即可求出答案【解答】解：（1）由题意得，a1=1，an=3Sn1+4（n2），当n=2时，a2=3S1+4=7，当n2时，由an=3Sn1+4（n2），得an+1=3Sn+4，两式相减得，an+1=4an（n2），数列an从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，则（n2），此时对n=1不成立，；（2）由（1）得，bn=log2=2n，则cn=，得，=，即20如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点（1）证明：CD平面PAE；（2）若直线P
25、B与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角PCDA的正切值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）连接AC，推导出CDAE，PACD，由此能证明CD平面PAE（2）推导出PEA是二面角的平面角，由此能求出，由此能求出二面角PCDA的正切值【解答】证明：，CDAEPA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，CD平面PAE解：（2）CD平面PAE，PEA是二面角的平面角，由（1）知，BG平面PAE，RtPBARtBPF，PA=BFBCDG是平行四边形GD=BC=3，AG=2AB=4，BGAF，tan=，二面角PCDA的正切值是21已知二次函数f（
26、x）=ax2+bx+c（1）若f（x）0的解集为x|3x4，解关于x的不等式bx2+2ax（c+3b）0（2）若对任意xR，不等式f（x）2ax+b恒成立，求的最大值【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法【分析】（1）根据f（x）0的解集，求出a，b，c的关系，从而求出不等式的解集；（2）由f（x）2ax+b恒成立，得到a0，b2+4a24ac，将变形为，令t=1，从而构造出函数g（t），求出g（t）的最大值即可【解答】解：，bx2+2ax（c+3b）0ax2+2ax+15a0（a0）x22x150，解集为（3，5），4a（ca）b20，22函数f（x）满足：对任意，R，都有f（）=f（）+f（），且f（2）=2，数列an满足an=f（2n）（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=（1），cn=，记Tn=（c1+c2+cn）（nN+）问：是否存在正整数M，使得当nN+时，不等式Tn恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由【考点】等差数列的性质【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）及其数列的单调性、不等式的性质即可得出【解答】解：（1）an=f（2n），为等差数列，首项为1，公差为1，不等式Tn恒成立M146存在满足条件的正整数M，其最小值为1462016年9月10日
