1、2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x2=1，B=x|ax=1，若BA，则实数a的取值集合为（）A1B1，1C1，0，1D以上答案均不对2设P表示平面内的动点，A，B是该平面内两个定点已知集合M=P|PA=PB，则属于集合M的所有点P组成的图形是（）A任意PABB等腰PABC线段AB的垂直平分线D以线段AB为直径的圆3已知a0，a1，x0，则=（）A2logaxBlogaxC2loga|x|Dloga|x|4函数的单调递增区间是（）A（，1）B（
2、，1）C（1，+）D（3，+）5若函数是奇函数，则a，b的一组可能值为（）Aa=1，b=2Ba=2，b=1Ca=1，b=2Da=2，b=16已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点若x1（1，x0），x2（x0，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）07函数y=ax2+bx与在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD8已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，则当x0时，f（x）表达式是（）ABCD9设a=log32，b=ln2，c=，则（）AbacBbcaCacbDcba10根据教材P45第6题可以
3、证明函数g（x）=x2+ax+b满足性质，理解其中的含义对于函数f（x）=2x，h（x）=log2x及任意实数x1，x2，仿照上述理解，可以推测（）ABCD11对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D点（2，8）在曲线y=f（x）上12已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13的值为14里氏
4、震级M的计算公式为：M=lgAlgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍15设函数，现有如下论述：（1）D（x）的值域为0，1；（2）D（x）是偶函数；（3）D（x+1）=D（x）；（4）D（x）是单调函数；上述结论正确的序号有16已知函数f（x）=则满足等式f（1x2）=f（2x）的实数x的集合是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设集合A=x|（x3）（xa）
5、=0，aR，B=x|（x4）（x1）=0，求AB，AB18已知函数f（x）=log（x22ax+3）（1）若函数f（x）的定义域为R，值域为（，1，求实数a的值；（2）若函数f（x）在（，1上为增函数，求实数a的取值范围19已知函数f（x）=bax（其中a，b为常数，且a0，a1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）（1）求f（x）的表达式；（2）若不等式ax+bxm（ab）x0在x（，1时恒成立，求实数m的取值范围20某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物
6、线表示（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？为多少？21设f（x）=|lgx|，a，b为实数，且0ab（1）求方程f（x）=1的解；（2）若a，b满足，求证：ab=1；（3）在（2）的条件下，求证：由关系式所得到的关于b的方程h（b）=0，存在b0（3，4），使h（b0）=022若定义在（1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y（1，1），都有，则称f（x）为漂亮函数（1）已知，问g（x）是否
7、为漂亮函数，并说明理由；（2）已知f（x）为漂亮函数，判断f（x）的奇偶性；（3）若漂亮函数f（x）满足：当x（0，1）时，都有f（x）0，试判断f（x）在（1，1）上的单调性，并给出证明2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x2=1，B=x|ax=1，若BA，则实数a的取值集合为（）A1B1，1C1，0，1D以上答案均不对【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】化简A=x|x2=1=1，1，从而分类讨论求得【解答】解：A=x|x
8、2=1=1，1，若B=x|ax=1=，则a=0；若B=x|ax=1=1，则a=1；若B=x|ax=1=1，则a=1；故实数a的取值集合为1，0，1；故选：C2设P表示平面内的动点，A，B是该平面内两个定点已知集合M=P|PA=PB，则属于集合M的所有点P组成的图形是（）A任意PABB等腰PABC线段AB的垂直平分线D以线段AB为直径的圆【考点】轨迹方程【分析】由已知可得，P到A，B的距离相等，故P在线段AB的垂直平分线上【解答】解：M=P|PA=PB，即集合M是到A，B的距离相等的点构成得集合，故P在线段AB的垂直平分线上，故选：C3已知a0，a1，x0，则=（）A2logaxBlogaxC2
9、loga|x|Dloga|x|【考点】对数的运算性质【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：a0，a1，x0，则=logax=logax故选：B4函数的单调递增区间是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（3，+）【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】由x22x30得x1或x3，由于当x（，1）时，f（x）=x22x3单调递减，由复合函数单调性可知y=log 0.5（x22x3）在（，1）上是单调递增的，在（3，+）上是单调递减的【解答】解：由x22x30得x1或x3，当x（，1）时，f（x）=x22x3单调递减，而01，由复合函数单调性可知y=log 0.5（x22x3）在（，
10、1）上是单调递增的，在（3，+）上是单调递减的故选A5若函数是奇函数，则a，b的一组可能值为（）Aa=1，b=2Ba=2，b=1Ca=1，b=2Da=2，b=1【考点】函数奇偶性的性质【分析】可看出f（x）的定义域为R，从而可知f（x）为R上的奇函数，从而有f（0）=0，这样只需验证每个选项的a，b值是否满足该式便可找出正确选项【解答】解：f（x）为R上的奇函数；f（0）=0；即；可看出，a=1，b=2时满足上式；即a=1，b=2为a，b的一组可能值故选A6已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点若x1（1，x0），x2（x0，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）
11、0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0【考点】函数零点的判定定理【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点 可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案【解答】解：x0是函数f（x）=2x+的一个零点f（x0）=0f（x）=2x+是单调递增函数，且x1（1，x0），x2（x0，+），f（x1）f（x0）=0f（x2）故选B7函数y=ax2+bx与在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】方程ax2+bx=0的解为x=0或x=，图象分析|的取值范围，从而解得【解答】解：方程ax2+bx=0的解为x=0或x=，对于选项A，由二次函数知
12、0|1，由对数函数知|1，故不可能；对于选项B，由二次函数知0|1，由对数函数知|1，故不可能；对于选项C，由二次函数知|1，由对数函数知0|1，故不可能；对于选项D，由二次函数知0|1，由对数函数知0|1，故有可能成立；故选：D8已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，则当x0时，f（x）表达式是（）ABCD【考点】奇函数；函数的表示方法【分析】由题意设x0，则x0，利用给出的解析式求出f（x），再由奇函数的定义即f（x）=f（x）求出f（x）【解答】解：设x0，则x0，当x0时，f（x）=x（1+）=x（1），函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x），f（x）=
13、x（1）故选D9设a=log32，b=ln2，c=，则（）AbacBbcaCacbDcba【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】根据a=log32=ln2=b，又c=，再由 a=log32log3 =，可得c、a、b 的大小关系【解答】解：a=log32=ln2=b，又c=，再由 a=log32log3 =，因此cab，故选A10根据教材P45第6题可以证明函数g（x）=x2+ax+b满足性质，理解其中的含义对于函数f（x）=2x，h（x）=log2x及任意实数x1，x2，仿照上述理解，可以推测（）ABCD【考点】二次函数的性质【分析】根据题意，由，结合二次函数的性质分析其函数的图象中，任意
14、2点的连线必须在图象的上方，进而由函数f（x）=2x，h（x）=log2x的图象性质分析可得答案【解答】解：根据题意，g（x）=x2+ax+b满足性质，其函数的图象中，任意2点的连线必须在图象的上方，如图：反之若其图象中任意2点的连线必须在图象的下方，必有，对于函数f（x）=2x，其图象中任意2点的连线必须在图象的上方，则必有，对于函数h（x）=log2x，其图象中任意2点的连线必须在图象的下方，则必有，故选：C11对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（
15、x）的极值D点（2，8）在曲线y=f（x）上【考点】二次函数的性质【分析】可采取排除法分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论【解答】解：可采取排除法若A错，则B，C，D正确即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x）=2ax+b，即有f（1）=0，即2a+b=0，又f（1）=3，即a+b+c=3，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，由解得，a=5，b=10，c=8符合a为非零整数若B错，则A，C，D正确，则有ab+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有ab+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c
16、=8，解得a=不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有ab+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=不为非零整数，不成立故选：A12已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图象与性质【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，求出abc的范围即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则ab=1，则abc=c（10，12）故选C二、填空题：本大题共4小题，每
17、小题5分，共20分13的值为【考点】对数的运算性质【分析】根据对数和指数的运算性质计算即可【解答】解： =32+lg5lg2+2lg22=32+lg5+lg22=916+12=，故答案为：14里氏震级M的计算公式为：M=lgAlgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000 倍【考点】对数的运算性质【分析】根据题意中的假设，可得M=lgAlgA0=lg1000lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，
18、5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgAlgA0=lg1000lg0.001=3（3）=6设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，故答案为：6，1000015设函数，现有如下论述：（1）D（x）的值域为0，1；（2）D（x）是偶函数；（3）D（x+1）=D（x）；（4）D（x）是单调函数；上述结论正确的序号有（1）（2）（3）【考点】命题的
19、真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性，和取值关系分别进行判断即可【解答】解：（1）由分段函数的表达式得，D（x）的值域为0，1；正确（2）若xQ，则xQ，则D（x）=D（x）=1，若xRQ，则xRQ，则D（x）=D（x）=0，综上恒有D（x）=D（x），即D（x）是偶函数；正确（3）若xQ，则x+1Q，则D（x）=D（x+1）=1，若xRQ，则x+1RQ，则D（x）=D（x+1）=0，综上D（x+1）=D（x）；正确（4）由分段函数的表达式可得，D（x）在R上不是单调函数；故正确的是（1）（2）（3），故答案为：（1）（2）（3）16已知函数f
20、（x）=则满足等式f（1x2）=f（2x）的实数x的集合是x|x1，或x=【考点】函数的值【分析】要根据已知函数解析式讨论1x2与2x的范围，从而确定其对关系，解方程可求【解答】解：f（1x2）=f（2x）当即0x1时，则，解可得，x=当即x1时，则f（1x2）=f（2x）=1满足题意当1x0时，由f（1x2）=f（2x）可得（1x2）2+1=1，解可得x=1满足题意当即x1时，由（1x2）=f（2x）=1可得，1=（2x）2+1，解可得x=0不满足题意综上可得，x=或x1故答案为：x=或x1三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设集合A=x|（x3
21、）（xa）=0，aR，B=x|（x4）（x1）=0，求AB，AB【考点】交集及其运算；并集及其运算【分析】首先化简集合B，然后根据集合B分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案【解答】解：由B=x|（x4）（x1）=0，得B=4，1当a=3时，AB=1，3，4，AB=；当a=1时，AB=1，3，4，AB=1；当a=4时，AB=1，3，4，AB=4；当a1，且a3，且a4时，AB=1，3，4，a，AB=；18已知函数f（x）=log（x22ax+3）（1）若函数f（x）的定义域为R，值域为（，1，求实数a的值；（2）若函数f（x）在（，1上为增函数，求实数a的取值范围【考点】对数函数的图
22、象与性质【分析】（1）由题意知x22ax+3=（xa）2a2+3的最小值为2；从而得到a2+3=2；从而解得（2）y）=logx在（0，+）上是减函数，由复合函数的单调性知，从而解得【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，值域为（，1，x22ax+3=（xa）2a2+3的最小值为2；即a2+3=2；解得，a=1；（2）y）=logx在（0，+）上是减函数，由复合函数的单调性知，解得，1a2；故实数a的取值范围为1，2）19已知函数f（x）=bax（其中a，b为常数，且a0，a1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）（1）求f（x）的表达式；（2）若不等式ax+bxm（ab）x0在x（，
23、1时恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）直接代入，求解即可；（2）不等式可整理为m+，构造函数h（x）=+，根据函数的单调性，求出函数的最小值即可【解答】解：（1）图象经过点A（1，6），B（3，24）ab=6，a3b=24，a=2，b=3，f（x）=23x；（2）ax+bxm（ab）x0在x（，1时恒成立，2x+3xm2x3x，m+，令h（x）=+，显然在定义域内递减，h（x）的最小值为f（1）=，m，20某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2
24、所示的抛物线表示（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？为多少？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）通过图1分别计算0t200、200t300时可得分段函数，通过图2利用待定系数法计算即得结论；（2）通过设t时刻的纯收益为h（t），利用h（t）=f（t）g（t），分0t200、200t300两种情况配方计算即得结论【解答】解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为f（t）=，由图2可得种
25、植成本与时间的函数关系式为g（t）=（t150）2+100，0t300；（2）设t时刻的纯收益为h（t），则h（t）=f（t）g（t），即h（t）=，当0t200时，配方整理得h（t）=（t150）2+100，所以，当t=50时，h（t）取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h（t）=（t350）2+100，所以，当t=300时，h（t）取得区间设f（x）=|lgx|，a，b为实数，且0ab（1）求方程f（x）=1的解；（2）若a，b满足，求证：ab=1；（3）在（2）的条件下，求证：由关系式所得到的关于b的方程h（b）=0，存在b0（3，4），使h（b0）=0【考
26、点】函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理；不等式的证明【分析】（1）由f（x）=1得，lgx=1，由此能求出方程f（x）=1的解（2）结合函数图象，由f（a）=f（b），知a（0，1），b（1，+），从而ab=1由=，构造函数能够证明（3）由b=（）2，得4b=a2+b2+2ab，令g（b）=，能推导出方程存在3b4的根【解答】（1）解：由f（x）=1得，lgx=1，所以x=10，或x=（2）证明：结合函数图象，由f（a）=f（b），知a（0，1），b（1，+），从而lga=lgb，从而ab=1又=，令任取1b1b2，（b1）（b2）=（b1b2）（1）0，（b1）（b2），（b）在（1，
27、+）上为增函数（b）（1）=2所以1（3）解：由b=（）2，得4b=a2+b2+2ab，令g（b）=，因为g（3）0，g（4）0，g（b）在（3，4）内连续，根据零点存在性定理知，函数g（b）在（3，4）内一定存在零点，即方程存在3b4的根22若定义在（1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y（1，1），都有，则称f（x）为漂亮函数（1）已知，问g（x）是否为漂亮函数，并说明理由；（2）已知f（x）为漂亮函数，判断f（x）的奇偶性；（3）若漂亮函数f（x）满足：当x（0，1）时，都有f（x）0，试判断f（x）在（1，1）上的单调性，并给出证明【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合【分
28、析】（1）根据平了函数的定义，证明g（x）+g（y）=g（），即可（2）利用赋值法，x=y=0求出f（0）的值，结合y=x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可（3）先设0x1x21，然后作差求f（x1）f（x2），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定【解答】解：（1）g（x）+g（y）=lg+lg=lg（）=lg，g（）=lg=lg，则g（x）+g（y）=g（），成立，即g（x）是漂亮函数证明：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（）=f（0），f（0）=0，任取x（1，1），则x（1，1），f（x）+f（x）=f（）=f（0）=0f（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x）f（x）在（1，1）上为奇函数f（x）在（1，1）上单调递增，f（x）在（1，1）上为奇函数，且f（0）=0，只需要证明当x（0，1）时，函数的单调性即可，证明：设0x1x21，则f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=f（）x（0，1）时，都有f（x）0，x（1，0）时，都有f（x）0而x1x20，0x1x21所以10当x（1，0）时，f（x）0f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=f（）0即当x1x2时，f（x1）f（x2）f（x）在（0，1）上单调递增即f（x）在（1，1）上单调递增2016年6月16日
